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2014-2015学年下学期3月24日检测试卷


2014-2015 学年下学期 3 月 24 日检测试卷
高二数学· 理科 (考试时间:50 分钟 总分:100 分) 姓名: 成绩: 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分) 1. 已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)= A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} 1.D 2.下列各组函数中, 表示同一

函数的是 A.y=1,y=x
0 2

( D.{x|0<x<1} (

)

C.{x|0≤x≤1}

)

B.y=lgx ,y=2lgx

C.y=|x|,y=( x)

2

3 D.y=x,y= x3

解析: 对于 A, 当 x=0 时后者无意义; 对于 B 和 C, 当 x<0 时前者有意义而后者无意义; D 显然正确.答案:D 3. 一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中, 不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析:选 C 注意到在三视图中,俯视图的宽度应与左视图的宽 3 度相等,而 在选项 C 中,其宽度为 ,与题中所给的左视图的 宽度 2 1 不相等,因此选 C. 4.下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2
【答案】D

p2 : 数列?nan ?是递增数列;
p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
( )

B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

1 5.已知函数 f(x)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)=ln x, 则 f(f( 2))的值为 e A. 1 ln 2 1 B.- ln2 C.-ln 2 D.ln 2

(

)

1 1 解析: 当 x>0 时,f(x)=ln x,f( 2)=ln ( 2)=-2, 又函数 f(x)是奇函数,所以 f(- e e 2)=-f(2)=-ln 2,所以选 C.答案:C 6. 函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

11 ?? ? 对称; ①图象 C 关于直线 x ? ②函数 f ( x ) ? 的图象为 C , 12 ??
1

在区间 ? ?

? ? ? 5? ? ③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图 , ? 内是增函数; ? ? ?? ?? ?

象C . 以上三个论断中, 正确论断的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D. 3 答案:选 C,③错 7. O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为 ( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 选 C 由题意知抛物线的焦点 F( 2, 0), 如图, 由抛物线定义知|PF|=|PM|, 又|PF|=4 2, 所以 xP=3 2,代入抛物线方程求得 yP=2 6, 1 所以 S△POF= · |OF|· yP=2 3. 2 8. 设 a 、b 、c 是单位向量, 且 a ·b =0, 则 ? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2 ( D )

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分) ?x ? 0 ? ?y ? 0 9. 已知线性约束条件为: ? ,则目标函数 Z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 答案: 4 10.数列{an}的前 10 项由如图所示的流程图依次输出的 a 值构成,则数列{an}的一个通项 公式 an= 。 答案:

1 n(n ? 1) ,由已知的 2

an ? an ?1 ? n, 即an ? an ?1 ? n(n ? 2), 累加得an ?

u r r 11. ( 本 小 题 20 分 ) 设 函 数 f ? x ? ? m ? n , 其 中 向 量 u r r m ? ? 2cos x,1? , n ? ? cos x, 3sin 2x ? , x ? R 。

n(n ? 1) 。 2

(1)求函数 y ? f ? x ? 图像的对称中心; (2)在△ABC 中, a﹑ b﹑ c 分别是角 A、B、C 的对边,已知

f ( A) ? 2, b ? 1 ,△ABC 的面积为
解 :
2

3 ,求 a 的值。 2 ( 1



f ( x) ? m ? n ? 2cos x ? 3sin 2x ? cos 2x ? 3sin 2x ?1 ? ? 2sin(2 x ? ) ? 1 --------------------4 分 6 ? ? 令 f ( x) ? 1得2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1,? sin(2 x ? ) ? 0 6 6 ? k? ? ? 2 x ? ? k? ,? x ? ? (k ? Z ) ---------------------7 分 6 2 12 k? ? ? ,1)(k ? Z ) ------------10 分 ? 函数 y ? f ? x ? 图像的对称中心 ( 2 12
2

(2)由 f ( A) ? 2得2sin(2 A ? 在 ABC中 ,

?

? 1 ) ? 1 ? 2 ,? sin(2 A ? ) ? 6 6 2

0 ? A ? ? ,?

?

5? ? ,? A ? ----------------------14 分 6 6 3 1 1 3 3 又 S ABC ? bc sin A ? ?1? c ? ? ,? c ? 2 ------------------17 分 2 2 2 2 在 ABC中由余弦定理得 , a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3 ?2A ? ?
----------------------------------20 分 12. (本小题 20 分) 如图, 平面 PAC ? 平面 ABC ,?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E, F , O 分别为 PA ,

?

6

? 2A ?

?

6

? 2? ?

?

6

?a ? 3

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)试判断在 ?ABO 内是否存在一点 M ,使 FM ? 平 面 BOE . 证明: (I)如图,证明 PO ? 面 ABC --------------------2 分 证明 PO ? OB,PO ? OC--------------------4 分 连结 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系 O ? xyz , --------------------6 分 则 O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0, 0, 6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? ,由题意得, 因此平面 BOE 的法向 G ? 0, 4,0? , 因 OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) , 量为 n ? (0,3, 4) , FG ? (?4, 4, ?3 )--------------------8 分 得 n ? FG ? 0 ,又直线 FG 不在平面 BOE 内,因此有 FG / / 平面

z

BOE --------------------10 分
(II)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ,0? ,则 FM ? ( x0 ? 4, y0 , ?3) ,因为

y

x

FM ? 平 面 BOE , 所 以 有 FM // n , 因 此 有 x0 ? 4, y0 ? ?
--------------------14 分 即点 M 的坐标为 ? 4, ?

9 , 4

? ?

9 ? , 0 ? ,在平面直角坐标系 xoy 中, ?AOB 的内部区域满足不等式 4 ?

?x ? 0 ? 组?y ? 0 ,经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以在 ?ABO 内存在一点 M , ?x ? y ? 8 ?
使 FM ? 平面 BOE --------------------20 分
3


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