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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-1同步练习 2.4.2第2课时(新人教A版选修2-1)


第2章

2.4.2

第 2 课时

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 解析: 由定义|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4,∴这样的直线有且仅有两条.

答案: B 2.在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)的曲线大致为(
2 2 2 2 2 2

) B.有且仅有两条 D.不存在

)

解析: 方法一:将方程 a x +b y =1 与 ax+by =0 转化为

2 2

2 2

2

x2 y2
1

a 1 1 2 + =1,y =- x.因为 a>b>0,所以 > >0. 1 b b a

a2 b2
所以椭圆的焦点在 y 轴上;抛物线的焦点在 x 轴上,且开口向左.故选 D. 方法二:方程 ax+by =0 中,将 y 换成-y,其结果不变, 即 ax+by =0 的图形关于 x 轴对称,排除 B、C, 又椭圆的焦点在 y 轴上,排除 A.故选 D. 答案: D 3.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( A. C. 1 3 2 3 ) B. D. 2 2 3 2 3
2 2 2

解析: 过 A、B 作抛物线准线 l 的垂线,垂足分别为 A1、B1,

由抛物线定义可知,AA1=AF,BB1=BF, 又∵2|BF|=|AF|, ∴|AA1|=2|BB1|,即 B 为 AC 的中点. 从而 yA=2yB,联立方程组?
? ?y=k ?y =8x ?
2

x+



8 2 ? 消去 x 得 y - y+16=0,

k

8 ? ?yA+yB= , k ∴? ? ?yA·yB=16 答案: B

8 ? ?3yB= , k ?? ? ?2y2 B=16,

2 2 ,消去 yB 得 k= .故选 B. 3

4.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 C. 11 5
2

2

) B.3 D. 37 16

解析: ∵直线 l2:x=-1 恰为抛物线 y =4x 准线, ∴P 到 l2 的距离 d2=|PF|(F(1,0)为抛物线焦点), 所以 P 到 l1、l2 距离之和最小值为 F 到 l1 距离 |4×1-3×0+6| =2,故选 A. 2 2 3 +4 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a=________. 解析: 由?
? ?x-y-1=0 ?y=ax ?
2 2

,得 ax -x+1=0,

2

1 Δ =1-4a=0,得 a= . 4 答案: 1 4

1 2 6.直线 y=x+b 交抛物线 y= x 于 A、B 两点,O 为抛物线的顶点,且 OA⊥OB,则 b 的 2 值为________.

y=x+b ? ? 解析: 由? 1 2 y= x ? ? 2
Δ =(-2) +8b>0,
2

,得 x -2x-2b=0,

2

设直线与抛物线的两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 由根与系数的关系,得 x1+x2=2,x1x2=-2b, 1 2 2 于是 y1y2= (x1x2) =b , 4 由 OA⊥OB 知 x1x2+y1y2=0, 故 b -2b=0,解得 b=2 或 b=0(不合题意,舍去).
2

b=2 适合 Δ >0.
答案: 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) π 2 7.设过抛物线 y =2px 的焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点,若弦 AB 的中 4 垂线恰好过点 Q(5,0),求抛物线的方程. 解析: 弦 AB 中点为 M,MQ 为 AB 的中垂线,

AB 的斜率为 1,则 lMQ:y=-x+5.

设 lAB:y=x- . 2

p

p ? ?y=x- , 2 联立方程组? 2 ?y =2px. ?
得 x -3px+ =0, 4 ∴x1+x2=3p.①
2

p2

y=-x+5 ? ? 联立方程组? p y=x- ? 2 ? p



得 2x=5+ ,则 x1+x2=5+ ② 2 2 联立①②,解得 p=2, ∴抛物线方程为 y =4x. 8.已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5
2 2 2 2

p

解析: (1)将(1,-2)代入 y =2px,得(-2) =2p·1, ∴p=2, 故所求的抛物线方程为 y =4x, 其准线方程为 x=-1; (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,
?y =4x ? 由? ?y=-2x+t ?
2 2

得 y +2y-2t=0,

2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与直线 l 的距离等于 ∴t=±1, 5 |t| 5 可得 = , 5 5 5

? 1 ? ? 1 ? 由于-1??- ,+∞?,1∈?- ,+∞?, ? 2 ? ? 2 ?
所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 y=-2x+1.

尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)已知抛物线 C1:y =4px(p>0),焦点为 F2,其准线与 x 轴交于点 F1;椭圆 C2: 1 分别以 F1、F2 为左、右焦点,其离心率 e= ;且抛物线 C1 和椭圆 C2 的一个交点记为 M. 2 (1)当 p=1 时,求椭圆 C2 的标准方程; (2)在(1)的条件下,若直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,且与抛物线 C1 相交于 A,B 两点,
2

若弦长|AB|等于△MF1F2 的周长,求直线 l 的方程. 解析: (1) + =1; 4 3 (2)①若直线 l 的斜率不存在, 则 l:x=1,且 A(1,2),B(1,-2), ∴|AB|=4 又∵△MF1F2 的周长等于|MF1|+|MF2|+|F1F2| =2a+2c=6≠|AB|. ∴直线 l 的斜率必存在. ②设直线 l 的斜率为 k,则 l:y=k(x-1),
? ?y =4x 由? ?y=k x- ?
2

x2 y2

,得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

∵直线 l 与抛物线 C1 有两个交点 A,B, ∴Δ =[-(2k +4)] -4k =16k +16>0,且 k≠0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k +4 则可得 x1+x2= 2 ,x1x2=1
2 2 2 4 2

k
2

于是|AB|= 1+k |x1-x2| = = = +k
2

x1+x2
2

2

-4x1x2]

+k +k

??2+ 42?2-4? ?? k ? ? ?? ? ?
16? ?16 ? k2 + k4 ?= ? ? +k
2

2

k

2



∵△MF1F2 的周长等于|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=6, ∴由 +k
2

k

2

=6,解得 k=± 2.

故所求直线 l 的方程 y=± 2(x-1).


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