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高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试题精选(2)


高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变 换试题精选

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高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试 题精选
一.填空题(共 15 小题,满分 75 分,每小题 5 分) 1. 分) (5 (2013?四川)设 sin2α=﹣sinα, ,则 tan2α 的值是 _________ .

2. 5 分) 2013?江西) (x) ( ( 设f =

sin3x+cos3x, 若对任意实数 x 都有|f (x) 则实数 a 的取值范围是 _________ . |≤a, _________ .

3. 分) (5 (2013?上海)若 cosxcosy+sinxsiny= ,sin2x+sin2y= ,则 sin(x+y)=

4. 分) (5 (2011?武进区模拟)在△ ABC 中, _________ . 5. 分) (5 (2011?上海模拟)设 A 是三角形的内角.若

,且△ ABC 的面积 S=asinC,则 a+c 的值=

,则 tan2A= _________ .

6. 分) (5 (2011?成都一模)已知 α 是第四象限的角,且

,则 cosα= _________ .

7. 分) (5 (2013?韶关三模)已知 x,y∈R ,且

+

,则 x +y =

2

2

_________ .

8. 分) (5 (2013?徐州三模)在△ ABC 中,已知



,则 tanC 的值是 _________ .

9. 分) (5 (2013?徐州模拟)已知

,则 cos2α=

_________ .

10. 分) (5 (2013?松江区二模)已知

,且

,则 sin2α=

_________ .

11. 分) (5 (2013?普陀区二模)若

且 sin2θ<0,则 tanθ=

_________ .

12. 分) (5 (2013?辽宁二模)给出下列命题: ①存在实数 x,使 ;

②若 α、β 是第一象限角,且 α>β,则 cosα<cosβ; ③函数 是偶函数;

④A、B、C 为锐角△ ABC 的三个内角,则 sinA>cosB 其中正确命题的序号是 _________ . (把正确命题的序号都填上)
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www.jyeoo.com 13. 分) (5 (2011?上海)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点 之间的距离为 _________ 千米. 14. 分) (5 (2011?上海)若 , ,则 x= _________ (结果用反三角函数表示)

15. 分) (5 (2013?上海)若 cosxcosy+sinxsiny= ,则 cos(2x﹣2y)=

_________



二.解答题(共 15 小题,满分 150 分,每小题 10 分) 16. (10 分) (2013?天津)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. .

17. (10 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别 a、b、c,且

(1)求 cosA 的值; (2)若 ,求向量 在 方向上的投影.

18. (10 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

19. (10 分) (2013?山东)设函数 f(x)= 心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ω 的值 (Ⅱ)求 f(x)在区间[ ,



sin ωx﹣sinωxcosωx(ω>0) ,且 y=f(x)的图象的一个对称中

2

]上的最大值和最小值.

20. (10 分) (2013?湖南)已知函数 (1)求 (2)求使 的值; 成立的 x 的取值集合.

21. (10 分) (2013?湖南)已知函数





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www.jyeoo.com (I)若 α 是第一象限角,且 ,求 g(α)的值;

(II)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 22. (10 分) (2013?广东)已知函数 (1)求 (2)若 的值; ,求 . .

23. (10 分) (2013?广东)已知函数 (1)求 (2)若 , 的值; ,求 .

,x∈R.

24. (10 分) (2013?北京)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 α∈( ,π) ,且 f(α)= ,求 α 的值.



25. (10 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性.

) (ω>0)的最小正周期为 π.

26. (10 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=sinx+sin(x+

) .

(Ⅰ)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到. 27. (10 分) (2013?上海)已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0 (1)若 y=f(x)在[﹣ , ]上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,在向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,区间

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b ﹣a 的最小值.

28. (10 分) (2012?吉安二模)在△ ABC 中,已知内角 A= (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

,边 BC=2

,设内角 B=x,周长为 y

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www.jyeoo.com 29. (10 分) (2012?浙江模拟)已知△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列, b=1,记角 A=x,a+c=f (x) . (Ⅰ)当 x∈[ (Ⅱ)若 , ]时,求 f (x)的取值范围; ,求 sin2x 的值.

30. (10 分) (2011?武汉模拟)已知函数 (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求 f(x)在 上的最大值和最小值.

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高中数学三角函数图像及性质&三角恒等变换试 题精选
参考答案与试题解析
一.填空题(共 15 小题,满分 75 分,每小题 5 分) 1. 分) (5 (2013?四川)设 sin2α=﹣sinα, ,则 tan2α 的值是 .

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正切. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据 sinα 不为 0 求出 cosα 的值,由 α 的范围,利用同角三 角函数间的基本关系求出 sinα 的值,进而求出 tanα 的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈( ,π) ,
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∴cosα=﹣ ,sinα= ∴tanα=﹣ 则 tan2α= , =

=



=



故答案为: 点评: 此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关 键. 2. 分) (5 (2013?江西)设 f(x)= 考点: 专题: 分析: 解答: sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是 a≥2 .

两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 三角函数的图像与性质. 构造函数 F(x)=|f(x)|=| sin3x+cos3x|,利用正弦函数的特点求出 F(x)max,从而可得答案. 解:∵不等式|f(x)|≤a 对任意实数 x 恒成立, 令 F(x)=|f(x)|=| sin3x+cos3x|, 则 a≥F(x)max.
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∵f(x)=

sin3x+cos3x=2sin(3x+



∴﹣2≤f(x)≤2 ∴0≤F(x)≤2 F(x)max=2 ∴a≥2. 即实数 a 的取值范围是 a≥2 故答案为:a≥2. 点评: 本题考查两角和与差公式及构造函数的思想,考查恒成立问题,属于中档题.

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www.jyeoo.com 3. 分) (5 (2013?上海)若 cosxcosy+sinxsiny= ,sin2x+sin2y= ,则 sin(x+y)= .

考点: 三角函数的和差化积公式;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角差的余弦公式及 cosxcosy+sinxsiny= ,可得 cos(x﹣y)= ,再利用和差化积公式 sin2x+sin2y= ,
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得到 2sin(x+y)cos(x﹣y)= ,即可得出 sin(x+y) . 解答: 解:∵cosxcosy+sinxsiny= ,∴cos(x﹣y)= . ∵sin2x+sin2y= ,∴2sin(x+y)cos(x﹣y)= , ∴ ∴sin(x+y)= . 故答案为 . 点评: 熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键. ,

4. 分) (5 (2011?武进区模拟) 在△ ABC 中,

, 且△ ABC 的面积 S=asinC, a+c 的值= 则

4 .

考点: 二倍角的余弦;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据三角形的面积公式求出 b 的值,然后将所给的式子写成
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+ acosC+ccosA=b=2,即可求出答案. 解答: 解:∵S= absinC=asinC ∴b=2 ∴acos
2

=3 进而得到 acosC+ccosA+a+c=6,再根据在三角形中

+ccos

2

=3



+

=3

即 a(cosC+1)+c(cosA+1)=6 ∴acosC+ccosA+a+c=6 ∵acosC+ccosA=b=2 ∴2+a+c=6 ∴a+c=4 故答案为:4. 点评: 本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算,解题的关键是巧妙的将所给的式子写成

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www.jyeoo.com + =3 的形式,属于中档题.

5. 分) (5 (2011?上海模拟)设 A 是三角形的内角.若

,则 tan2A=



考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: 通过已知条件,结合同角三角函数的基本关系式,求出 sinA,cosA,解出 tanA,利用二倍角的正切函数求 出 tan2A. 解答: 2 2 解:因为 A 是三角形的内角.若 ,并且 sin A+cos A=1,解得 ,
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所以 tanA= ,tan2A=

=

=



故答案为



点评: 本题是基础题,考查同角三角函数的基本关系式的应用,二倍角的正切公式的应用,考查计算能力.

6. 分) (5 (2011?成都一模)已知 α 是第四象限的角,且

,则 cosα=



考点: 二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 先根据 α 是第四象限的角,判断得到 cosα 的值大于 0,然后利用二倍角的余弦函数公式把已知条件化简后, 得到关于 cosα 的方程,求出方程的解即可得到 cosα 的值. 解答: 解:由 α 是第四象限的角,得到 cosα>0,
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又 cos2α=2cos α﹣1= 解得 cosα= . 故答案为:

2

,即 cos α=

2



点评: 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值,是一道基础题.学生做题时应注意利用 α 的范围 判断 cosα 的正负. 7. 分) (5 (2013?韶关三模)已知 x,y∈R ,且
+

,则 x +y =

2

2

1 .

考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 令 x=sinA,y=sinB,然后根据同角三角函数的基本关系得出 cosA=
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和 cosB=

,从而由两角

和与差公式得出 sin(A+B)=1,再求得 A=

﹣B,最后代入即可得出结果.

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www.jyeoo.com 解答: 解:令 x=sinA,y=sinB,其中 A,B∈[0, ∴cosA= ∵ cosB= , ]

∴sinAcosB+sinBcosA=1 即 sin(A+B)=1 ∴A+B= sinA=sin(
2 2 2

,A=

﹣B

﹣B)=cosB
2 2

∴x +y =sin A+sin B=sin (

﹣B)+sin B=cos B+sin B=1

2

2

2

故答案为:1. 点评: 此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系,熟练掌握公式是解题的关键,属于中档题.

8. 分) (5 (2013?徐州三模)在△ ABC 中,已知



,则 tanC 的值是



考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sinA= ,可得 tanA= ,再由
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求得 tanB,再

根据 tanC=tan(π﹣A﹣B)=﹣tan(A+B) ,利用两角和差的正切公式求得结果. 解答: 解:在△ ABC 中,已知 ,∴sinA= ,tanA= .



=

=

,tanB=2.

则 tanC=tan(π﹣A﹣B)=﹣tan(A+B)=

=

=



故答案为



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的正切公式、诱导公式的应用,属于中档题.

9. 分) (5 (2013?徐州模拟)已知

,则 cos2α=



考点: 二倍角的余弦;诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先由诱导公式得出 sin =﹣ ,然后根据二倍角公式求得 cosα、cos2α 的值.
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解答:

解:∵cos(

)=cos[2π﹣(



)]=cos(

)=sin

=﹣

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www.jyeoo.com ∴cosα=1﹣2sin
2 2

=1﹣2×(﹣ ) =
2

2

cos2α=2cos α﹣1=2×( ) ﹣1=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了二倍角公式和诱导公式,熟记公式是解题的关键,属于中档题.

10. 分) (5 (2013?松江区二模)已知

,且

,则 sin2α=



考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数的基本关系求得 sinα,再由二倍角公式求得 sin2α=2sinαcosα 的值. 解答: 解:∵已知 ,且 ,∴sinα=﹣ .
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∴sin2α=2sinαcosα=2×(﹣ )× = 故答案为 .



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于基础题.

11. 分) (5 (2013?普陀区二模)若

且 sin2θ<0,则 tanθ= ﹣



考点: 二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件求得 cosθ<0,可得 cosθ=﹣ 解答: 解:∵ 故 cosθ=﹣ 故答案为﹣ .

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以及 tanθ=

的值.

,且 sin2θ=2sinθcosθ<0,∴cosθ<0, =﹣ ,∴tanθ= =﹣ ,

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及二倍角公式的应用,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?辽宁二模)给出下列命题: ①存在实数 x,使 ;

②若 α、β 是第一象限角,且 α>β,则 cosα<cosβ; ③函数 是偶函数;

④A、B、C 为锐角△ ABC 的三个内角,则 sinA>cosB 其中正确命题的序号是 ③④ . (把正确命题的序号都填上) 考点: 两角和与差的正弦函数;复合命题的真假;全称量词;命题的真假判断与应用;诱导公式的作用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
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www.jyeoo.com 分析: 利用两角和与差的三角函数判断①的正误;利用函数的单调性与函数的区间判断②的正误; 通过诱导公式以及函数的奇偶性判断③的正误;利用三角函数的单调性与诱导公式判断④的正误. 解答: 解:①因为 ,所以存在实数 x,使 ;不成立. ②若 α、β 是第一象限角,且 α>β,因为 y=cosx 在 x 是 α>β 不在一个单调区间时,可能 cosα>cosβ;所以②不正确; ③因为 ,所以函数 ,所以 A 是偶函数;正确. , 时,函数是减函数,则 cosα<cosβ,但

④A、B、C 为锐角△ ABC 的三个内角,因为 A+B 所以 sinA>sin(

)=cosB,即 sinA>cosB,所以④正确.

正确命题是③④. 故答案为:③④. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,函数的单调性与函数的奇偶性的应用,命题的真假的判断,基本知识的 应用. 13. 分) (5 (2011?上海)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点 之间的距离为 千米. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 先由 A 点向 BC 作垂线,垂足为 D,设 AC=x,利用三角形内角和求得∠ACB,进而表示出 AD,进而在 Rt△ ABD 中,表示出 AB 和 AD 的关系求得 x. 解答: 解:由 A 点向 BC 作垂线,垂足为 D,设 AC=x, ∵∠CAB=75°,∠CBA=60°, ∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°
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∴AD=

x x

∴在 Rt△ ABD 中,AB?sin60°=

x= (千米) 答:A、C 两点之间的距离为 千米. 故答案为: 下由正弦定理求解: ∵∠CAB=75°,∠CBA=60°, ∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45° 又相距 2 千米的 A、B 两点 ∴ ,解得 AC=

答:A、C 两点之间的距离为 故答案为:

千米.

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点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.主要是利用了三角形中 45°和 60°这两个特殊角,建立方程求得 AC. 14. 分) (5 (2011?上海)若 , ,则 x= (结果用反三角函数表示)

考点: 反三角函数的运用. 专题: 计算题. 分析: 利用反正弦函数的定义,由角的范围为
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,故可直接得到答案.

解答:

解:由于 故答案为



根据反正弦函数的定义可得 x=

点评: 本题的考点是反三角函数的运用,主要考查反正弦函数的定义,应特别主要角的范围.

15. 分) (5 (2013?上海)若 cosxcosy+sinxsiny= ,则 cos(2x﹣2y)=





考点: 两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出 cos(x﹣y)的值,所求式子利用二倍角的余弦函 数公式化简后,将 cos(x﹣y)的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵cosxcosy+sinxsiny=cos(x﹣y)= ,
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∴cos(2x﹣2y)=cos2(x﹣y)=2cos (x﹣y)﹣1=﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 二.解答题(共 15 小题,满分 150 分,每小题 10 分) 16. (10 分) (2013?天津)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值. .

2

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (I)利用两角和的正弦公式将 sin(2x+ )展开,结合二倍角的正余弦公式化简合并,得 f(x)=2sin2x
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www.jyeoo.com ﹣2cos2x,再利用辅助角公式化简得 f(x)=2 (x)的最小正周期; (II)根据 x∈ f(x)在区间 解答: ,得﹣ ≤2x﹣ ≤ .再由正弦函数在区间[﹣ , ]上的图象与性质,可得 sin(2x﹣ ) ,最后利用正弦函数的周期公式即可算出 f

上的最大值为与最小值.
2

解: (I)∵sinxcosx= sin2x,cos x= (1+cos2x) ∴f(x)=﹣ sin(2x+ )+6sinxcosx﹣2cos x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣(1+cos2x)+1 ) =π; ≤ ;当 x= 时,sin(2x﹣ )=2 )取得最大值 1
2

=2sin2x﹣2cos2x=2

sin(2x﹣

因此,f(x)的最小正周期 T= (II)∵0≤x≤ ,∴﹣ ≤2x﹣

∴当 x=0 时,sin(2x﹣ 由此可得,f(x)在区间

)取得最小值﹣

上的最大值为 f(

;最小值为 f(0)=﹣2.

点评: 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数 y=Asin (ωx+φ)的单调性等知识,考查基本运算能力,属于中档题. 17. (10 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别 a、b、c,且

(1)求 cosA 的值; (2)若 ,求向量 在 方向上的投影.

考点: 两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值,然后求 sinA 的值; (Ⅱ)利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定理求出 c 的大小. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,
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可得 即 即 , ,所以 , ,



(Ⅱ)由正弦定理,

=



由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B=

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www.jyeoo.com 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影: =ccosB= . .

点评: 本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能 力转化思想. 18. (10 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的含义与物理意义;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值,然后求 sinA 的值; (Ⅱ)利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定理求出 c 的大小,
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然后求解向量 解答: 解: (Ⅰ)由 可得 即 即 ,



方向上的投影. , , ,

因为 0<A<π, 所以 (Ⅱ)由正弦定理, . ,所以 , . = ,

由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影:

=ccosB=



点评: 本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能 力转化思想.
2

19. (10 分) (2013?山东)设函数 f(x)= 心到最近的对称轴的距离为 ,



sin ωx﹣sinωxcosωx(ω>0) ,且 y=f(x)的图象的一个对称中

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www.jyeoo.com (Ⅰ)求 ω 的值 (Ⅱ)求 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ) 通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 利用函数的正确求出 ω 的值
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(Ⅱ)通过 x 的范围求出相位的范围,利用正弦函数的值域与单调性直接求解 f(x)在区间[ 的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)= = = = . ,故周期为 π ﹣ sin ωx﹣sinωxcosωx
2

]上

因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 又 ω>0,所以 ,解得 ω=1; ) , , , , ]上的最大值和最小值分别为:

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=﹣sin(2x﹣ 当 所以 因此,﹣1≤f(x) 所以 f(x)在区间[ 时,



点评: 本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数,三角函数的周期,正弦函数的值域与单调性的应用, 考查计算能力.

20. (10 分) (2013?湖南)已知函数 (1)求 (2)求使 的值; 成立的 x 的取值集合.

考点: 两角和与差的余弦函数;余弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)将 x= 代入 f(x)解析式,利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结
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果;
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www.jyeoo.com (2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数,变形后, 利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意 x 的集合. 解答: 2 解: (1)f( )=cos cos( ﹣ )=cos cos =﹣cos =﹣ ; (2)f(x)=cosxcos(x﹣ = cos x+
2

)=cosx( cosx+

sinx) )+ , )<0,

sinxcosx= (1+cos2x)+

sin2x= cos(2x﹣

∴f(x)< ,化为 cos(2x﹣ ∴2kπ+ <2x﹣ <2kπ+

)+ < ,即 cos(2x﹣ (k∈Z) ,

解得:kπ+

<x<kπ+

(k∈Z) , ,kπ+ (k∈Z)}.

则使 f(x)< 成立的 x 取值集合为{x|kπ+

点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及余弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键.

21. (10 分) (2013?湖南)已知函数 (I)若 α 是第一象限角,且 ,求 g(α)的值;





(II)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (I)根据两角和与差的三角函数公式化简,得 f(x)= sinx,结合 解出 sinα= ,利用同
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角三角函数的基本关系算出 cosα= .由二倍角的余弦公式进行降次,可得 g(x)=1﹣cosx,即可算出 g(α) =1﹣cosα= ; (II)f(x)≥g(x) ,即 sinx≥1﹣cosx,移项采用辅助角公式化简整理,得 2sin(x+ )≥1,再根据正弦

函数的图象与性质,即可求出使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解答: 解: :∵sin(x﹣ cos(x﹣ ∴ 而 (I)∵ =1﹣cosx ,∴ sinα= ,解之得 sinα= = )=sinxcos ﹣cosxsin = cosx+ = sinx﹣ cosx sinx =( sinx﹣ cosx)+( cosx+ sinx)= sinx

)=cosxcos

+sinxsin

∵α 是第一象限角,∴cosα=

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www.jyeoo.com 因此,g(α)= (II)f(x)≥g(x) ,即 移项,得 ∴sin(x+ =1﹣cosα= , sinx≥1﹣cosx )≥1 +2kπ(k∈Z)

sinx+cosx≥1,化简得 2sin(x+ )≥ ,可得 +2kπ≤x+ ≤

解之得 2kπ≤x≤

+2kπ(k∈Z) +2kπ(k∈Z)}

因此,使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤

点评: 本题给出含有三角函数的两个函数 f(x) 、g(x) ,求特殊函数值并讨论使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集 合.着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.

22. (10 分) (2013?广东)已知函数 (1)求 (2)若 的值; ,求 .



考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)把 x= 直接代入函数解析式求解.

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(2)先由同角三角函数的基本关系求出 sinθ 的值,然后将 x=θ﹣ 式求得结果. 解答: 解: (1) (2)∵ ∴ ,

代入函数解析式,并利用两角和与差公

, .

点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合.

23. (10 分) (2013?广东)已知函数 (1)求 (2)若 , 的值; ,求 .

,x∈R.

考 二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数. 点: 专 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 题:
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www.jyeoo.com 分 (1)把 x= 析: 直接代入函数解析式求解. 代入函数解析式,并利用两角和

(2)先由同角三角函数的基本关系求出 sinθ 的值以及 sin2θ,然后将 x=2θ+ 与差公式求得结果. 解 解: (1) 答: (2)因为 所以 所以 ,

所以 =

点 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合,要注意角的范 评:围.

24. (10 分) (2013?北京)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 α∈( ,π) ,且 f(α)= ,求 α 的值.



考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过周期 公式求 f(x)的最小正周期,利用三角函数的最值求出函数的最大值;
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(Ⅱ)通过 解答: 解: (Ⅰ)因为 = = ∴T= = , .

,且

,求出 α 的正弦值,然后求出角即可.

函数的最大值为: (Ⅱ)∵f(x)=





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www.jyeoo.com 所以 ∴ ∴ ∴ . ,又∵ , ,k∈Z, ,

点评: 本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用,两角和的正弦函数,三角函数的周期与最值的求法,以及角 的求法,考查计算能力.

25. (10 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性.

) (ω>0)的最小正周期为 π.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的形式,通过函数的周期, 求实数 ω 的值;
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(2)由于 x 是[0, ]上的单调性. 解答:

]范围内的角,得到 2x+

的范围,然后通过正弦函数的单调性求出 f(x)在区间[0,

解: (1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ω=1.

)=2

sinωx?cosωx+2 )+ ,

cos ωx

2

=2sin(2ωx+

所以 T=

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤ ≤2x+ ≤ ,

)+



时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤

时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上单调减.

所以 f(x)在区间[0,

]上单调增,在区间[

点评: 本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的应用,注意三角函数值的变换,考查计算能力,常考题型.

26. (10 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=sinx+sin(x+

) .

(Ⅰ)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到.

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www.jyeoo.com 考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)f(x)解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数, 根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意 x 的集合; (Ⅱ)根据变换及平移规律即可得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=sinx+ sinx+ cosx= sinx+ cosx= sin(x+ ) ,
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∴当 x+

=2kπ﹣

(k∈Z) ,即 x=2kπ﹣

(x∈Z)时,f(x)取得最小值﹣



此时 x 的取值集合为{x|x=2kπ﹣

(x∈Z)}; 倍,横坐标不变,即为 y= sinx 的图象;

(Ⅱ)先由 y=sinx 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的 再由 y= sinx 的图象上的所有点向左平移

个单位,得到 y=f(x)的图象.

点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 正弦函数的定义域与值域,以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 熟练掌握公式是解本题的关键. 27. (10 分) (2013?上海)已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0 (1)若 y=f(x)在[﹣ , ]上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,在向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,区间

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b ﹣a 的最小值. 考点: 正弦函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)已知函数 y=f(x)在 上单调递增,且 ω>0,利用正弦函数的单调性可得
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,解出即可; .令 g(x)=0,即可解出
*

(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到 g(x)=2

零点的坐标, 可得相邻两个零点之间的距离. b﹣a 最小, a 和 b 都是零点, 若 则 此时在区间[a, mπ+a] m∈N ) ( 恰有 2m+1 个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即 可得到 a,b 满足的条件.进一步即可得出 b﹣a 的最小值. 解答: 解: (1)∵函数 y=f(x)在 ∴ 解得 ,且 . 个单位, 在向上平移 1 个单位, 得到 , , 上单调递增,且 ω>0,

(2) =2sin2x, (x) f ∴把 y=f 的图象向左平移 (x) ∴函数 y=g(x)= 令 g(x)=0,得 ,或 x= ,

(k∈Z) .

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www.jyeoo.com ∴相邻两个零点之间的距离为 或 .
*

若 b﹣a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N )分别恰有 3, 5,…,2m+1 个零点, 所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点, ∴ 另一方面,在区间 因此 b﹣a 的最小值为 . . 恰有 30 个零点,

点评: 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决 问题的能力、推理能力和计算能力.

28. (10 分) (2012?吉安二模)在△ ABC 中,已知内角 A= (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

,边 BC=2

,设内角 B=x,周长为 y

考点: 在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1) 由内角 A= , BC=2 , 边 设内角 B=x, 周长为 y, 我们结合三角形的性质, ABC 的内角和 A+B+C=π, △
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△ ABC 的周长 y=AB+BC+AC,我们可以结合正弦定理求出函数的解析式,及自变量的取值范围. (2)要求三角函数的最值,我们要利用辅助角公式,将函数的解析式,化为正弦型函数的形式,再根据正 弦型函数的最值的求法进行求解. 解答: 解: (1)△ ABC 的内角和 A+B+C=π, 由 . 应用正弦定理,知 , 得

. 因为 y=AB+BC+AC, 所以 (2)∵ = 所以,当 即 时, , , ,

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www.jyeoo.com y 取得最大值 . 点评: 函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,最大值或最小值由 A 确定,由周期由 ω 决定,即要求三角函数 的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数, 再根据最大值为|A|, 最小值为﹣|A|, 周期 T= 进行求解. 29. (10 分) (2012?浙江模拟)已知△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列, b=1,记角 A=x,a+c=f (x) . (Ⅰ)当 x∈[ (Ⅱ)若 , ]时,求 f (x)的取值范围; ,求 sin2x 的值.

考点: 正弦函数的定义域和值域;同角三角函数基本关系的运用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据 A、B、C 成等差数列和三角形内角和,求得 B,进而利用正弦定理求得 b,进而把 a 和 c 的表 达式代入函数,利用两角和公式化简整理求得函数的解析式,进而根据 x 的范围利用正弦函数的性质求得 函数的最大和最小值.
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(Ⅱ)把 x﹣

代入函数解析式,求得 sinx 的值,利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值,代入正弦

函数的二倍角公式中即可求得答案. 解答: 解: (I)由已知 A、B、C 成等差数列,得 2B=A+C, ∵在△ ABC 中,A+B+C=π,于是解得 ∵在△ ABC 中, ∴ , .

,b=1, =

= 即 由 ≤x≤ 得 ≤x+ ≤ . ,于是 ,2].

=

=



≤f(x)≤2,

即 f(x)的取值范围为[ (Ⅱ)∵ ∴ 若 ,此时由 . .

,即 . 知 x> ,这与



矛盾.

∴x 为锐角,故 ∴sin2x=2sinxcosx=

点评: 本题主要考查了三角函数的定义域和值域.两角和公式的化简求值等.考查了学生对基础知识的综合运
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www.jyeoo.com 用.属基础题.

30. (10 分) (2011?武汉模拟)已知函数 (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)求 f(x)在 上的最大值和最小值.

考点: 正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: (I)利用两角和的正弦函数,化简函数的表达式,利用二倍角公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个 三角函数的形式,直接利用周期公式求函数 f(x)I 的最小正周期;
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(II)根据 解答: 解:因为 =[2(sinxcos =sin2x+ = +sin

求出

,然后求出函数的最大值和最小值.

cosx)+sinx]cosx﹣

于是 .

(I)函数 f(x)的最小正周期 T= (II) ∴ ∴ 即:1≤y≤2

∴f(x)max=2,f(x)min=1 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,周期的应用,最值的求法,考查计算能力.

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