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2006年北京市中学生数学竞赛高一


2007 年第 10 期

31

2006 年北京市中学生数学竞赛 ( 高一)
, 一 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 25 分) 1. 点 P 从 O 出发 ,按逆时针方向沿周长 为 l 的图形运动一周 ,点 O , 的距离 ( y ) 与 P 点 P 走过的路程 ( x) 的函数关系 如 图 1 所 示 . 那么 ,

点 P 所走过 的图 形 是 图 2 中 的 ( . )
) 方程 ① 的整数解的组数为 ( . (A) 0 (B) 1 ( C) 2 (D) 2 006 二, 填空题 ( 每小题 7 分 , 共 35 分) 1. 若| a | = 1 ,| b | = 2 , c = a + b , 且 c ⊥
a ,则向量 a 与 b 的夹角为 . 度

2. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且
图1

y = f ( x ) 的图像关于直线 x =

1 对称 . 则 2 f ( 1) + f ( 2) + …+ f ( 2 006) = .
a+ b sin B = , a sin B - sin A

3. 在 △ABC 中 ,已知

图2

2. 已知函数 f ( x ) =π sin

x

4

. 如果存在实

且 ( A - B ) + cos C = 1 - cos 2 C . cos a+c 则 = .
b

数 x1 ,2 ,使得对任意的实数 x ,都有 x
f ( x1 ) ≤f ( x ) ≤f ( x2 ) ,

4. 设递增数列 { a n } 满足 a1 = 6 , n ∈N+ ,

) 则| x1 - x2 | 的最小值是 ( . (A) 8 π (B) 4 π ( C) 2 π (D)π 3. 已知数列
a1 =

且当 n ≥2 时 , an + an - 1 =
a70 = .

9
a n - an - 1

+ 8. 则

5. 已知 △ABC 的三条边 AB = =5 10 , CA = 2

34 , BC

1 1 2 ,a = + , …, 2 2 3 3

26. 则 △ABC 的面积等于

1 2 n an = + + …+ , …. n +1 n +1 n +1

. ( 三 ,10 分 ) 在 △ABC 中 , r 为内切圆半
.则

设 Sn =

1
a1 a2

+

1
a2 a3

+ …+

1
a n an + 1

径 ,与边 BC , , 分别相切的旁切圆的半 AC AB 1 1 1 1 径记为 ra ,b ,c . 证明 : + + = . r r
ra rb rc r

) S 2 006 最接近的整数为 ( . (A) 2 (B) 3 ( C) 4 (D) 5 4. n 是正整数 , 规定 : n ! = 1 ×2 ×…×
n . 则 1 ! ×1 + 2 ! ×2 + … + 59 ! ×59 除 以

) 2 006 的余数是 ( . (A) 1 (B) 5 ( C) 401 (D) 2 005 5. 若两个整数 x , 满足方程 y 2 006 2 006 777 (2 x + 9 y ) + (4 x - y ) = 7 777 , ①

注 :与三角形的一边相切同时与另两边 的延长线相切的圆 , 称为该三角形的一个旁 切圆 . 每个三角形都有三个旁切圆 . ( 四 ,15 分) 已知 a1 , a2 , …, an 都是正数 , 对实数 b1 , b2 , …, bn 和 c1 , c2 , …, cn 总满足
ai ci > b i ( i = 1 ,2 , …, n) . 求证 :
2

( a1 + a2 + …+ an ) ( c1 + c2 + …+ cn )

就称数组 ( x , y ) 为方程 ①的一组整数解 . 则

≥( b1 + b2 + …+ bn ) 2 .

32

中 等 数 学
= 1 ! ×(2 - 1) + 2 ! ×(3 - 1) + …+ 59 ! ×(60 - 1) = (2 ! - 1 !) + (3 ! - 2 !) + …+ (60 ! - 59 !) = 60 ! - 1.

( 五 ,15 分 ) 在 △ABC 内部取 n 个点 , 将 △ABC 剖分为若干个小三角形 ( 每两个小三

角形或者有一个公共顶点 , 或者有一条公共 边 ,或者完全没有公共点 ,如图 3 所示) . 现将 点 A 染红色 , 点 B 染蓝色 , 点 C 染黑色 , 其 余 n 个点的每个点也任意染上红 , , 蓝 黑三 色之一 . 我们称三个顶 点的 颜 色 恰 为 红 , , 蓝 黑的小三角形为 "特征 三角形" 证明 : 至少有 . 一个小三角形是特征 三角形 .

所以 ,所求余数是 2 005.
5. A.

假设存在整数 x , 满足方程 ①. y 若 7| (2 x + 9 y ) ,由方程 ① 7| ( 4 x - y ) ,此时 , 知 方程 ① 左边能被 72 006 整除 ,但方程 ① 右边只能被 7777 整除 . 所以 ,78 (2 x + 9 y ) ,78 (4 x - y ) . 对 ∏ a ∈Z , 由式 ① 知 二 , 120° 1. .
5- 1 + 2
f ( x) = f (1 - x) .

7| [ ( a - 3) ( a - 2) ( a - 1) a ( a + 1) ( a + 2) ( a + 3) ]
图3

参考答案
一 , C. 1.
( 易知 ,选项 ( A) ,B) 的图像是若干条线段组成
l

的折线 ; 选项 (D) 中当点 P 走过的路程为 x =

2

时,

OP 不是最大值 ( 过点 P 作 OP 的垂线交椭圆于点 P′显然 , OP′ OP) ; 选项 ( C) 中 y = , >

πx l π sin l , 其图

时 ,7| (2 x + 9 y ) ,7| (4 x - y ) ,矛盾 .

像如图 1.
2. B.

显然 , f ( x1 ) ,( x2 ) 分别是 f ( x ) 的最小值 , f 最大 值 ,即 sin
x1

4

= - 1 ,sin

x2

4

= 1. 故

π π x1 = 8 k1π - 2 , x2 = 8 k2π + 2 . 所以 ,| x1 - x2 | ≥π. 4
3. C. 1 2 n n + + …+ = ,故 n+1 n+1 n+1 2 + 1
a2 a3

由于 an =
Sn =

1
a1 a2

+ …+

1
a n an + 1

4 4 4 = + + …+ 1× 2× 2 3 n ( n + 1) =4 11 2 + 1 1 2 3 + …+ 1
n

-

1 n+1

1 =4 1. n+1

所以 , S 2 006 = 4 (1 4. D.

1 ) 最接近的整数为 4. 2 007

注意到 2 006 = 2 × × ,故 2 006| 60 !. 17 59 又 1 ! × + 2 ! × + …+ 59 ! × 1 2 59

] 7| ( a7 - a) = a ( a6 - 1) . 所以 ,7| [ (2 x + 9 y) 6 - 1 ] ,7| [ (4 x - y ) 6 - 1 ] . 从而 ,7| { (2 x + 9 y) 2 [ (2 x + 9 y ) 6 ×334 - 1 ]} , 2 6× 334 7| { (4 x - y) [ (4 x - y ) - 1 ]} .
2 2 2 2 7| [ (2 x + 9 y ) + (4 x - y) ] ] 7| ( x + 2 y ) .

易知 ,任意完全平方数被 7 除余数为 0 ,1 ,2 ,4. 经检验 ,只有当 7| x ,7| y 时 ,7| ( x2 + 2 y2 ) . 但此 所以 ,不存在整数 x , 满足方程 ① y . 由 c ⊥a ] c · = 0 ] ( a + b) · = 0 a a 由 y = f ( x ) 的图像关于直线 x =
5- 1 . 2

2. 0.

3.

] | a | 2 + | a | · b| cos α= 0 ] cos α= - 1 . | 2 所以 ,向量 a 与 b 的夹角α= 120° . 又 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ,故 f (1 - x ) = - f ( x - 1) . 从而 , f ( x ) + f ( x - 1) = 0. 所以 , f (1) + f (2) + …+ f (2 006) = 0. 由 cos ( A - B ) + cos C = 1 - cos 2 C ] 2sin A · B = 2sin2 C ] ab = c2 . sin ] a = 5 - 1. b 2 由 ] cos ( A - B ) - cos ( A + B ) = 2sin2 C
a+ b sin B ] b2 - a2 = ab = a sin B - sin A

1 对称 ,知 2

2007 年第 10 期

33 5- 1 . 2 9
ak - ak - 1

所以 ,
4. 29.

c = b

所以 , rp = ra ( p - a) . 同理 , rp = rb ( p - b) , rp = rc ( p - c) . 故
+8 = 1
ra r

+

1
rb p

+

1
rc

=

由 ak + ak - 1 =
2 2

p- a p- b p- c + + rp rp rp r

取 k = 2 ,3 , …, n ,累加得

2 2 a n - a1 = 8 ( an - a1 ) + 9 ( n - 1) .

故 a2 - 62 = 8 ( a70 - 6) + 9 × ,即 69 70
a70 - 8 a70 - 609 = 0.
2

故 a70 = 29 ( 负值舍去) .
5. 10.

如 图 4 , 以 BC 为 斜 边 , 向 △ABC 一 侧 作 Rt △BCD , 使 ∠BDC = 90° BD = 5 , CD = 15. ,

再作矩形 DEA′ ,使 DE = 2 , F
DF = 5. 则 B E = 3 , CF = 10. 此时 , A′ = C A′ = B

所以 ,点 A 与 A′ . 重合

故 S △ABC = S △BCD - S △AB E S △ACF - S 矩形DEA F

三, 为简单起见 ,本题解答用 △ABC 同时表示它 的面积 . 如图 5 ,联结
AOa , a , a ,则 BO CO

而 △ABC =

由 △ABC = △AO a B + △AO a C - △BO a C ,可得
r ( a + b + c) = ra ( b + c - a) ,

即 r × p = ra (2 p - 2 a) . 2

] a k - a k - 1 = 8 ( ak - ak - 1 ) + 9.
104 = AC , 34 = AB . = = 10.

1 3p - 2p 1 · = .

四, 构造 n 个二次函数 2 f i ( x ) = ai x + 2 bi x + ci ( i = 1 ,2 , …, n) . 由于对每个 i , 都有 ai > 0 , ai ci > b2i , 即 Δi =
(2 bi ) 2 - 4 ai ci ≤ ,所以 , f i ( x ) ≥ ,也就是 0 0
2 f i ( x ) = ai x + 2 bi x + ci ≥ ( i = 1 ,2 , …, n) . 0

相加得 f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + … + f n ( x ) ≥ , 0 即
2 f ( x ) = ( a1 + a2 + …+ a n ) x +

2 ( b1 + b2 + …+ bn ) x + ( c1 + c2 + …+ cn ) ≥ 0.

因为 a1 + a2 + …+ an > 0 ,抛物线的开口向上 , Δ 0. 且有 f ( x ) ≥ ,所以 , ≤ 则有 0 Δ = [2 ( b1 + b2 + … + bn ) ] 2 - 4 ( a1 + a2 + … +
a n ) ( c1 + c2 + …+ cn ) ≤ 0.
图4

故 ( a1 + a2 + …+ an ) ( c1 + c2 + …+ cn ) ≥( b1 + b2 + …+ bn ) 2 . 五, 设在 △ABC 内部的红蓝边 ( 即一端点为红 点 ,一端点为蓝点的边 ) 有 k 条 ,又设三个顶点颜色 不同 ( 红 , , 蓝 黑各一个) 的特征三角形共有 p 个 , 三 顶点分别为红 , , 红 蓝或蓝 , , 蓝 红的小三角形共有 q 个 ,其余的小三角形 ( 如顶点颜色为红 , , ; 红 , 红 黑 红 , ;蓝 , , ; 蓝 , , ; 黑 , , ; 黑 , , ; 红 蓝 黑 蓝 蓝 黑 黑 黑 红 黑 , , ) 共 r 个. 黑 蓝等 我们统计每个小三角形红蓝边的条数 , 再把它 们加起来 ,总和数为 p + 2 q . 从另一角度看 , 由于每一条在大三角形的内部 的红蓝边都为两个小三角形的公共边 , 即被统计两 次 ,而大 △ABC 的一条红蓝边 AB 只属于一个小三角 形 ,只计数一次 . 所以 ,总和数为 2 k + 1. 因此 ,
p + 2 q = 2 k + 1. 从而 , p = 2 ( k - q) + 1 是个奇数 .

1 1 1 × × 5 15 × × 3 5 × × - 2× 2 10 5 2 2 2

△AO a B
=

1 r c, 2 a

△AO a C
=

1 r b, 2 a

△BO a C
=

1 r a. 2 a

图5

因此 , 三个顶点的颜色全不相同的特征三角形 个数 p 是奇数 , p 最少是 1. 也就是说至少有一个小 三角形是特征三角形 . ( 说明 : 选择题及填空题答案由本刊编辑部宋强 老师提供 . )
( 李延林 提供)

1 r ( a + b + c) . 2

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