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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:选4-4-1 坐标系


04 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 北京东城模拟]在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ= 2cosθ,则下列各点在圆 C 上的是( π A.(1,-3) 3π C.( 2, 4 ) ) π B.(1,6) 5π D.( 2, 4 )

π 解析:将上述各点逐个代入验证,可知 ρ=2cos(-3)=1,故 A 正确. 答案:A π

2.[2014· 佛山模拟]在极坐标系中,点 P(2,-6)到直线 l:ρsin(θ π -6)=1 的距离是( A. 3+1 C. 6 ) B. 2 D. 3+2

解析:P( 3,-1)到 x- 3y+2=0 的距离为 3+1. 答案:A 3.[2014· 深圳模拟]在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ, π 过点(4,6)作曲线 C 的切线,则切线长为( A.4 C.2 2 B. 7 D.2 3 )

π 解析:ρ=4sinθ 化成普通方程为 x2+(y-2)2=4,点(4,6)化成直

角坐标为(2 3,2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角 形,由勾股定理得切线长为 ?2 3?2+?2-2?2-22=2 2,故选 C. 答案:C π 4.[2014· 东营模拟]在极坐标系中,已知点 P(2,6),则过点 P 且 平行于极轴的直线方程是( A.ρsinθ=1 C.ρcosθ=1 ) B.ρsinθ= 3 D.ρcosθ= 3

π 解析: 先将极坐标化成直角坐标表示,P(2, 6)转化为点 x=ρcosθ π π =2cos6= 3,y=ρsinθ=2sin6=1,即( 3,1),过点( 3,1)且平行 于 x 轴的直线为 y=1,再化为极坐标为 ρsinθ=1. 答案:A 5. [2014· 皖南八校联考]已知曲线 M 与曲线 N: ρ=5 3cosθ-5sinθ 关于极轴对称,则曲线 M 的极坐标方程为( π A.ρ=-10cos(θ-6) π C.ρ=-10cos(θ+6) )

π B.ρ=10cos(θ-6) π D.ρ=10cos(θ+6)

5 3 解析: 曲线 N 的直角坐标方程为 x2+y2=5 3x-5y, 即(x- 2 )2 5 5 3 5 +(y+2)2=25,故其圆心为( 2 ,-2),半径为 5.又∵曲线 M 与曲线 5 3 5 N 关于 x 轴对称,∴曲线 M 仍表示圆且圆心为( 2 ,2),半径为 5, 5 3 5 ∴曲线 M 的方程为(x- 2 )2+(y-2)2=25,即 x2+y2=5 3x+5y,

π 化为极坐标方程为 ρ=5 3cosθ+5sinθ=10cos(θ-6),故 B 正确. 答案:B π 6.[2014· 陕西检测]在极坐标系中,曲线 ρ=4cos(θ-3)上任意两 点间的距离的最大值为________. π 解析:∵ρ=4cos(θ-3)化成直角坐标方程为(x-1)2+(y- 3)2= 4,表示以(1, 3)为圆心,r=2 的圆,∴曲线上即圆上任意两点间距 离的最大值为圆的直径 4. 答案:4 7. 在极坐标系中, 曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ+ρsinθ=1 的交点为 A, B,则|AB|=________. 解析:将 ρ=2sinθ 化成直角坐标方程得 x2+y2-2y=0,即 x2+ (y-1)2=1, 将 ρcosθ+ρsinθ=1 化成直角坐标方程得 x+y=1.圆心(0,1) 在直线 x+y=1 上,故|AB|=2r=2. 答案:2
? ? ?x=2cosθ ?x=t 8.已知曲线 C:? (θ 为参数)和直线 l:? (t 为 ?y=2sinθ ?y=t+b ? ?

参数,b 为实数),若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离都等于 1, 则 b=________. 解析:将曲线 C 和直线 l 的方程分别化成普通方程得 x2+y2=4 和 y=x+b,依题意,若要使圆上有 3 个点到直线 l 的距离为 1,只 要满足圆心到直线的距离为 1 即可,得到 答案:± 2 π 9.[2014· 佛山模拟]在极坐标系中,射线 θ=3(ρ≥0)与曲线 C1:ρ |b| =1,解得 b=± 2. 2

=4sinθ 的异于极点的交点为 A,与曲线 C2:ρ=8sinθ 的异于极点的 交点为 B,则|AB|=________. 解析:将射线与曲线 C1 的方程联立,得

?θ=π, ? 3 ?ρ=4sinθ,

?θ=π, 解得? 3 ?ρ=2 3,

π 故点 A 的极坐标为(2 3,3);

?θ=π, 同理由? 3 ?ρ=8sinθ,

?θ=π, 得? 3 ?ρ=4 3,

π 可得点 B 的极坐标为(4 3,3), 所以|AB|=4 3-2 3=2 3. 答案:2 3 10.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立 π a-b 坐标系.直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ-3)= 2 ,与曲线 C:ρ= 2 交于 A,B 两点,已知|AB|≥ 6. (1)求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若动点 P(a,b)在曲线 C 围成的区域内运动,求点 P 所表示的 图形的面积.

解:(1)直线 l 的直角坐标方程为 x+ 3y=a-b,曲线 C 的直角 坐标方程为 x2+y2=2. |a-b| 2 (2)因为|AB|≥ 6,所以圆心到直线的距离 d= 2 ≤ 2 ,即|a -b|≤ 2.动点 P(a,b)在曲线 C 围成的区域内运动,如图阴影部分所 示,阴影部分的面积为 π+2. 11.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立
? ?x=t 坐标系. 直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 曲线 C1 的方程为 ρ(ρ ?y=at ?

-4sinθ)=12,定点 A(6,0),点 P 是曲线 C1 上的动点,Q 为 AP 的中 点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与直线 C2 交于 A,B 两点,若|AB|≥2 3,求实数 a 的 取值范围. 解:(1)由题意知,曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-4y=12.
? ?x′=2x-6 设点 P(x′,y′),Q(x,y).由中点坐标公式得,? ? ?y′=2y

代入 x2+y2-4y=12 中,得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为(x-3)2 +(y-1)2=4. (2) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 y = ax. 由 垂 径 定 理 , 得 3 ≤ 22-? 3?2,解得 a 的取值范围是[0,4]. 12.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知 π 点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标为(4,2),若直线 l 过点 |3a-1| a2+1

π P,且倾斜角为3,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. π 解:(1)由题意,直线 l 的普通方程是 y+5=(x-1)tan3,此方程 y+5 x-1 y+5 x-1 可化为 π = π ,令 π = π =a(a 为参数),得直线 l 的参数方 sin3 cos3 sin3 cos3

?x=2a+1, 程为? 3 ?y= 2 a-5

1

(a 为参数).

圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16,即 x2+y2-8y=0,将 x =ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 ρ2-8ρsinθ=0, 化简得 ρ=8sinθ,即为圆 C 的极坐标方程. (2)由(1)得出圆心 M 的直角坐标是(0,4), 直线 l 的普通方程是 3x-y-5- 3=0, 圆心 M 到直线 l 的距离 d= |0-4-5- 3| 9+ 3 = 2 >4, 3+1

所以直线 l 和圆 C 相离. B级 知能提升 π 1.在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cosθ,曲线 C2:θ=4,若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点,则线段 AB=________. 解析:曲线 C1 与 C2 均经过极点,因此极点是它们的一个公共

?ρ=2cosθ, 点.由? π ?θ=4
答案: 2

?ρ= 2, 得? π ?θ=4,

即曲线 C1 与 C2 的另一个交点与

极点的距离为 2,因此 AB= 2.

2.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0 没有 公共点,则实数 m 的取值范围是________. 解析:注意到曲线 ρ2-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y+4=0, 即(x-1)2+(y+2)2=1.要使直线 3x+4y+m= 0 与该曲线没有公共点,只要圆心(1,-2)到直线 3x+4y+m=0 的距 离大于圆的半径即可,即 m<0 或 m>10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) π 3.[2014· 黄冈质检]在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为(6,2), π 半径为 5,直线 θ=α(0≤α≤2,ρ∈R)被圆截得的弦长为 8,则 α 的 值为________. 解析:根据题意知,圆心到直线的距离为 3,又圆心的直角坐标 为(0,6),半径为 5,故圆的直角坐标方程为 x2+(y-6)2=25. π 将 θ = α(0≤α≤ 2 , ρ ∈ R) 化 为 直 角 坐 标 方 程 得 y = π (tanα)x(0≤α≤2), π 即(tanα)x-y=0(0≤α≤2), 故圆心(0,6)到直线(tanα)x-y=0 的距 离为 |-6| =3, tan α+?-1?2
2

|3×1+4×?-2?+m| >1,|m-5|>5,解得, 5

解得 tanα= 3或 tanα=- 3(舍去). π π 又 0≤α≤2,所以 α=3. π 答案:3 4.在平面直角坐标系中,直线 l 过点 P(2, 3)且倾斜角为 α, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极 π 坐标方程为 ρ=4cos(θ-3),直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点. (1)若|AB|≥ 13,求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围; (2)求弦 AB 最短时直线 l 的参数方程. π 解:(1)∵曲线 C 的极坐标方程为 p=4cos(θ-3), ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y- 3)2=4. 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d. ∵|AB|≥ 13, 3 ∴d≤ 2 . 当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=2 3< 13,不成立. 当直线 l 的斜率存在时,设 l:y- 3=k(x-2), 则 d= |k| 3 2≤ 2 , 1+k

∴- 3≤k≤ 3, π 2π ∴直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是[0,3]∪[ 3 ,π). π (2)要使弦 AB 最短,只需 l⊥CP,∴直线 l 的倾斜角为2,

? ?x=2 ∴直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y= 3+t


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