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第24讲 2004年全国高中数学联赛试题及详细解析


一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 2 1 .设锐角 ? 使关于 x 的方程 x +4xcos?+cos?=0 有 重根,则 ? 的弧度数为 ( )

A.

?
6
2

? 5? B. 或
12 12
2

? 5? C. 或
6 1

2

D.

?

12

则 (

2. 已知 M={(x, y)|x +2y =3}, N={(x, y)|y=mx+b}. 若对于所有的 m∈R, 均有 M∩N??, b 的 取 值 范 围 是 )

A.[-
2 3 ] 3

6 6 , ] 2 2

B.(-

6 6 , ) 2 2

C.(-

2 3 2 3 , ] 3 3

D.[-

2 3 , 3

1 3 3.不等式 log2x-1+ log1 x +2>0 的解集为 2 2

A.[2,3)

B.(2,3]

C.[2,4)

D.(2,4]

→ → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC = 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比 为( ) 3 2 5 3

A.2

B.

C.3

D.

8.设函数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,

则 f(x)= ; 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1—A1 的度数是 10. 设 p 是给定的奇质数, 正整数 k 使得 k -pk也是一个正整数, 则 k=
2

; ;
n

1 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑ 的
i=0

ai

值是

; 12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ;

二试题 一.(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相 交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长. 二.(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中,y 轴正半轴上的点列 1 {An}与曲线 y= 2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|= ,直线 AnBn 在 x 轴
G

C

D H K A F E B

n

上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为 bn,n∈N*. ⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*; ⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有 + +?+

b2 b3 b1 b2

bn bn+1 + <n-2004. bn-1 bn

三.(本题满分 50 分)对于整数 n≥4,求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m, 集合{m,m+1,?,m+n-1}的任一个 f(n)元子集中,均至少有 3 个两两互素的元素.

2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 2 1 . 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程 x +4xcos?+cot?=0 有 重 根 , 则 ? 的 弧 度 数 为 ( )

A.

?
6

? 5? B. 或
12 12

? 5? C. 或
6 12

D.

?

12

【答案】B 1 2 【解析】由方程有重根,故 ?=4cos ?-cot?=0, 4

? ? 5? ∵ 0<?< ,?2sin2?=1,??= 或 .选 B. 2 12 12

1 3 3.不等式 log2x-1+ log1x +2>0 的解集为 2 2

A.[2,3)
【答案】C

B.(2,3]

C.[2,4)

D.(2,4]

3 【解析】令 log2x=t≥1 时, t-1> t-2.t∈[1,2),?x∈[2,4),选 C. 2

→ → → → 4.设点 O 在?ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC = 0 ,则?ABC 的面积与?AOC 的面积的比 为( ) 3 2 5 3
B B1 D O S C C1

A.2

B.

C.3

D.

A

【答案】C 【 解 析 】 如 图 , 设 ?AOC=S , 则 ?OC1D=3S , ?OB1D=?OB1C1=3S , ?AOB=?OBD=1.5S.?OBC=0.5S,??ABC=3S.选 C.

5.设三位数 n=??? abc,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则

这样的三位数 n 有( A.45 个

)

B.81 个

C.165 个

D.216 个

6.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内 的点,O 为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点, 则 当 三 棱 锥 O - HPC 的 体 积 最 大 时 , OB 的 长 为 ( )

A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标 系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数 g(x)= 2? 2 【答案】 a +1.

a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是



a

【解析】f(x)=

2? 2? a2+1sin(ax+?),周期= ,取长为 ,宽为 2 a2+1的矩形,由对称 a a 2?

性知,面积之半即为所求.故填

a

a2+1.

? ?1 2 a2+1 2 2p 2 又解: a +1[1-sin(ax+?)]dx= a +1. (1 - sin t ) dt= ∫?0 a ∫0 a
8.设函 数 f:R→R,满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y) -x+2,则 f(x)= ; 【答案】x+1 【解析】令 x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2 ,?f(1)=2. 令 y=1,得 f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即 f(x+1)=2f(x)-x.① 又,f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,令 y=1 代入,得 f(x+1)=2f(x)-f(x)-1+2,即 f(x+1)=f(x)+1.② 比较①、②得,f(x)=x+1.
[来源:学科网 ZXXK]

10. 设 p 是给定的奇质数, 正整数 k 使得 k -pk也是一个正整数, 则 k= 1 2 【答案】 (p+1) . 4
2

2



p 2 2 p 1 2 2 2 【解析】 设 k -pk=n, 则(k- ) -n = , ?(2k-p+2n)(2k -p-2n)=p , ?k= (p+1) . 2 4 4

1 11.已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则∑ 的
i=0

n

ai

值是



[来源:Z.xx.k.Com]

1 n+2 【答案】 (2 -n-3). 3

【解析】
n+2

= + ,?令 bn= + ,得 b0= ,bn=2bn-1,?bn= ?2n.即 = an+1 an 3 an 3 3 3 an

1

2 1

1 1

2

2

1 2 -1 1 1 ,?∑ = 3 i=0 ai 3

n+1

n

(2 -n-3). 12.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动, 当∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ; y 【答案】1 N 【解析】当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP M 与 x 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠MP?N 更大).于是,延长 NM 2 交 x 轴于 K(-3,0),有 KM·KN=KP ,?KP=4.P(1,0),(-7,0), O P K 但(1,0)处⊙MNP 的半径小,从而点 P 的横坐标=1. 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次, n 如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2 ,则算过关.问: ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关? ⑵ 他连过前三关的概率是多少?

x

4 14.在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 3 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过?ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜 率 k 的取值范围. 【解析】⑴ 设点 P 的坐标为(x,y),
[来源:学&科&网]

1 1 5 1 (b) k=0 时,直线 y= 与圆④切于点(0, ),与双曲线⑤交于(± 2, ),即 k=0 满足要 2 2 8 2 求. 1 (c) k=± 时,直线⑥与圆只有 1 个公共点,与双曲线⑤也至多有 1 个公共点,故舍 2 去. 1 2 2 (c) k?0 时,k? 时,直线⑥与圆有 2 个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k )x -5kx- 2 25 =0. 4 2 34 2 2 2 2 当 8-17k =0 或(5k) -25(8-17k )=0,即得 k=± 与 k=± . 17 2 ∴ 所求 k 值的取值范围为{0,± 2 34 2 ,± }. 17 2 2x-t 的定义 x2+1

15.已知?,?是方程 4x -4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)=
2

域为[?,?]. ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 ? ⑵ 证明: 对于 ui∈(0, )(i=1, 2, 3), 若 sinu1+sinu2+sinu3=1, 则 + 2 g(tanu1) g(tanu2) + 1

g(tanu3)

<

3 6 . 4

1 【解析】⑴ ?+?=t,??=- .故?<0,?>0.当 x1,x2∈[?,?]时, 4 ∴ f ?(x)= 2(x +1)-2x(2x-t) -2(x -xt)+2 2 = .而当 x∈[?,?]时,x -xt<0,于是 2 2 2 2 (x +1) (x +1)
2 2

f ?(x)>0,即 f(x)在[?,?]上单调增. 2 2 2?-t 2?-t (2?-t)(? +1)-(2?-t)(? +1) (?-?)[t(?+?)-2??+2] ∴ g(t) = 2 - 2 = = 2 2 ? +1 ? +1 (? +1)(? +1) ?2?2+?2+?2+1 t2+1(t2+ ) = t2+
25 16 5 2 8 t +1(2t +5) 2 16t +25
2 2

=

二试题 一.(本题满分 50 分)在锐角三角形 ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H, 以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点,FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20, BE=7,求 AK 的长.

二. (本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中, y 轴正半轴上的点列{An}与曲线 y= 2x 1 (x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|= ,直线 AnBn 在 x 轴上的截距为 an,点 Bn 的横坐标为

n

bn,n∈N*.
⑴ 证明 an>an+1>4,n∈N*;
[来源:学*科*网]

⑵ 证明有 n0∈N*,使得对?n>n0,都有 + +?+

b2 b3 b1 b2

bn bn+1 + <n-2004. bn-1 bn n
1 2 1+( )

1 1 2 2 【解析】 ⑴ 点 An(0, ), Bn(bn, 2bn)?由|OAn|=|OBn|, ?bn +2bn=( ) , ?bn=

n

n

-1(bn>0). 1 2 2 ∴ 0<bn< 2.且 bn 递减,?n bn=n( n +1-n)= 2n 1 2 1

n n +1+n
2

=

1 1+( ) +1 1
2

单调增.

n

∴ 0<n bn<

.?令 tn=

n bn

> 2且 tn 单调减.

由截距式方程知, +

bn an

2bn =1,(1-2n2bn=n2bn2) 1

n

∴ an=

bn bn(1+n 2bn) 1+n 2bn 1 2 1 2 2 1 2 = = 2 =( ) + 2( )=tn + 2 tn=(tn+ ) - ≥ 2 n bn 2 2 1-n 2bn 1-2n bn n bn n bn

( 2+

2 2 1 ) - =4. 2 2

且由于 tn 单调减,知 an 单调减,即 an>an+1>4 成立. 1 1 亦可由 2 =bn+2. = bn+2,得 an=bn+2+ 2 bn+2, .

n bn

n bn

∴ 由 bn 递减知 an 递减,且 an>0+2+ 2? 2=4.
[来源:学#科#网]

三.(本题满分 50 分)对于整数 n≥4,求出最小的整数 f(n),使得对于任何正整数 m, 集合{m ,m+1,?,m+n-1}的任一个 f(n)元子集中,均至少有 3 个两两互素的元素. 【解析】⑴ 当 n≥4 时,对集合 M(m,n)={m,m+1,?,m+n-1}, 当 m 为奇数时,m,m+1,m+2 互质,当 m 为偶数时,m+1,m+2,m+3 互质.即 M 的子集 M 中 存 在 3 个 两 两 互 质 的 元 素 , 故 f(n) 存 在 且 f(n) ≤ n. ① 取集合 Tn={t|2|t 或 3|t,t≤n+1},则 T 为 M(2,n)={2,3,?,n+1}的一个子集,且其 中任 3 个数无不能两两互质.故 f(n)≥card(T)+1. 但 [ card(T)=[

n+1
2

]+[ ②

n+1
3

] - [

n+1
6

] . 故

f(n) ≥ [

n+1
2

]+[

n+1
3

] -

n+1
6

]+1.

由①与②得,f(4)=4,f(5)=5.5≤f(6)≤6,6≤f(7)≤7,7≤f(8)≤8,8≤f(9)≤9. 现计算 f(6),取 M={m,m+1,?,m+5},若取其中任意 5 个数,当这 5 个数中有 3 个 奇数时,这 3 个奇数互质;当这 3 个数中有 3 个偶数 k,k+2,k+4(k?0(mod 2))时,其中至 多有 1 个被 5 整除,必有 1 个被 3 整除,故至少有 1 个不能被 3 与 5 整除,此数与另两个


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