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高中数学必修五2.4等比数列(一)


2.4等比数列 (一)
主备人:高秀娟 副备人:魏本忠

课前小练
数 定 列 义 等 差 数 列

an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

同一常数
通项公式 性质

如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?

这 些 数 列 有 什 么 共 同 特 点 ?

拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
我国古代学者提出:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 即一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完,这样每天 剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰”看成单 位“1”,那么得到的数列是

1 1 1 1 1 1, , , , ,..., n ?1 ,... 2 4 8 16 2
如果每一轮每一台电脑都感染20台电脑,那么在不重复的情 况下,这种病毒每一轮感染的电脑数构成的数列是:

1,20,202,203,…,20n-1 ,… 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。

【学习目标】
1、理解等比数列的概念; 2、掌握等比数列的通项公式; 重点:等比数列的定义和通项公式。 难点:从实际问题中抽象出数列模型。

名 称

等差数列

等比数列

如果一个数列,从第2 如果一个数列,从第 2 项起,每一项与它前一 项起,每一项与它前一 定 项的差都等于同一个常 项的比都等于同一个常 数, 义 数, 这个数列叫做等差数列. 这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等差数列 这个常数叫做等比数列 的公差,用d表示 的公比,用q表示.

1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前
一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.

这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示。

其数学表达式:

an * ? q n ? 2, n ? N an?1

?

?或

an?1 * ? q n? N an

?

?

【 1、判断下列数列是否为等比数列。若是,则公 预 比是多少,若不是,请说明理由: 习 (1) 16,8,4,2, 1, … ; 是,公比是0.5 自 测 (2) 5,-25,125,- 625,…; 是,公比是-5 】 (3) 1,0,1,0,1,…; 不是
(4) 2,2,2,2,2,…; 是,公比是1

(5)

1,x,x ,x ,x ,?

2

3

4

x =0时,不是;
否则,是.公比为x

(1)an ? 0 即等比数列的每一项都不为0; (2)q ? 0 即等比数列的公比不为0; (3)q ? 1 为非零常值数列;

2、等比数列的通项公式:
?

法一:递推法(不完全归纳法)

等 差 数 列

a2 ? a1 ? d

a3 ? a1 ? 2d 类比

a4 ? a1 ? 3d ……

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列的 通项公式可得:

……

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

2、等比数列的通项公式:
? 法二:迭加法 累乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1

a4 ?q a3 ……

a3 ?q a2

共n – 1 项

an ?q ×) an ?1

an n ?1 ?q a1

3.性质:
等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? ?q m ?1 am a1q
可得

n ?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n ?m

4、等比中项
? 如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G叫 做a,b的等比中项.
?

如果G是a与b的等比中项,那么 G2=ab, 因此, G ? ? ab

G b ? a G ,即

【 2、2 与 4 的等比中项是________. ?2 2 预 习 3、等比数列{ an }中, 已知 a1 ? 2,q=3, 自 测 n ?1 54 2?3 则a4 ? _____ ,an ? _________. 】

【课内探究】 (展示)
例 1、在等比数列{ an }中. (1)已知 an ? 128, a1 ? 4, q ? 2 ,求 n ; (2)已知 an ? 625, n ? 4, q ? 5 ,求 a1 ; (3)已知 a1 ? 2, a3 ? 8 ,求公比 q 和通项公式. 变式:在等比数列{ an }中, (1)已知 a3

? 2,a5 ? 8,求a7;
? 5,a5 ? a1 ? 15,求a1和公比q.

(2)已知 a3 +a1

例 1、在等比数列{ an }中. (1)已知 an ? 128, a1 ? 4, q ? 2 中. (1)已知 an ? 128, a1 ? 4, q ? 2 ,求 n ;

(2)已知 an ? 625, n ? 4, q ? 5 ,求 a1 ;
n ?1

(3)已知 a1 ? 2, a3 ? 8 ,求公比 q 和通项公式.

解:(1) 由已知得 128=4 ? 2



即2

n ?1

=2

5

故n ? 6

4 ?1 3 4 由已知得 625= a ? 5 , 即 5 a =5 ( 2) 1 1

故 a1 ? 5
2 2 由已知得 8=2 ? q ,即 q =4 ( 3) 又 a1 ? 2 ? q ? ?2

n?1 n?1 (-2) =(-1) ? 2n 故 an ? 2 ? 2n?1 =2n 或an ? 2 ?

a3 2, a5 8,求 a 变式:在等比数列{ 1)已知 a3 ?? 2, a5 ?? 8,求 a7 ; 7; 变式:在等比数列{ 1)已知 ana}中,( n }中,(
a +1a1 5, a? 15 ,求 ( 2)已知 a3 + ?? 5, a5 a1a1 ?? 15 ,求 a1a 和公比 q.q. 3a 5 ? 1和公比 ( 2)已知 1 ? 2 ? ? a1 ? q =2 ?a1 = (1)法一:由已知得 ? ,解得 ? 2 4 ? ? q 2 =4 ?a1 ? q =8 ?
a5 法二:利用q = 及a7 ? a5 ? q 2求 a3
2

1 3 ? a7 ? a1 ? q = ? 4 =32 2
6

法三:利用a3,a5,a7成等比数列求
2 2 ? ? ? a1q +a1 =5 ? a1 (q +1)=5 ① (2)由已知得 ? 4 ,即 ? , 4 ? ? ? a1q ? a1 =15 ? a1 (q ? 1)=15 ②

由 ② ? ①得q2 ? 1 ? 3,? q= ? 2
代入①得a1 ? 1 故 a1 ? 1, q= ? 2

例2、某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年 剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多 长(精确到1年)? (放射性物质衰变到原来的一半所需 时间称为这种物质的半衰期) 解:设这种物质质量是1, 经过n年,剩留量是an .
由条件可得,数列{an }是一个等比数列,其中 a1 ? 0.84,q ? 0.84

设an ? 0.5,则 0.84n ? 0.5
两边取对数,得 n lg 0.84 ? lg 0.5

lg 0.84 所以,n ? ?4 lg 0.5

答:这种物质的半衰期约为4年.

小结
数列
定义 同一常数 通项公式

等差数列
an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

等比数列

an ?1 ? q(q ? 0, an ? 0) an
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m

性质

你还知道等差数列有什么性质吗? 你能类比写出等比数列的性质吗?

【反馈检测】

1.在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是( ). 1.在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是( D ). A.递增数列 B.递减数列 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定数列的增减性 C.常数列 D.无法确定数列的增减性 1 2.已知{an}是等比数列, (1)若 a2 ? 2,a4 ? 1 ,则公比q =_______ ; 2.已知{an}是等比数列, (1)若 a2 ? 2,a4 ? 4 ,则公比q =_______ ; 4 (2)若 a2 ? 5,a4 ? 10,则公比q=_______ . (2)若 a2 ? 5,a4 ? 10,则公比q=_______ .

1 2

( 1)a4 ? 27,q ? ?3,求a7; 3、在等比数列{an}中, ( 1)a4 ? 27, q4 ? ?3,求a7; 3、在等比数列{an}中, 7? (2)a2 ? 18,a4 ? 8,求a1和q; (2)a2 ? 18,a4 ? 8,求a1和q;

? 2

(1)a7 ? a4 ? q

? ?729

?a1 ? 27 ?a1 ? ?27 ? ? 或? (3)a5 ? a1 ? 15,a4 ? a2 ? 6,求a3. (2) ? 2 2 (3)a5 ? a1 ? 15,a4 ? a2 ? 6,求a3. q? q?? ? ? 3 3 ? ? ?a1 ? ?16 ?a1 ? 1 ? (3) ? 或? 1 ?q ? 2 ?q ? ? 2

4、某地为了保持水土资源实行退耕还林,如果2013年退耕8万 公顷,以后每年比一年增加10%,那么2018年需退耕多少万公 顷?(结果保留到个位)

设经过n年,退耕an万公顷. 解: 由条件可得,数列{an }是一个等比数列,其中 a1 ? 8 ? 1.1,q ? 1.1

则2018年需退耕 a5 ?(8 ? 1.1) ? 1.14 ? 13万公顷

答:2018年需退耕约13万公顷.

例3:由下列等比数列的通项公式,求首项与公比 (1)an=2n (2) an= 3×10n

思考:你能判断它们的增减性吗? 解:n=1 n=2 a1=21=2 a2=22=4 解:由等比数列的 通项公式的特点可 得:q=10,a1=-30

可得:q=2
(等差) an ? An+B

an ? A×Bn (等比)

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设其 厚度为0.1毫米,那么当你把 这张纸对折了51次的时候,所 达到的厚度有多少?

猜一猜
把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与 太阳之间的距离!

应用拓展
图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以 中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图 (2),如此继续下去,得图(3)……试求第n个图形的边 数,边长和周长.

思 考 按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线.可以发现, 当n增大时,这个图形的边长越来越小,但周长却越来越大,你 还能发现这个图形其他有趣的性质吗?

解:设第n个图形的边长为an.由题意知,从第二个图形起, 每一个图形的边长均为上一个图形边长的1/3,所以数列{an} 是首项为1,公比为1/3的等比数列.故

要计算第n个图形的周长,只需计算第n个图形的边 数.第1个图形的边数为3,因为从第2个图形起,每一个 图形的边数均为上一个图形边数的4倍,所以,第n个图形 的边数为3×4n-1.因此, 第n个图形的周长= .


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