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数学归纳法证明不等式2


一 复习回顾
数学归纳法: 数学归纳法
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 关于正整数 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 的命题 ), 以采用下面方法来证明其正确性: 以采用下面方法来证明其正确性: 1.验证第一个命题成立 验证第一个命题成立( 1.验证第一个命题成立(即n=n0第一个命题对应的 = n的值,如n0=1) (归纳奠基) ; 的值,

归纳奠基) 的值 归纳奠基 2.假设当 =k时命题成立,证明当 =k+1时命题也 时命题成立, 2.假设当n= 时命题成立 证明当n= + 假设当 归纳递推) 成立(归纳递推). 归纳递推 用上假设, 用上假设,递推才真 都成立! 由(1)、(2)知,对于一切n≥n0的自然数n都成立! (1)、(2)知 注意:递推基础不可少 归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 递推基础不可少,归纳假设要用到 结论写明莫忘掉. 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉

数学归纳法证明不等式问题. 数学归纳法证明不等式问题 1:用数学归纳法证明 用数学归纳法证明: 用数学归纳法证明

1 1 1 13 * + +… > (n≥2,n∈N ). + n+1 n+2 2n 24

1 1 1 1 14 13 + = + = > , 证:(1)当n=2时, 左边 当 时 左边= 2+1 2+2 3 4 24 24 不等式成立. 不等式成立
(2)假设当 假设当n=k(k≥2)时不等式成立 即有 时不等式成立,即有 假设当 时不等式成立 即有:

1 1 1 13 + +…+ > , k +1 k +2 2k 24

则当n=k+1时,有: 时有 则当

1 1 1 1 1 + +…+ + + (k + 1) + 1 (k + 1) + 2 2k 2k + 1 2k + 2 1 1 1 1 1 1 = + +…+ +( + ? ) k +1 k + 2 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1

13 1 1 13 1 13 > +( ? )= + > . 24 2k +1 2k +2 24 (2k +1)(2k +2) 24
即当n=k+1时,不等式也成立 时 不等式也成立 不等式也成立. 即当 由(1)、(2)原不等式对一切 、 原不等式对一切 都成立. n∈N,n≥2都成立

1 1 1 1+ + + …+ < 2 n (n ∈ N * ) 2:证明不等式 证明不等式: 证明不等式 2 3 n

左边=1,右边 不等式显然成立. 证:(1)当n=1时,左边 右边 当 时 左边 右边=2, 不等式显然成立 (2)假设当 假设当n=k时不等式成立 即有 时不等式成立,即有 假设当 时不等式成立 即有:
1+ 1 1 1 + +…+ < 2 k, 2 3 k

则当n=k+1时,我们有 时 我们有 我们有: 则当

1 1 1 1 1 1+ + +…+ + <2 k + , 2 3 k k +1 k +1 1 1 Q 2 k + 1 ? (2 k + ) = 2( k + 1 ? k ) ? k +1 k +1 2 2 = ? > 0. k +1 + k k +1 + k +1 1 ∴2 k + < 2 k + 1. k +1 1 1 1 1 故 :1 + + + …+ + < 2 k + 1. 2 3 k k +1

即当n=k+1时,不等式也成立 时 不等式也成立 不等式也成立. 即当 根据(1)、 可知 可知,原不等式对一切正整数都 成立. 根据 、(2)可知 原不等式对一切正整数都 成立

3:已知 已知: 已知

求证: 求证 ( a,b>0,a≠b,n∈N ,n>1 ,
*
2 2

a+b n a +b )< . 2 2
n n
2

a+b 2 a +b ?(a?b) 证:(1)当n=2时, Q( 当 时 )? = < 0(a ≠ b), 2 2 4
不等式成立. 故原 不等式成立

(2)假设当 假设当n=k(k≥2)时不等式成立 即 时不等式成立,即 假设当 时不等式成立 则当n=k+1时,注意到 时 注意到 注意到a,b>0,我们有 我们有: 则当 我们有

a+b k a +b ( )< . 2 2
k k

a + b k +1 a k +1 + b k +1 a k + b k a + b a k +1 + b k +1 < ? ? ( ) ? 2 2 2 2 2 k k k +1 k +1 k k ab + ba ? a ? b ? (a ? b)(a ? b ) = = 4 4 2 k ?1 k ?2 k ?2 k ?1 ? (a ? b) (a + a b + … + ab + b ) = < 0. 4 k+ 1 k+ 1


a+b k+1 a +b ( ) < , 2 2

即当n=k+1时,不等式也成立 即当 时 不等式也成立. 不等式也成立

由(1)、(2)原不等式对一切 、 原不等式对一切

n ∈ N, n ≥ 2 都成立 都成立.


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