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3.2.1古典概型


3.2.1

古典概型

问题提出

1.两个事件之间的关系包括包含事件、 相等事件、互斥事件、对立事件,事件 之间的运算包括和事件、积事件,这些 概念的含义分别如何?

若事件A发生时事件B一定发生,则 A ? B . 若事件A发生时事件B一定发生,反之亦 然,则A=B.若事件A与事件B不同时发

生,则A与B互斥.若事件A与事件B有且 只有一个发生,则A与B相互对立.

2.概率的加法公式是什么?对立事件的 概率有什么关系? 若事件A与事件B互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B相互对立,则 P(A)+P(B)=1. 3.通过试验和观察的方法,可以得到一些 事件的概率估计,但这种方法耗时多,操 作不方便,并且有些事件是难以组织试验 的.因此,我们希望在某些特殊条件下, 有一个计算事件概率的通用方法.

知识探究(一):基本事件
思考1:抛掷两枚质地均匀的硬币,有哪 几种可能结果?连续抛掷三枚质地均匀 的硬币,有哪几种可能结果? (正,正),(正,反), (反,正),(反,反);

(正,正,正),(正,正,反), (正,反,正),(反,正,正), (正,反,反),(反,正,反), (反,反,正),(反,反,反).

思考2:上述试验中的每一个结果都是随 机事件,我们把这类事件称为基本事件. 在一次试验中,任何两个基本事件是什 么关系? 互斥关系 思考3:在连续抛掷三枚质地均匀的硬币 的试验中,随机事件“出现两次正面和 一次反面”,“至少出现两次正面”分 别由哪些基本事件组成?

思考4:综上分析,基本事件有哪两个特征?

(1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以 表示成基本事件的和. 思考5:从字母a,b,c,d中任意取出两个不 同字母的试验中,有哪些基本事件?事件 “取到字母a”是哪些基本事件的和?

A={a,b},B={a,c},C={a,d}, D={b,c},E={b,d},F={c,d}; A+B+C.

知识探究(二):古典概型 思考1:抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些 基本事件?每个基本事件出现的可能性 相等吗?

思考2:抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪 些基本事件?每个基本事件出现的可能 性相等吗?

思考3:从所有整数中任取一个数的试验中, 其基本事件有多少个? 无数个

思考4:如果一次试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个(有限性),且每个基本事 件出现的可能性相等(等可能性),则具有 这两个特点的概率模型称为古典概型. 在射击练习中,“射击一次命中的环数” 是古典概型吗?为什么?

不是,因为命中的环数的可能性不相等.

思考5:随机抛掷一枚质地均匀的骰子是 古典概型吗?每个基本事件出现的概率 是多少?随机事件出现的概率如何计算?
P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”)=P(“5点”)= P(“6点”)

P(“1点”)+P(“2点”)+ P(“3点”)+ P(“4点”)+P(“5点”)+ P(“6点”)=1.

思考6:一般地,如果一个古典概型共有 n个基本事件,那么每个基本事件在一次 试验中发生的概率为多少?
1 n

思考7:随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 利用基本事件的概率值和概率加法公式, “出现偶数点”的概率如何计算?“出 现不小于2点” 的概率如何计算?

思考8:考察抛掷一枚质地均匀的骰子的 基本事件总数,与“出现偶数点”、 “出现不小于2点”所包含的基本事件的 个数之间的关系,你有什么发现? P(“出现偶数点”)=“出现偶数 点”所包含的基本事件的个数÷基 本事件的总数; P(“出现不小于2点”)=“出现 不小于2点”所包含的基本事件的个 数÷基本事件的总数.

思考9:一般地,对于古典概型,事件A在 一次试验中发生的概率如何计算?
P(A)=事件A所包含的基本事件的个数 ÷基本事件的总数.

理论迁移

例1 单选题是标准化考试中常用的 题型,一般是从A,B,C,D四个选项中 选择一个正确答案.如果考生掌握了考 查的内容,他可以选择唯一正确的答案, 假设考生不会做,他随机地选择一个答 案,问他答对的概率是多少?
P(“答对”)=
“答对”所包含的基本事件的个数 4

1 ? ? 0.25 4

例2 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有 多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?

36;4;1/9.

例3 假设储蓄卡的密码由4个数字 组成,每个数字可以是0,1,2,?,9 十个数字中的任意一个.假设一个人完 全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自 动取款机上随机试一次密码就能取到钱 的概率是多少?

0.0001

例4 某种饮料每箱装6听,如果其中 有2听不合格,质检人员依次不放回从某 箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品 的概率. 8÷30+8÷30+2÷30=0.6

小结作业
1.基本事件是一次试验中所有可能出现 的最小事件,且这些事件彼此互斥.试 验中的事件A可以是基本事件,也可以 是有几个基本事件组合而成的.
2.有限性和等可能性是古典概型的两个

本质特点,概率计算公式P(A)=事件A 所包含的基本事件的个数÷基本事件的 总数,只对古典概型适用


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