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不等式恒成立的参数范围求解策略


2 0 1 4 年第 4 期  数 学教 学  左 一 3 i   不 等式 恒成 立 的参 数 范 围求解 策 略  2 0 0 0 7 1 上海市市北 中学  邹建 兵  不等 式恒 成立 是 中学数 学 的一类 常 见 问   题, 集 合 、不 等 式 、 函 数 ( 数 列) 的最 值 与 单 调  性 等 都 与 不 等 式 恒 成 立 问题 相 关 , 同 时 由于 处  理 不 等 式恒 成 立 问题 往 往 需 要 使 用 多种 数 学 思  想 与方 法 , 因此 也成 为 各 类 考 试 包 括 各 地 高 考  中的热 点问题 . 不等 式恒成立 问题 中的参数 范  围求解 很 多文章对 此进 行研 究, 并给 出了许  多处理方法.结合常见数学思想方法和不等式  恒 成 立 的数 学 本 质 , 对 于 求 解 不 等 式 恒 成 立 的  参 数 范 围 问题 , 笔 者 认 为 主要 有 如下 三 种 方 法 .   ( 一 )最 值 一 确 界 法  将不等式变形 为一侧含变量 的式子, 一侧  仅含常数, 通 过 最 值 或 确 界 求 出参 数 取 值 范 围.   ( 2 )若对任意  ∈[ 1 , +∞) , f ( x ) >0 恒成  立, 试 求 实数 a的 取值 范 围 .   解 :( 1 )略 .   ( 2 ) 在 区间 [ 1 , +。 。 ) 上, f ( x ) >0 恒成立 , 即   X  +2 x+ a>0 在区间 [ 1 , + 。 。 ) 上 恒 成立 , 设  g ( x ) =X 2 +2 x + a , X∈[ 1 , +。 。 ) , 9 (   )   i  =g ( 1 )   = a+ 3 , 故 3+ a> 0 , 即 a> 一3 .   例 2已 知 不 等 式   + 寿  + …+   1 +  詈 +   一  对 于 n  几 ∈   .  — — 当式 子不存在最值而 只有确界时, 参数范 围的  边 界值 一般 都 能取得.最 值 … 确 界法 抓住 了   在运动变化过 程中的相对不变关系来处理不等  式 恒 成 立 问题 , 体 现 了绝 对 运 动 与 相 对 静 止 的  和谐统一.   N  成立 , 则实数 a的取值范 围为 解 :设 。  =  +  1 +. . 叶  1   +   一 n  ,   n+l =  = =   2 , a , r t @l- - an = >  > u,取 裂 夕   { 0   ) 单调递增 , 因为n ≥2 , 礼 ∈N  , 所 以( n   )   i   7   0 2= = =— 1 2‘ —   ,  例1  f 2 0 0 0 年高考上海卷数学理科) 己知  2  J   9, 1 ' . 』 一 n  函数 f ( x ) 一   _ =   1   , X ∈f 1 , +。 。 ) .   —   由   7 > 詈 +   1 +、 / / 5   ‘   , 解 得 l < 。 <   ( 1 ) 当n =去时, 求函数f ( x ) 的最小值;   A — Q + — Q M:A =   — M: : ̄    ( B — Q + — Q N+ N — C 1 、 : =   去  + 去 耐+ -   一+ A — Q B ) , 得   反而显 得笨 拙. 这 不是遗 憾, 却恰 恰显 示 了几  何的丰富和优美.各种

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