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山东省日照市2015届高三3月模拟考试(数学文)WORD班


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山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试数学(文)试题 2015.03 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷 规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需 改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答 的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x x ? x ? 0 ,则A ? B ?

?

?

?

?

A.R

B.

0? ? ?1 , 2? ? ??,

C. ? D. ?1 , 2?

2.已知 t ? R, i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i,且z1 ? z2 是实数,则 t 等于 A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2

3.设 a , b 为实数,命题甲: a ? b ? 0 ,命题乙: ab ? b ,则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知某几何体的三视图如右图,则该几何体的表面积是 A.24 C.36 B. 36 ? 6 2 D. 36 ? 12 2

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?y ? x ? 5.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A. 4 B.

3 4

C.

2 11

D.

1 4
BC 上的高,则

6. 如右图,在 ?ABC中,AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30o , AD 是边

uuu r uuu r AD ? AC 的值等于
A.0 C.8 B.4 D. ?4

7.已知函数 f ? x ? ? 8. 函 数

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

?? ? f ? x? ? A s i n?? x ? ?? ? 其中 A ? , 0 ?? , 0 ?? ? 的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2x 的图象, 2? ?
则只需将 f ? x ? 的图象

? 个长度单位 6 ? B. 向右平移 个长度单位 3 ? C. 向右平移 个长度单位 6 ? D. 向左平移 个长度单位 3
A. 向左平移

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点 9.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一点 M ?1, m?? m ? 0? 到其焦点的距离为 5, 双曲线 a
2

为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是 A.

1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3

10. 已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ?

f ? x? ? 0 ,若 x

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a?

1 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? ?2? ? 2?
B. b ? c ? a

? 1? f ? ln ? ,则 a, b, c 的大小关系正确的是 ? 2?
D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

C. a ? c ? b

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3, ?C ?

2? ,则a ? ________. 3

12.在某市 “创建文明城市” 活动中, 对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图 (左下图) , 但是年龄组为 ?25,30? 的数据不慎丢失, 据此估计这 800 名志愿者年龄在 ?25,30? 的人数为______.

13.运行如右上图所示的程序框图,则输出的结果 S 为________. 14.已知函数 f ? x ? ? ?

?2?2 x , x ? ?1, ?2 x ? 2, x ? ?1,

则满足 f ? a ? ? 2 的实数 a 的取值范围是________.

15.已知数集 A ? ?a1, a2 , a3 , a4 , a5?? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 具有性质 p:

1 ? i ? j ? 5 ,均有 a j ? ai ? A.若a5 ? 60,则a3 ? _________. 对任意 i, j ? Z,其中

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (I)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (II)考核前,评估小组打算从抽取的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈,求选出的两名同学中恰有一名
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女同学的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos 2 ? x ? 3 ? a ? 0, ? ? 0 ? 的最大值为 2,且最小正周期为 ? . (I)求函数 f ? x ? 的解析式及其对称轴方程; (II)若 f ?? ? ?

4 ?? ? , 求 sin ? 4? ? ? 的值. 3 6? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四边形 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,BE,PC 的中点. (I)求证:GH//平面 PDAE; (II)求证:平面 FGH ? 平面 PCD.

19. (本小题满分 12 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(I)证明数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (II)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 S 2 n .

? ?

3? 2?

20. (本小题满分 13 分)

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x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,其中 F1 , F2 为左、右焦点,且离心率 e ? ,直线 l 与椭圆交于两 a b 3
不同点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? .当直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2 且倾斜角为

? 2 时,原点 O 到直线 l 的距离为 . 4 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II) 若O P? O Q O ?N 最大值.

u r u u u r u u u r u

,当 O ? P Q

面积为

uuu r uuu r 6 时, 求 ON ? PQ 的 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x, g ? x ? ? e ? f ? ? x ? ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(I)求曲线 y ? g ? x ? 在点 0, g ? 0? 处的切线方程; (II)若对任意 x ? ? ?

?

?

? ? ? , 0 ,不等式 g ? x ? ? x ? f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ? ? ? ? ?? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 的解的个数,并说明理由. , ? 2 2? ?

(III)试探究当 x ? ? ?

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2015 年高三模拟考试 文科数学参考答案与评分标准 2015. 03

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 答案:DDABD BACAC 1.答案 D .解析:

A ? [0,2], B ? ?x | x ? 0或x ? 1?? A ? B ? (1,2] ,故选 D.

2.答案 D.解析: 复数 z1 ? 3 ? 4i,z2 ? t ? i ,所以 z1 ? z2 ? (3t ? 4) ? (4t +3)i , 又 z1· z2 是实数,所以 4t +3 ? 0 ,所以 t= ?

3 .故选 D. 4

3.答案 A.解析: 由命题甲成立即 a ? b ? 0 ,可得 ab ? b2 ? (a ? b)b ? 0 ,即 ab ? b 2 命题乙成立,而当命 题乙成立时即 ab ? b 2 ,可取 a ? 2, b ? 1 ,显然 a ? b ? 0 不成立,故选 A . 4.答案 B.解析:由题意知该几何体为四棱锥,底面是长为 4 、宽为 3 的长方形,一条侧棱和底面垂直.又故

=24+6 2 ,底面积12 ,所以表面 侧面积为 (4 ? 4+3 ? 4+4 ? 5+4 2 ? 3)
积为 36+6 2 .故选 B. 5.答案 D. 解析:先画出可行域如右图:

1 2

由?

? y?x ?x ? a ,得 B(1,1),由 ? ,得 C(a,a), ?y ? x ?x ? y ? 2

当直线 z ? 2 x ? y 过点 B(1,1)时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大 值,最大值为 3;当直线 z ? 2 x ? y 过点 C(a,a)时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a; 由条件得 3 ? 4 ? 3a ,所以 a=

1 ,故选 D. 4

6. 答 案 B. 解 析 : 因 为 AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30 , AD 是 边 BC 上 的 高 , AD=2 , 所 以

AD ? AC ? AD ? ( AB ? BC ) ? AD ? AB ? AD ? BC ? 2 ? 4 ?
7.答案 A.解析:本题可用排除法, f ?( x ) ?

1 ? 4 ,故选 B. 2

1 x ? sin x .∴ 函数 f ?( x ) 为奇函数,故 B、D 错误;又 2

π π f ?( ) ? ? 1 ? 0 ,故 C 错误;故选 A. 2 4
8.答案 C .解析:由图象可得 A ? 1, ? ? 2, ? ? 位可得 g ( x) 的图象,故选 C.
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π π π 所以 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ,将 f ( x) 的图象向右平移 个单 6 3 3

圆您梦想 www.jb1000.com 2 9. 答案 A.解析: 由抛物线定义可得 M 点到准线的距离为 5 ,因此 p ? 8, 故抛物线方程为 y ? 16x ,所以
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M (1,4) ,点 A(? a ,0) ,由 AM 的斜率等于渐近线的斜率得
解得 a ?

4 1 , ? 1? a a

1 ,故答案为 A. 9

10. 答案 C.解析:构造函数 h( x) ? xf ( x) ,∴ h?( x) ? f ( x) ? x ? f ?( x) , ∵ h( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数, y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,∴ 当 x > 0 时 , h?( x) ? f ( x? ) ?x ? f ( x ? ) , 此 时 函 数 h( x) 单 调 递 增 . ∵a ? 0∴

1 1 1 f ( ) ? h( ) , 2 2 2

1 1 1 b ? ?2 f (?2) ? 2 f (2) ? h(2) , c ? (ln ) f (ln ) ? h(ln ) ? h(? ln 2) ? h(ln 2) , 2 2 2 1 又 ? ln 2 ? 2 ,? a ? c ? b. .故选 C. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 答案:11.1 12.160 13. ?1007 14. (??, ?1] [0, ??) 15. 30

2 2 11.答案:1.解析:在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a ? 1 ? 2 ? a ? 1? cos

2π ? ( 3) 2 ,又 a ? 0 ,解得 a ? 1 . 3
p , 则 有

12. 答 案 : 160. 解 析 : 设 年 龄 在

?25,30?

的 志 愿 者 的 频 率 是

, 故 区 间 ?2 5 , ? 5 ? 0.01 ? p ? 5 ? 0.07 ? 5 ? 0.06 ? 5 ? 0.02 ? 1 , 解 得 p ? 0 . 2 3内 0 的人数是

8 0? 0

0 ?. 2 . 1 6 0

13.答案: ?1007 .解析:由程序框图可知 S ? 1 ? 2 ? 3 ?

? 2013 ? 2014 ? 1007 ? (?1) ? ?1007 .
?2 a

14.答案: (??, ?1] [0, ??) .解析:当 a ? ?1 时, f (a) ? 2 当 a ? ?1 时, f (a) ? 2a ? 2 ? 2 ,解得 a ? 0 ,此时 a ? 0 . 故实数 a 的取值范围是 (??, ?1] [0, ??) .

1 ? 2 ,解得 a ? ? ,此时 a ? ?1 ; 2

15.答案: 30 .解析:由题意知,60 为集合中的最大数.令 i ? j ? 1 ,则可得集合中的最小数 a1 ? 0 .这样根据 题意就有: 60 ? a2 ? a4 , 60 ? a3 ? a3 , 60 ? a4 ? a2 ,可见, a3 ? 30 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为 5 ?

30 20 ? 3 ,女同学的人数为 5 ? ? 2 . ……4 分 50 50

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ,2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有可能的结果有
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A1 A2 , A1 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , B1B2 ,共 10 个. ………7 分
用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是:

A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ? 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos 2?x , 由题意 f ( x) 的周期为 π ,所以

………………10 分

6 3 ? . 10 5

………………12 分

2π ? π ,得 ? ? 1 2?

………………2 分

? f ( x) 最大值为 2 ,故 a 2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

π ) 3

………………4 分 ……………… 6 分 ………………8 分

π π π kπ ? ? kπ ,解得 f ( x) 的对称轴为 x ? ? (k ? Z) . 3 2 12 2 4 π 4 π 2 (Ⅱ)由 f (? ) ? 知 2 sin(2? ? ) ? ,即 sin(2? ? ) ? , 3 3 3 3 3
∴ sin ? 4? ?

? ?

π? ? ? π ? π? π? ? ? ? sin ?2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ? 6? 3 ? 2? 3? ? ? ?
2

………………10 分

π? 1 ? ?2? ? ?1 ? 2sin 2 ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 3? 9 ? ?3?

………………12 分

18.解: (Ⅰ)分别取 PD 的中点 M ,EA 的中点 N . 连结 MH ,NG,MN .

MH
因为 G,H 分别为 BE,PC 的中点,所以

=

1 CD 2 ,

NG

1 = 2 AB
.

因为 AB 与 CD 平行且相等,所以 MH 平行且等于 NG , 故四边形 GHMN 是平行四边形.所以 GH

MN . ????4 分

又因为 GH ? 平面 PDAE , MN ? 平面 PDAE , 所以 GH 平面 PDAE . ??????6 分

(若通过面面平行来证明也可,酌情给分) (Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以

PD ? BC .
因为 BC ? CD, PD

CD ? D, 所以 BC ? 平面 PCD .

因为 F ,H 分别为 PB、PC 的中点,所以 FH
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BC.
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所以 FH ? 平面 PCD. 因为 FH ? 平面 FGH ,所以平面 FGH ? 平面 PCD . ……………12 分

19.解: (Ⅰ)设 bn ? a2 n ?

3 3 1 3 1 ,则 b1 ? a2 ? ? ( a1 ? 1) ? ? ? ,………………2 分 2 2 3 2 6

3 1 3 1 1 3 1 a2 n?1 ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? bn ?1 2?3 2?3 2 ? 1. 2?3 ? 因为 3 3 3 3 bn 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 1 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列.……………………………6 分 6 3 2 a2( n ?1) ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ?
n

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ?3?

n ?1

1 ?1? ? ? ?? ? , 2 ?3?
…………………8 分

n

1 ?1? 3 即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2
由 a2 n ?

1 a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? , 3

得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3 ? 2n ? 1? ? ?

1 ?1? ?? ? 2 ?3?

n ?1

? 6n ?

15 , 2

…………………10 分

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ? 3? ? ? 3? ?? 3 ? ?

S2 n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2 n?1 ? a2 n ?
?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ?3 ?
n
n 1? ?1? ? 2 n ?1 ? ? ? ? 1? ? 1 ? ? 3? n(n ? 1) ? ?3? ? ? ? L ? ? 6 1 ? ? 2 L ? n ? n 9 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 6? ? 9n 3? ? 3 ? ? 1 ? 2 1? 3

2 ?1? ?1? ? ? ? ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,……………………………………12 分 ?3? ? 3?

n

20.解: (Ⅰ)因为直线 l 的倾斜角为

π , F2 (c,0) , 4

所以,直线 l 的方程为 y ? x ? c ,

由已知得

c 2 ? ,所以 c ? 1 . 2 2

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3 ,所以 a ? 3 , b ? 2 , 3

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又e ?

椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ?1 . 3 2

………………4 分

(Ⅱ) )当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,

x12 y12 6 6 ? ? 1 ,而 S ? x1 y1 ? 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则 ,则 x1 ? , y1 ? 1 3 2 2 2
知 ON ? PQ = 2 6 . ……………………………………5 分

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2

2x2 ? 3(kx ? m)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 ,由题意 ? ? 0 ,即 3k 2 ? 2 ? m2 .
6km 3m2 ? 6 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
……………………………………7 分

PQ ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2

2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 3k 2
2

2

d?

m 1? k 2

, S?POQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 , ? d ? PQ ? m ? 2 2 2 2 ? 3k 2

化为 4m2 (3k 2 ? 2 ? m2 ) ? (3k 2 ? 2)2 , (3k 2 ? 2)2 ? 2 2m2 (3k 2 ? 2) ? (2m2 )2 ? 0 , 即 (3k 2 ? 2 ? 2m2 )2 ? 0 .
2 2 则 3k ? 2 ? 2m ,满足 ? ? 0 ,

……………………………………9 分

由前知 x1 ? x2 ? ?

3k 2 2 3k ? 2m ? , , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? m m m 9k 2 4 1 ? 2 ? 2(3 ? 2 ) . 2 m m m

ON ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

2

PQ ? (1 ? k 2 )
ON
2 2

2

24(3k 2 ? 2 ? m2 ) 2(2m2 ? 1) 1 ? ? 2(2 ? 2 ) ………………………11 分 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
1 1 1 1 )(2 ? 2 ) ≤ 25 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成立, 2 m m m m

PQ ? 4(3 ?

故 ON PQ ≤ 5 .
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……………………………………13 分

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综上可知 ON PQ 的最大值为 5 .

21.解: (Ⅰ)依题意得, g ? x ? ? ex ? cos x. g ? 0? ? e0 cos0 ? 1 ,

g ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x,

g ?(0) ? 1 .
……………………4 分

所以曲线 y ? g ? x ? 在点 (0, g (0)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .

? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? ,0? , m ≤[ g ? x ? ? x ? f ? x ?]min . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 2 ?
? π ? 设 h( x) ? g ? x ? ? x ? f ? x ? ? ex cos x ? x sin x , x ? ? ? ,0? . ? 2 ?

则 h? ? x ? ? e x cos x ? e x sin x ? sin x ? x cos x ? e x ? x cos x ? e x ? 1 sin x
? π ? 因为 x ? ? ? ,0? ,所以 ex ? x cos x ≥ 0, ex ? 1 sin x ≤ 0 , ? 2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? π ? 所以 h? ? x ?… · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 0 ,故 h( x) 在 ? ? , 0? 单调递增, · ? 2 ?
π π ? π? 因此当 x ? ? 时,函数 h( x) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 ? 2?

π? π ? 所以 m ? ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2? 2 ?
π π (Ⅲ)设 H ( x) ? g ? x ? ? x ? f ?x ? ? e x cos x ? x sin x , x ? [? , ] . 2 2

? π ? ? π ? ①当 x ? ? ? ,0? 时,由(Ⅱ)知,函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 单调递增, ? 2 ? ? 2 ?
? π ? 故函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 至多只有一个零点, ? 2 ?
π ? π? ? π ? 又 H ? 0 ? ? 1 ? 0, H ? ? ? ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 图象在 ? ? , 0? 上是连续不断的, 2 ? 2? ? 2 ?

? π ? 因此,函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 2 ? ? π? ②当 x ? ? 0, ? 时, g ? x ? ? x ? f ? x ? 恒成立.证明如下: ? 4?
π ? π? 设 ? ( x ) ? e x ? x, x ? [0, ] ,则 ? ?( x) ? e x ? 1≥ 0 ,所以 ? ( x) 在 ?0, ? 上单调递增, 4 ? 4?

? π? 所以 x ? ? 0, ? 时, ? ( x) ? ? (0) ? 1 ,所以 e x ? x ? 0 , ? 4? ? π? 又 x ? ? 0, ? 时, cos x ≥ sin x ? 0 ,所以 e x ? cos x ? x sin x ,即 g ? x ? ? x ? f ? x ? ,即 H ( x) ? 0 . ? 4?
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? π? 故函数 H ( x) 在 ? 0, ? 上没有零点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? 4?
? π π? ? π π? ③当 x ? ? , ? 时, H ?( x) ? e x (cos x ? sin x) ? (sin x ? x cos x) ? 0 ,所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单调递减,故 4 2 ? 4 2? ? ?

? π π? 函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ? 4 2?
π 2 π π π π ?π π? (e 4 ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? , ? 上是连续不断的, 又 H( ) ? 4 2 4 2 2 ?4 2?

? π π? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? 4 2?

? π π? 综上所述, x ? ? ? , ? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 有两个解. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? 2 2?

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