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山东省临沂市某中学2016届高三数学上学期开学摸底考试试题 理


2015-2016 学年上期第一次摸底考试 高三数学(理)试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )

|y= x -1, x ? R , B=?x | x≥2? 则下列结论正确的是

1.己知集合 A= y
A. -3 ? A 2.己知 B.3 ? B C. A U B=B D. A I B=B

?

?

a ? 2i =b+i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b= i
B.1 C.2 D.3

A.-1

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N(3,4) ,若 P(?<2a-3) =P(?>a+2) ,则实数 a 的值 为

7 3 5 C. 3
A.

3 5 7 D. 5
B.

4.某程序框图如右图所示,则输出的 n 值是 A. 21 B.22 C.23 D.24 5.己知函数 f ( x)=ln x- ,则函数 f ( x ) 的零点所在的 区间是 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 6.如图,在边长为 e(e 为自然 对数的底数) 的正方形中随机 撒一粒黄豆, 则它落到阴影部 分的概率为

x 4

1 e 2 C. 2 e
A.

2 e 1 D. 2 e
B.

4 7.若 cos ?=- , ? 是第三象限的角,则 5
A.

? 2= ? 1+ tan 2
1- tan
C.

1 2

B. -

1 2

3 5

D.-2

1

? x≥1 ? 8.已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x+y≤3 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,a= ? y≥a ( x-3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

9.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N+) ,且 an ? 2n ? ? ,若数列 ?Sn ? 在 n≥7 时 为递增数列,则实数 ? 的取值范围为 A. (-15,+ ? )B.[-15,+ ? ) C.[-16,+ ? ) D. (-16,+ ? )

10.若 (2- 3x)5=a0+a1x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+a5 x5 ,则 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 等于 A. 5
5

B.-l

C. 2

5

D. -2

5

11. “a<0”是“函数 f ( x) ? x( x ? 2a) 在区间 (0,+?) 上单调递增”的 A.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 B.充要条件 D.充分不必要条件
2

12.已知一函数满足 x>0 时,有 g ?( x)-2 x >

g (2) -g (1)≤3 2 g (2) -g (1)<4 C. 2
A.

g ( x) ,则下列结论一定成立的是 x g (2) -g (1)>3 B. 2 g (2) -g (1)≥4 D. 2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。 ) 13.设某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为__________.

14.如果双曲线

x2 y 2 - 2= 1(a>0, b>0) 的渐近线与撒物线 y=x2+2 相切,则双曲线的离 2 a b

心率为__________. 15.已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,E 是 BC 边上 靠近点 B 的三等分点, AE ? BD, 则 BC 长度的取值范 围是____________.

2

16. 己知函数 f ( x )=

10 x-99 , 则 f (a1 ) + f (a2 ) + f (a3 ) ?an? 为 a1=1, d=2 的等差数列, x-10

+?+ f (a10 ) =_____________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 m=(cos A,sin A)

r

r r 1 r n (cos A,-sin A) ,且 m ? n= 2 r r (Ⅰ)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角;
(Ⅱ)若 a= 5 ,求 ? ABC 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 设 X 为随机变量, 从棱长为 a 的正方体 ABCD-A 的八个顶点中任取四个点, 1B 1C1 D 1, 当四点共面时,X=0;当四点不共面时,X 的值为四点组成的四面体的体积. (Ⅰ)求概率 P(X=0) ; (Ⅱ)求 X 的分布列,并求其数学期望 E(X) .

19. (本小题满分 12 分) 己知四棱锥 P-ABCD,其中底面 ABCD 为矩 形侧棱 PA ? 底面 ABCD,其中 BC=2AB=2PA =6,M,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如 右图所示: (Ⅰ)求证:AN∥平面 MBD; (Ⅱ)求二面角 B-PC-A 的余弦值. 20. (本小题满分 I2 分) 己知曲线 C1:y=-x2+ 1( y≤0) 与 x 袖交于 A,B 两点,点 P 为 x 轴上方的一个动点, 点 P 与 A,B 连线的斜率之积为-4 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C2 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于点 M ,Q(均异于点 A,B) ,若以 MQ 为直径的 圆经过点 A,求 ? AMQ 的面积 21. (本小题辅分 12 分)

1)-2ln x ( a 为常数) 已知函数 f ( x)=a( x-

3

(Ⅰ)当 a =l 对,求 f ( x ) 单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上无零点,求 a 的最大值

【选做题】 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲 如图,⊙O 是 ? ABC 的外接圆,D 是 ? AC 的中点,BD 交 AC 于 E.

DB ; (Ⅰ)求证: DC =DE·
(Ⅱ)若 CD=2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r. 23. (本小题满分 l0 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 己知抛物线 y=x +m 的顶点 M 到直线 l: ? (Ⅰ)求 m: (Ⅱ)若直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,与 y 轴交于 N 点,求 S?MAN ? S?MBN 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 己知长方体的三条棱长分别为 a、b、c,其外接球的半径为 (Ⅰ)求长方体体积的最大值;
2

2

? ? x=t (t 为参数)的距离为 1 ? ? y=1+ 3t

3 . 2

n 的最大值 (Ⅱ)设 m =(1,3, 6), n=(a, b, c) ,求 m·

r

r

r r

4

理数答案 答案:DBACB 13. 4 CDBDA DB 14. 3 15. (1,3)
? cos 2 A ? 1 2

16. 100

?? ? 17.解: (1) m ? n ? cos 2

A ? sin 2 A
?

因为角 A 为锐角,所以 2 A ?

3 6 ?? ? ?? ?? ? ?? ???? ? 1 根据 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? m,n ? ? 2 ?? ? ? ? m, n ?? ???????????????????.6 分 3

,A?

?

??????????????3 分

? (2)因为 a ? 5 , A ? ,
6
( 5)
2

? b ? c ? 2bc cos

2

2

? 得: bc ? 5(2 ? 3) ????????9 分
6

1 5(2 ? 3) S ? bc sin A ? 2 4
即 ?ABC 面积的最大值为

5(2 ? 3) ????????????.12 分 4

18.解(1)从正方体的八个顶点中任取四个点,共有 C84 ? 70 种不同取法. 其中共面的情况共有 12 种(6 个侧面,6 个对角面). 则 P(X=0)=

12 6 . ? 70 35

???????????????????4 分

(2)任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况: ①四点在相对面且异面的对角线上,体积为 a 3 ? 4 ? ?

1 1 3 1 3 a ? a 3 2 3
1 3 a . 6
5

这样的取法共有 2 种.?????????????????6 分 ②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为

这样的取法共有 70 ? 12 ? 2 ? 56 种 ?????????????????? X 的可能取值是 0, a 3 , X 的分布列为

8分

1 3

1 3 a ??????????????????9 分 6

X

0
6 35

1 3 a 3
1 35

1 3 a 6
28 35

P
数学期望 E(X)= a 3 ?

1 3

1 1 3 28 1 3 ? a ? ? a .?????????????????? 12 分 35 6 35 7

19.(1)证明:连结 AC 交 BD 于 O,连结 OM, ∵底面 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 中点,∵M、N 为侧棱 PC 的三等份点,∴CM=CN, ∴OM//AN, ∵OM ? 平面 MBD,AN ? 平面 MBD,∴AN//平面 MBD 4 分. (2)易知 ?ABP 为等腰直角三角形,所以 BP 为外接圆的直径,所以 PB= 3 2 ,PA=3 如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz,
z
P
N

A

M

D y
C

x B

则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2), ?? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 设平面 BCP 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,? BP ? (?3,0,3), BC ? (0,6,0) ,并且 m ? BP, m ? BC ,
??3x ? 3z ? 0 ?? ,令 x ? 1, 得 y ? 0, z ? 1, ?6 y ? 0

∴平面 MBD 的一个法向量为 m ? (1,0,1) , 设平面 PAC 法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 同理可得 n ? (2, ?1,0)

??

6分

?

?

8分

?? ? ?? ? m? n 2 10 cos ? m, n ?? ??? ? ? ? 5 | m || n | 2 5
由图可知,二面角 B ? PC ? A 为锐角, ∴二面角 B ? PC ? A 的余弦值为

10 分

10 5
6

20.解:(1)不妨设点 A 在点 B 左侧,则 A(?1, 0), B(1, 0) 设 P( x, y )( y ? 0) ,则 y Q A O B

k AP k BP ?

y y ? ? ?4 x ?1 x ?1

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) 整理得: 4
所以动点 P 的轨迹 C2 的方程为

x

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) -------5 分 4
没有 y 的范围扣 1 分 (2)由(1)知,上半椭圆 C2 的方程为

P

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) . 4

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 2 2 2 2 代入 C2 的方程,整理得(k +4)x -2k x+k -4=0.(*) 设点 M 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. 由求根公式,得 xM=
2

k2-4 -8k ,从而 yM= 2 , 2 k +4 k +4

∴点 M 的坐标为? 同理,由?

8k ? ?k2-4, - 2 ?. --------------------------------7 分 ?k +4 k +4?

? ?y=k(x-1)(k≠0), ?y=-x +1(y≤0), ?
2 2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k -2k).

???? ? 2k 2 ?8k ???? , 2 ), AQ ? (?k , ?k 2 ? 2k ) . 由题意可知 AM⊥AQ,且 AM ? ( 2 k ?4 k ?4
???? ? ??? ? -2k ∴ AM ? AQ ? 0 ,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4
2

∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- .--------------------------------10 分 3

48 16 , yQ ? ? 25 9 1 832 ∴ S ?APQ ? | AB || yP ? yQ |? 2 225 832 所以 ?APQ 的面积为 .??????????12 分 225
∴ yP ? 答案:

7

21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x , f '( x) ? 1 ? 由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 故 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上无零点,则 对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立或者 f ( x) ? 0 恒成立. 由 x ? (0,1) ,得 x ? 1 ? 0 , ?2 ln x ? 0 , 故若 a ? 0 , f ( x) ? a( x ? 1) ? 2ln x ? 0 恒成立;

2 x?2 ? x x

?????5 分

a a a a 若 a ? 0 , ?x0 ? ( ) ? (0,1) , f ( x0 ) ? f [( ) ] ? a[( ) ? 1] ? 2 ln( )

1 e

1 e

1 e

1 e

1 ? a( )a ? a ? 0 e
所以, 函数 f ( x) ? 0 在区间 (0,1) 上不可能恒成立, 故要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上无零点, 只要对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立. (后续步骤分为解法一和解法二) 解法一: ?????8 分

2 ax ? 2 ? , x x 2 2 2 当 a ? 2 ,即 0 ? ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a 2 2 即 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增; a a 2 2 2 2 此时 f ( x) min ? f ( ) ? a ( ? 1) ? 2 ln ? 2 ? a ? 2 ln , a a a a 2 2 2?a ? 0 ,故 g (a) ? g (2) ? 0 , 构造 g (a) ? 2 ? a ? 2 ln , g '(a ) ? ?1 ? ? a a a f '( x) ? a ?
所以当 a ? 2 时, f ( x)min ? 0 ,即对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 不恒成立,舍去; ????10 分 当 a ? 2 ,即

2 2 2 ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a

即 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , 满足对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立, 综上, a ? 2 ,即 a 的最大值为 2.????12 分
8

解法二: 由对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立可得对 ?x ? (0,1) , a ?

2 ln x 恒成立. x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ? ? 2 ln x 2 ln x x ? 令 g ( x) ? , g '( x ) ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1
令 h( x ) ? 2 ? 即 h( x ) ? 2 ?

2 2 2 2 ? 2x ? 2 ln x ,由 h '( x) ? 2 ? ? ? 0 得 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, x x x x2

h( x ) 2 ? 2 ln x ? h(1) ? 0 ,从而 g '( x) ? ? 0, x ( x ? 1) 2

即 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减, 由罗比达法则知 lim
x ?1

2ln x (2ln x) ' 2 ? lim ? lim ? 2 ,即 g ( x) ? 2 , x ? 1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) ' x
2 ln x 恒成立,可得 a ? 2 ,即 a 的最大值为 2 x ?1
????12 分

若对 ?x ? (0,1) , a ?

→ 22.(1)证明:由 D 为AC中点知,∠ABD=∠CBD,

又∵∠ABD=∠ECD,∴∠CBD=∠ECD, 又∠CDB=∠EDC, ∴△BCD~△CED,∴ = , ∴DC =DE·DB;??????????5 分 ︵ (2)∵D 是AC的中点,∴OD⊥AC, 设 OD 与 AC 交于点 F,则 OF=1, 在 Rt△COF 中,OC =CF +OF ,即 CF =r -1, 在 Rt△CFD 中,DC =CF +DF , ∴ (2 3 ) = r - 1 + (r - 1) , 解 得 r =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

DE DC DC DB

3. ??????????10 分 23.解: (1)M(0,m),直线 l 的一般方程 3x ? y ? 1 ? 0 M 到直线 l 的距离为

?m ? 1 ? 1解得m ? ?1或3 ??????????4 分 2

(2)直线与抛物线相交于 A、B 两点,故 m ? ?1 .
9

将 直 线 l 的 一 个 标 准 参 数 方 程 为

代 入





,

=

??????????10 分

24. 解(1)由题意可知 a ? 0,b ? 0,c ? 0且a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9 , 由三个正数的基本不等式可得 a ? b ? c ? 3 a b c ? 3(abc) ,
2 2 2 3 2 2 2 2 3

即 abc ? 3 3,当且仅当“ a ? b ? c ? 3”时取等号,所以 长方体体积的最大值 V ? 3 3 ;??????????5 分 (2) m ? n ? a ? 3b ? 6c ,根据柯西不等式,有

? ?

(a2 ? b2 ? c2 )(12 ? 32 ? ( 6 )2 ) ? (a ? 3b ? 6c)2 ,

a ? 3b ? 6c ? 12 , 当且仅当“

a b c 3 9 3 6 ”即“ a ? ,b ? ,c ? ”时, ? ? 1 3 4 4 4 6

? ? m ? n ? a ? 3b ? 6c 取得最大值 12.??????????10 分

10


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