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高二数学向量的应用检测试题


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1.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组 r r 基底,那么 a, b 的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 uuu uuu uuu r r r OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面;③已知 r r r r r r r r 向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a + b, a ? b, c ,也是空间的一个基 底。其中正确的命题是( )
( A) ①② ( B ) ①③ (C ) ②③ ( D ) ①②③

r r

2.下列命题正确的是( ) r r r r r r ( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; r r r ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线 共面;
(C ) 零向量没有确定的方向;
A1 D

D1

M B1

C1

C B

r r r r ( D ) 若 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a = λ b ;
3.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M

A

为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若

(第三

uuu r uuur r uuur r r AB = a , AD = b , AA1 = c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是(
1r 1r r a+ b +c 2 2 1r 1r r (C ) ? a ? b + c 2 2
( A) ? ( B) ( D)



1r 1r r a+ b +c 2 2

1 1 a? b+c 2 2 v v v v v v v v v v v v 4. 已知: = 3m ? 2n ? 4 p ≠ 0, b = ( x + 1)m + 8n + 2 yp, 且 m, n, p 不共面.若 a ∥ a

v b ,求 x, y 的值.

5. (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) b =(b1,b2,b3) , ,它们 平行的充要条件是( A. a :a |= b :b | | | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 k,使 a =k b (2)已知向量 a =(2,4,x) b =(2,y,2) , ,若| a |=6, a ⊥ b , 则 x+y 的值是( A. -3 或 1 D.1
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) B.a1· 1=a2· 2=a3· 3 b b b D.存在非零实数

) B.3 或-1 C. -3

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(3)下列各组向量共面的是(



A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 例 6.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3, 0,4) a = AB ,b = AC , 。设 (1)求 a 和 b 的夹角 θ ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.
v 7. (1)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , a = (3,3) , 2b ? a = (?1,1) ,
v

v

v

v

则 cosθ =


13b + 1 + 13c + 1

8. (1) 已知 a、 c 为正数, a+b+c=1, b、 且 求证: 13a + 1 + ≤4
3。

(2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2, F3 共同作用于同一物体上,使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3, 1,2),求物体合力做的功。 9 . 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , BC1 ⊥ AB1 , BC1 ⊥ A1C , 求 证 :
AB1 = A1C.

10.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD = x AB ,
uuu r uuur 1 1 AE = y AC , xy ≠ 0 ,则 + x y

uuur

uuu r

的值为( (C)2

) (D)1

(A)4

(B)3

13.已知 a=( cosα , sin α ) ,b=( cos β , sin β ) 与 b 之间有关系 ,a 式|ka+b|= 3 |a-kb|,其中 k>0. (1)用 k 表示 a、b; (2)求 a·b 的最小值,并求此时,a 与 b 的夹角θ 的大小. 由已知 | a |=| b |= 1 .
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14.. 已知 | AC

|= 5 , | AB |= 8
? AC | ;

, AD

=

5 DB 11

, CD

? AB = 0 。

(1)求 | AB

(2)设∠BAC=θ,且已知 cos(θ+x)= 4 , ?π < x < ? π ,求 sinx
5

4

1.有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的 r r 一组基底,那么 a, b 的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 uuu uuu uuu r r r OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面;③已知 r r r r r r r r 向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a + b, a ? b, c ,也是空间的一个基 底。其中正确的命题是( )
( A) ①② ( B ) ①③ (C ) ②③ ( D ) ①②③

r r

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r r
关系一定共线” ;所以①错误。②③正确。

r r

解析:对于①“如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的

点评:该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件,为此我们要掌 握好空间不共面与不共线的区别与联系

2.下列命题正确的是( ) r r r r r r ( A) 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; r r r ( B ) 向量 a, b, c 共面就是它们所在的直线共面;
(C ) 零向量没有确定的方向;

r r r r ( D ) 若 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a = λ b ;
解析:A 中向量 b 为零向量时要注意,B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不 一样,D 中需保证 b 不为零向量 答案 C。 点评:零向量是一个特殊的向量,时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用 处。像零向量与任何向量共线等性质,要兼顾 题型 2:空间向量的基本运算 3.如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为
D1 A1 M B1 C1

A1C1 与 B1 D1 的 交 点 。 若

uuu r r AB = a



uuur r AD = b

, )
A

D B

C

uuur r AA1 = c ,则下列向量中与 BM 相等的向量是(

1r 1r r a+ b +c 2 2 1r 1r r (C ) ? a ? b + c 2 2
( A) ?

( B) ( D)

1r 1r r a+ b +c 2 2
1 1 a? b+c 2 2

解析:显然 BM = BB1 + B1 M = 答案为 A。

1r 1r r 1 ( AD ? AB ) + AA1 = ? a + b + c ; 2 2 2

点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法 处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等, 与向量的加法.考查学生的空间想象能力

4. 已知: = 3m ? 2n ? 4 p ≠ 0, b = ( x + 1)m + 8n + 2 yp, 且 m, n, p 不共面.若 a ∥ a
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v

v

v

v

v

v

v

v

v v v

v

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v b ,求 x, y 的值.

解:Q a ∥ b ,,且 a ≠ 0,∴ b = λa , 即 ( x + 1)m + 8n + 2 yp = 3λm ? 2λn ? 4λp.
又Q m, n , p 不共面,∴

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v v r

8 2y x +1 = = ,∴ x = ?13, y = 8. ?2 ?4 3

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 题型 3:空间向量的坐标

5. (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) b =(b1,b2,b3) , ,它们 平行的充要条件是( A. a :a |= b :b | | | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 k,使 a =k b (2)已知向量 a =(2,4,x) b =(2,y,2) , ,若| a |=6, a ⊥ b , 则 x+y 的值是( A. -3 或 1 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) ) B.3 或-1 C. -3 ) B.a1· 1=a2· 2=a3· 3 b b b D.存在非零实数

A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知; (2)A
? ?4 + 16 + x 2 = 36 ? x = 4, ? x = ?4, ? ?4 + 4 y + 2 x = 0 ? ? y = ? 3 或 ? y = 1 . ; ? ? 点拨:由题知 ?

(3)A 点拨:由共面向量基本定理可得 点评: 空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、 垂直时 参数的取值情况 6.已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。 设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 θ ; (2)若向量 k a + b 与 k a - 2 b 互相垂直,求 k 的值.
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思维入门指导: 本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用, 套 用公式即可得到所要求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB ,
b = AC ,

∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos θ =
a ?b | a ||b |
?1 + 0 + 0

=

2× 5

=-

10 10



∴ a 和 b 的夹角为-

10 10



(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , ∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k -10=0。 则
5 k=- 2

或 k=2。

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 a + b )(k a - ( 2 b )=k a -k a · b -2 b =2k +k-10=0,解得
题型 4:数量积
2 2 2 2

5 k=- 2

,或 k=2。

v 7. (1)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , a = (3,3) , 2b ? a = (?1,1) ,

v

v

v

v

则 cosθ =
v v


v v v v

.解:设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 且 a = (3,3),2b ? a = (?1,1) ∴ b = (1,2) ,则
v v a ?b 9 3 10 cos θ = v v = = . 10 a ?b 3 2? 5
(2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)

π
的夹角都等于 4 。(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b >< π) 。

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解析 (2)解:(1)∵| a |=| b |=1,∴x 1 +y 1 =1,∴x 2 =y 2 =1. 又∵ a 与 c 的夹角为 4 ,∴ a · c =| a || c |cos 4 = 又∵ a · c =x1+y1,∴x1+y1=
2 2 2 2 2 2

π

π

2 2

12 + 12 + 12

=

6 2

.

6 2


6 1 2 2 ) -1= 2
1

另外 x 1 +y 1 =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( (2)cos< a , b >= ∴x1,y1 是方程 x2-
a ?b | a ||b |
6 2

.∴x1y1= 4 。
6 2
1

=x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=
1

,x1y1= 4 .

x+ 4 =0 的解.

? ? ? ? 6+ 2 6? 2 6+ 2 6? 2 , , , , ? x1 = ? x1 = ?x2 = ?x2 = ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 6? 2 6+ 2 6? 2 6+ 2 ? ? ? ? , . , . ? y1 = ? y1 = ?y2 = ? y2 = 4 4 4 4 ∴? 或? 同理可得 ? 或? ? ? x1 = y 2 = ? ? ? x =y = ? ∵ a ≠ b ,∴ ? 2 1 ? ? x1 = y 2 = ? ? 6? 2 ? , x =y = 4 ? 或? 2 1 6+ 2 , 4 6? 2 , 4 6+ 2 . 4

∴cos< a , b >=

6+ 2 4

·

6? 2 4

+
π

6+ 2 4

·

6? 2 4

1

1

1

=4+4=2.

∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。
评述:本题考查向量数量积的运算法则 题型 5:空间向量的应用

8.1) ( 已知 a、 c 为正数, a+b+c=1, b、 且 求证: 13a + 1 + ≤4
3。

13b + 1 + 13c + 1

(2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2, F3 共同作用于同一物体上,使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3, 1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =(
13a + 1 , 13b + 1 , 13c + 1 ), n =(1,1,1),
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则| m |=4,| n |=

3.

∵ m · n ≤| m |·| n |, ∴m ·n=
1

13a + 1 + 13b + 1 + 13c + 1 ≤| m |·| n |=4 3 .
1 1
1



13a + 1

=

13b + 1 = 13c + 1

时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。

(2)解:W=F·s=(F1+F2+F3)· M 1 M 2 =14。 点评:若 m =(x,y,z), n =(a,b,c),则由 m · n ≤| m |·| n |,得 本题 (ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。 考查| a |· b |≥ a ·b 的应用, | 解题时要先根据题设条件构造向量 a ,b , 然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题 9.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ⊥ AB1 , BC1 ⊥ A1C , 求证:
AB1 = A1C.

证明:Q A1C = A1C1 + C1C ,
BC1 = BC + CC1 , A1C ? BC1 = ( A1C1 + C1C ) ? ( BC + CC1 ) = A1C1 ? BC ? C1C 2 = 0, ∴ C1C 2 = A1C1 ? BC.

同理 AB1 = AB + BB1 , BC1 = BB1 + B1C1 ,
v v AB1 ? BC1 = AB ? BC + CC12 = 0(Q BB1 = CC1 ),∴ AB ? BC + A1C1 ? BC = 0,

又 A1C1 = AC , ∴ BC ? ( AB + AC ) = 0. 设 D 为 BC 中点,则 AB + AC = 2 AD. ∴ 2 BC ? AD = 0,∴ BC ⊥ AD,
∴ AB = AC , 又 A1 A = B1 B,∴ A1C = AB1 .

点评: 从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题, 要用到空间多边形法则,向量的运算,数量积以及平行,相等和垂直 的条件 10.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD = x AB ,
uuu r uuur 1 1 AE = y AC , xy ≠ 0 ,则 + x y
uuur uuu r

的值为( (C)2

) (D)1

(A)4

(B)3

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解析:取△ABC 为正三角形易得 1 + 1 =3.选 B.
x y

评析:本题考查向量的有关知识,如果按常规方法就比较难处理,但 是用特殊值的思想就比较容易处理,考查学生灵活处理问题的能力. 11.如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP = AB + AC ,
uuur r 2 uuu 1 uuur AQ = AB + AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 3 4 1 4 1 1 A. B. C. D. 5 5 4 3

uuu r

r 2 uuu 1 uuur 5 5

如下图,设 AM = AB , AN = AC ,则 AP = AM + AN .
uuur 1 ?ABP AN 由平行四边形法则, NP∥AB, 知 所以 = uuur = , 5 ?ABC AC ?ABQ 1 ?ABP 4 同理可得 = .故 = ,选 B. ?ABC 4 ?ABQ 5
A N M P B C

uuuu r

r 2 uuu 5

uuur

1 uuur 5

uuu r

uuuu uuur r

Q

3. e1 , e2 是 平 面 内 不 共 线 两 向 量 , 已 知 AB = e1 ? k e2 , CB = 2e1 + e2 , CD = 3e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,则 k 的值 是 A.2 A 即? B. ? 3 C. ? 2 D. 3

BD = CD ? CB = e1 ? 2e2 ,又 A、B、D 三点共线,则 AB = λ AD .
?1 = λ ,∴ k = 2 ,故选 A . ?? k = ?2λ

【总结点评】 本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运 用. 要求我们熟记公式,掌握常见变形技巧与方法. 12、已知平面向量 a =( 3 ,?1), b = ( , (1)求 a ? b ; (2)设 c = a + ( x ? 3)b , d = ? y a + xb (其中 x ≠ 0 ) ,若 c ⊥ d ,试求 (1) a ? b = 0 ; 函数关系式 y = f ( x) 并解不等式 f ( x) > 7 .
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→ →

1 2

3 ). 2

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(2)由 c ⊥ d 得, ? 4 y + x( x ? 3) = 0 , 所以 y = x( x ? 3) ;
1 x( x ? 3) > 7 变形得: x 2 ? 3 x ? 28 > 0 ,解得 x > 7或x < ?4 . 4 1 4

13.已知 a=( cosα , sin α ) ,b=( cos β , sin β ) 与 b 之间有关系 ,a 式|ka+b|= 3 |a-kb|,其中 k>0. (1)用 k 表示 a、b; (2)求 a·b 的最小值,并求此时,a 与 b 的夹角θ 的大小. 由已知 | a |=| b |= 1 . ∵
a ?b =
| ka + b |= 3 | a ? kb | , ∴

| ka + b | 2 = 3 | a ? kb | 2 . ∴

2

1 1 (k + ) . 4 k



k>0, ∴

a ?b =

1 ?2 k ? 1 = 1 . 4 k 2

此时 a ? b = 14.. 已知 | AC

1 2



1 1 2 cosθ = = . | a |?| b | 2



θ =60°.

|= 5 , | AB |= 8
? AC | ;

, AD

=

5 DB 11

, CD

? AB = 0 。

(1)求 | AB

(2)设∠BAC=θ,且已知 cos(θ+x)= 4 , ?π < x < ? π ,求 sinx
5

4

解: (1)由已知 AB ∴ DB
= 11 AB , 16

= DB ? DA = DB + AD = 5 5 DB = AB , 11 16

AD =

16 DB 11 5 5 11 | AD|= | AB |= , | DB | = , 16 2 2

∵ CD ? AB = 0 ∴CD⊥AB,在 Rt△BCD 中 BC2=BD2+CD2, 又 CD2=AC2-AD2, 所以 BC2=BD2+AC2-AD2=49, ……4 分 所以 | AB ? AC = | BC |= 7 ……6 分 (2)在△ABC 中, cos ∠BAC = 1
cos θ + x) cos( ( =

π
3

2 sin (

∴θ = π

……8 分
3 5

+ x) =

而?π < x < ?

π
4

,

2π π π ? < +x< 3 3 12

4 5

π
3

3

+ x) ± =

如果 0 < π

3

+ x<

π
12



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则 sin( π

1 3 < 3 12 6 2 5 π π 3+ 4 3 sin x = sin[( + x) ? ] = ? 3 3 10 + x) < sin < sin <

π

π

∴ sin( π

3

+ x) = ?

3 5

……10 分

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