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必修4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1


高一数学备课组

1.正弦函数y=sinx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个? ? ? 3 ( 0 , 0 ), ( ,1), (? , 0 ), ( , - 1), ( 2? , 0 ) 2 2 2.余弦函数y=cosx,x∈[0, 2?]的图象中, 五个关键点是哪几个?

3? ( 0 ,1 ), ( , 0 ), (? , - 1 ), ( , 0 ), ( 2? ,1 ) 2 2

?

3.如何利用y=cosx, x∈[0, 2?]的图象, 通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=-cosx,x∈[0, 2?]的图象? 这两个图象关于x轴对称.

4.如何利用y=cos x,x∈[0, 2?]的图象, 通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y=2-cosx,x∈[0, 2?]的图象?

先作y=cosx图象关于x轴对称的图形, 得到y=-cosx的图象,再将y=-cosx的 图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象.

1.今天是星期一,则过了七天是星期几? 过了十四天呢?…… 2.物理中的单摆振动,表针的运动规律 如何呢?

观察正弦函数的图象

x
sinx

3? - 2? 2

-?
0

-

?
2

0 0

? 2

?
0

3? 2

2?

0

1

-1

1

-1

0

y
1
? ? - 92 - 72

? ? - 52 - 32

-? 2

o

?

2?

3?

4?

x

-1

正弦函数的性质——周期性 1. 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的; 2.规律是:每隔2?重复出现一次(或者 说每隔2k?,k?Z重复出现); 3.这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx 可以证明. 结论:象这样一种函数叫做周期函数.

1.周期函数定义:

对于函数f(x),如果存在一个非零 常数T,使得当x取定义域内的每一个 值时,都有:f (x+T)=f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做 这个函数的周期.

1.对于函数y ? sin x, x ? R有 sin(0 ? ? ) ? sin 0, 能否说?是它的周期?
2.正弦函数y ? sinx, x ? R是不是周期函数, 如果是,它的周期为多 少?

3.若函数f ( x)的周期为T , 则kT (k ? Z ) 也是f ( x)它的周期吗?为什么?

2.最小正周期的概念: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个最小的正数, 则这个最小正数叫 做f(x)的最小正周期. 思考: 1.正弦函数的最小正周期是多少? 2.就周期性而言,对正弦函数成立的结论, 对余弦函数是否也成立?由此我们有什么 结论? 3.是否每个函数都有最小正周期?

例1. 求下列三角函数的周期:

( 1 )y ? 3 cos x, x ? R; (2) y ? sin 2 x, x ? R; 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R. 2 6

1.求下列三角函数的周期: ? (1) y ? sin(x ? ), x ? R; 3 (2) y ? cos2 x, x ? R;

函数y ? Asin (?x ? ? )及函数y ? Acos(?x ? ? ), x ? R(其中A, ? ,?为常数,且A ? 0,? ? 0)的 2? 周期T ? .

(3) y ? 3 sin( x ? ) 3 5

?

?

?

( 1 )y ? 3 cos(- x), x ? R; (2) y ? sin(-2 x), x ? R; 1 ? (3) y ? 2 sin(- x - ), x ? R. 2 3

2.求下列函数的周期:

思考:由这三个函数的周期,你能得到 什么结论? 函数y ? Asin (?x ? ? )及函数y ? Acos(?x ? ? ), 2? x ? R的周期T ? . ?

1.周期函数的定义; 2.正弦函数、余弦函数的周期; 3.正弦函数、余弦函数的最小正周期;
4.函数y ? Asin (?x ? ? )及函数y ? Acos(?x ? ? ), x ? R的周期T ? 2?

?

.

一.作业本:
1.利用周期函数定义求下 列函数周期: 1 ? ? ( 1 )f ( x) ? 2 cos( x - ) (2) f ( x) ? sin(?x - ) 2 6 3 2.利用结论求下列函数的 最小正周期: ? ? 3 ? ( 1 )f ( x) ? 2 sin( x ? ) (2) f ( x) ? 5 cos(- x - ) 3 8 2 3

二.练习册:

随堂消化吸收(第2,3,4题)+课后课 时精炼(第2,6,7,10题)


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