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2.2.1对数与对数运算1


2.2.1对数与对数运算(1)

引入:
2 2

回顾指数 = 4

25 = 32
x 2

= 26

X=

引入:
问题:设 2005 年我国的国民生产总 值为 a亿元,如每年平均增长8%,那么 经过多少年国民生产总值

是2005年的2倍? 设:经过 x 年国民生产总值是 2005 年的 2 x 倍,则有 a 1 ? 8% ? 2a x 即 1.08 ? 2 x??

?

?

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。 b 能否用一个式子 即指数式 a ? N 中,已知a 和N.求b的 把表示出来吗 问题。(这里 a ? 0且a ?? 1)

定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

比较指数式、根式、对数式:
表 达形式

a

b

N

对应的运算

ab=N
b

底数
方根 底数

指数



乘方, 由a,b求N 开方, 由N,b求a 对数, 由a,N求b

N =a

根指数 被开方数 对数 真数

logaN=b

(1)开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键

?

几点说明: 1.在对数式中 N > 0 (负数与零没有对数) 2.对任意 a ? 0 且a ? 1 , 都有a 0 ? 1 ∴ log a 1 ? 0 同样易知:log a a ? 1 b 3.如果把 a ? N 中的 b写成log a N , 则有 a loga N ? N (对数恒等式)

2.对数的基本性质:
①零和负数没有对数.

(在 log a N ? b中, a ? 0, a ? 1, N ? 0)
②loga1=0
③logaa=1

3.对数恒等式:

a

loga N

?N
b

证 明: 设 a ?N

? b ? loga N

?a

loga N

?N

介绍两种特殊的对数: 1.常用对数:以10作底 log 10 N 写成
2.自然对数:以 e作底 e为无理数, e = 2.71828……

lg N

log e N 写成

ln N

对数式与指数式的互换,并由此求某些特殊 的对数

4 ? 16
2

化为对数式

log 4 16 ? 2

10 ? 100
2

化为指数式

log 10 100 ? 2
1 log 4 2 ? 2

4 ?2
10 ? 0.01
?2

1 2

化为对数式 化为指数式

log 10 0.01 ? ?2

例题讲解 例题1:将下列指数式写成对数式:

(1)
( 2)

5 ? 625
4

log 5 625 ? 4
1 log 2 ? ?6 64

2

?6

1 ? 64
m

( 3)
( 4)

3 ? 27
a

log 3 27 ? a
log 1 5.73 ? m
3

?1? ? ? ? 3?

? 5.73

例题讲解 例题2:将下列对数式写成指数式:

(1) log 1 16 ? ?4
2

?1? ? ? ? 2?

?4

? 16
7

(2) log 2 128 ? 7

2 ? 128 10 ? 0.01
?2

( 3) lg 0.01 ? ?2

(4) ln 10 ? 2.303

e

2.303

? 10

例题讲解 例3 (1) log 9 27 解:设 x ? log 9 27 求对数 求对数


9 ? 27,
x

3
解:设 即 ∴

2x
5

?3
4

3

(2) log 3

625
54

3 ∴ x? 2

x ? log 3
x?3

625
4

则 ∴

x
3

5

4

? 625,

5

4 x 3

? 625 ? 5 ,

4 x?4 3

例题讲解

2 例4.求x的值: log 64 x ? ? 3


解:∵


2 log 64 x ? ? 3

求真数
2 ? 3 2 ? 3

x ? 64
?

? (4 )

3

4

?2

1 ? 16

例题讲解



log x 8 ? 6
1 6

解: ∵ log 8 ? 6,又∵ x? 0 x

x ? 8 ? (2 ) ? 2 2 ③ ? ln e ? 2x 解: ∵ ? ln ? x e 2 2 ?x ∴ ln e ? ? x, e ? e
∴ ∴

3

1 6

求对数

x ? ?2.

课堂练习
1.把下列对数写成指数形式
3

(1) 2 ? 8 (2) 2 ? 32 (3) 2
?1 5

log 2 8 ? 3 log 2 32 ? 5 1 log 2 ? ?1 2 1 1 log 27 ? ? 3 3

1 ? 2
? 1

(4) 27

1 3 ? 3

课堂练习
2.将下列指数式写成对数式:

5 ? 625? log5 625 ? 4 1 1 ?6 ? log 2 ? ?6 (2 ) 2 ? 64 64 (3) 3a ? 27 ? log3 27 ? a m ?1? (4) ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m 3 ? 3?
(1 )
4

课堂练习 3 求下列各式中x的值

(1)
(2)

2 log 64 x ? ? 3 log x 8 ? 6

(3) lg100 ?
(4)
2

x

? ln e ? x

课堂练习 4、求 x 的值: (1)
2

log?2x ?1? 3x ? 2x ?1 ? 1

?

2

?

(2)

log2 ?log3 ?log4 x ?? ? 0

课堂练习
5 求下列各式的值 (1 ) (2 ) (3 ) (4)

log5 25 ? 2

log25 25 ? 1
lg10

?1

lg 0.01 ? ?2

(5)
(6)

lg 1000 ? 3 lg 0.001? ?3

课堂练习
6 求下列各式的值 (1 ) (2 ) (3 ) (4)

log0.5 1 ? 0
log9 81 ? 2

log25 625 ? 2
log3 243 ? 5
lg4 64 ? 3

(5)
(6)

log 2 2 ? 2

对数运算性质如下:
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么: (1) (2) (3)

loga (M ? N) ? loga M ? loga N;

M log ? loga M ? loga N; a N

loga M ? n loga M(n ? R).
n

例5、计算下列各式

(1) log 2 6 ? log 2 3 1 (2) log5 3 ? log5 3 2 log5 2 ? log5 3 (3) 1 1 log5 10 ? log5 0.36 ? log5 8 2 3

例6 用 (1)

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(2)

xy log ; a z

log
a

x

2 3

y z

.

例7 求下列各式的值: (1)

log2 (4 ? 2 );
7 5

(2)

lg 5 100.

探究
你能根据对数的定义推导出下面 的换底公式吗?
logc b ?a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0?. loga b ? logc a

不要产生下列的错误:
(1).loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N M loga M (2).loga ? N loga N (3).loga ( MN ) ? loga M ? loga N (4).loga M ? (loga M )
n n

小结:
1°对数的定义 2°互换(对数与指数会互换) 3°求值(已知对数、底数、真 数 其中两个,会求第三个)

学习要求:

1.要求理解对数的概念, 2.能够进行对数式与指数式的互化 3.并由此求一些特殊的对数式的值。


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