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上海高二数学期末考试试题


2015-2016 上海市高二数学期末试卷 (共 150 分,时间 120 分钟)
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1.对抛物线 y ? 4x2 ,下列描述正确的是( A 开口向上,焦点为 (0,1) C 开口向右,焦点为 (1, 0) )

1 ) 16 1 D 开口向右,焦点为 (0, ) 16

>B 开口向上,焦点为 (0,

2.已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 ? A 是 ? B 的 ( A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件



D 既不充分也不必要条件 )

3.椭圆 5x2 ? ky2 ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为( A ?25 B 25 C ?1 D 1

4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 A1B1 ? a , A1 D1 ? b ,
A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是(

???? ?

?

) D ? a? b?c
1 2 1 2

A ? a? b?c

1 2

1 2

B

1 1 a? b?c 2 2

C

1 1 a? b?c 2 2

5.空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1,0),B(-1,3,0), 若点 C 满足 OC =α OA +β OB , 其中α , β ? R, α +β =1, 则点 C 的轨迹为 ( A 平面 B 直线
1 2
2



C 圆

D 线段

6.给出下列等式:命题甲: ( ) x ,21? x ,2 x 成等比数列,命题乙: lg x, lg( x ? 1), lg( x ? 3) 成等差数列,则甲是乙的( A 充分非必要条件 D 既非充分又非必要条件
1 3? 7.已知 a =(1,2,3), b =(3,0,-1), c = ? ? ? ,1,? ? 给出下列等式: ? 5 5?

) B 必要非充分条件 C 充要条件

①∣ a ? b ? c ∣=∣ a ? b ? c ∣ ② (a ? b) ? c = a ? (b ? c) ③ (a ? b ? c) 2 = a ? b ? c

2

2

2

④ (a ? b) ? c = a ? (b ? c) 其中正确的个数是 A 1个 ( ) C 3个 ) D 4个

B 2个

8.设 ? ??0, ? ? ,则方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1不能表示的曲线为( A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆

9.已知条件 p: x ? 1 <2,条件 q: x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的( A 充分必要条件 C 必要不充分条件 10.椭圆 A



B 充分不必要条件 D 既不充分又不必要条件

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,则椭圆的离心率是 ? ? 1 与双曲线 a 2 2b 2 2a 2 b 2

3 2

B

15 3

C )

6 4

D

30 6

11.下列说法中错误 的个数为 ( .. 为假,则它本身一定为真;③ ?

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题
?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件;④ a ? b 与 a ? b ? y ? 2 ? xy ? 2

是等价的;⑤“ x ? 3 ”是“ x ? 3 ”成立的充分条件. A 2
??? ?

B 3
??? ? ??? ?

C 4

D 5
??? ? ??? ?

12.已知 OA ? (1,2,3) ,OB ? (2,1,2) ,OP ? (1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( A
( 1 3 1 , , ) 2 4 3


( 4 4 8 , , ) 3 3 3

B

(

1 2 3 , , ) 2 3 4

C

D

(

4 4 7 , , ) 3 3 3

二、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分) 13 . 已 知 a ? b ? 2i ? 8 j ? k , a ? b ? ?8i ? 16 j ? 3k ( i, j, k 两 两 互 相 垂 直 ) , 那 么
a?b =

。 .

1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线方程为: 14.以 (1, ?

15. 已知 M( 5, -3) , M( -2, -5) , 设在线段 M1M2 的一点 M 满足 M 1 M 2 = 4MM 2 , 1 2, 2 3, 则向量 OM 的坐标为 16.下列命题 ①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件. ② “am2<bm2”是“a<b”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假. ④在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是 ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列的充要条件. ⑤ ?ABC 中,若 sin A ? cos B ,则 ?ABC 为直角三角形. 判断错误的有___________ 。

17.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC1 ? A1C .有下列条件: ① AB ? AC ? BC ; ② AB ? AC ; ③ AB ? AC . 其中能成为 BC1 ? AB1 的充要条件的是________.(填上序号) 三、解答题(共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分)

18.(本题满分 15 分)求 ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.

19.(本题满分 15 分)已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:

f(x)=-(5-2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

20.(本题满分 15 分)直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 3x2 ? y2 ? 1 相交于不同的 A 、
B 两点.

(1)求 AB 的长度; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标第原点?若存在, 求出 k 的值;若不存在,写出理由.

21、(本题满分 15 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面△ABC, 中,CA=CB=1∠BCA=90°,棱 AA1=2M,N 分别是 A1B1, A1A 的中点。 (1)求 BN 的长度; (2)求 cos( BA1 , CB1 )的值; (3)求证:A1B⊥C1M。

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、B 7、D 8、C 9、B 10、B 11、 C 12、C 二、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分) 13、- 65 14、 4 x ? y ? 3 ? 0 17、①、③ 三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 18、 (本题满分 14 分)解:若方程有一正根和一负根,等价于 x1 x2 ? ? 0 ? a<0
? ? Δ ? 4 ? 4a ? 0 ? 2 若方程有两负根,等价于 ? ?? ? 0 ? a ?1 ?0 ? ?a

15、 ? ?

11 1 9 ? ,? ,? ? ? 4 4 2?

16、②⑤

1 a

? 0<a≤1

综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是 a<0 或 0<a≤1 由以上推理的可逆性,知当 a<0 时方程有异号两根;当 0<a≤1 时,方程 有两负根. 故 a<0 或 0<a≤1 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根的充分条件. 所以 ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件是 a<0 或 0<a≤1 19、(本题满分 15 分)解:不等式|x-1|<m-1 的解集为 R,须 m-1<0 即 p 是真 命题,m<1 f(x)=-(5-2m)x 是减函数,须 5-2m>1 即 q 是真命题,m<2 由于 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题 故 p、q 中一个真,另一个为假命题 因此,1≤m<2

20、(本题满分 15 分) 联立方程组 ?
? y ? ax ? 1 ?3x ? y ? 1
2 2

消去 y 得 ?3 ? a 2 ?x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,因为有两个交点,所以
2a ?2 , x1 x 2 ? 。 2 3?a 3 ? a2

?3 ? a
(1)

2

?0
2

? ? 4a ? 8 3 ? a

?

2

?? 0

,解得 a 2 ? 6, 且a 2 ? 3, x1 ? x2 ?

AB ? 1 ? a x1 ? x2 ? 1 ? a
2

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2

2 ? a 4 ? 5a 2 ? 6 a ?3
2

(a 2 ? 6且a 2 ? 3) 。

(2)由题意得 koa kob ? ?1,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 整 理得 a 2 ? 1, 符合条件,所以 a ? ?1 21、(本题满分 15 分)如图, 解: 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 立空间直角坐标系。 (1) 依题意得出
B(0, 1, 0),N( 1, 0, 1 ), ? BN ? 3 ;

轴, z 轴建

(2) 依题意得出
A ( , 0, 2)B(0, 1, 0),C(0, 0, 0),B ( , 1, 2) 1 1 1 0

? BA1 ? ( 1, ? 1, 2), CB1 ? (0, 1, 2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6, CB1 ? 5

∴ cos﹤ BA1, CB1 ﹥=

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

1 30 10

?1 1 ? ?1 1 ? (3) 证明:依题意将 C ( , 0, 2),M ? , , 2 ?, A1 B1 ? ( ? 1, 1, ? 2), C1 M ? ? , , 0 ?, 1 0 ?2 2 ? ?2 2 ?
1 1 ? A1 B ? C1 M ? ? ? ? 0 ? 0, ? A1 B ? C1 M 2 2 ? A1 B ? C1 M


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