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吉林省实验中学2012年高三年级第3次模拟考试数学试题(文科)


吉林省实验中学 2012 年高三年级第 3 次模拟考试

数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)
x 2 1.已知集合 M = y y = 2 , x > 0 , N = x y = 1g ( 2 x ? x ) , 则M I N 为

{

}

{

}





A.(1,2) 2.若复数

B. (1,+∞)

C. [ 2,+∞)

D. [1,+∞) ( )

a ? 2i ( a ∈ R, i 为虚数单位 ) 是纯虚数,则实数 a 的值为 1 + 2i A. 4 B. ?4 C. 1 D. ?1

3.已知命题 p : ?x ∈ R ,使 sin x = ①命题 " p ∧ q" 是真命题 ③命题 " ?p ∨ ?q" 是假命题 其中正确的是 A.②③

5 ; 命题 q : ?x ∈ R ,都有 x 2 + x + 1 > 0. 给出下列结论: 2
②命题 " ?p ∨ q" 是真命题 ④命题 " p ∧ ?q" 是假命题 ( )
[来源:Z.xx.k.Com]

B.②④

C.③④

D.①②③ ( D. 14 )

4.过点(4,4)引圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 的切线,则切线长是 A.2 B. 10 C. 6

x 5.已知命题 p : f ( x ) = log ( m ?1) x 是减函数,命题 q: f ( x ) = ?(5 ? 2m) 是减函数,则 p 是 q

的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 a,b 表示两条不同的直线,α、β表示两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 α // β , a ? α , b ?



β , 则a // b.

B.若 a ⊥ α , a与α 所成角等于 b 与β所成角,则 a//b. C.若 a ⊥ α , a ⊥ b, α // β , 则b // β . D.若 a ⊥ α , b ⊥

β , α ⊥ β , 则a ⊥ b.
( )

7.若函数 f ( x ) = ax + b 的零点为 2,那么函数 g ( x ) = bx 2 ? ax 的零点是 A.0,2 B.0,

1 2

C.0, ?

1 2

D. 2,
2

1 2

8.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 m > 1, 且a m ?1 + a m +1 ? a m ? 1 = 0 ,S 2 m ?1 = 39 ,则 m

等于 A.39 B.20 C.19 9.在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也 在[0,10]的 概率为 ( ) A. C.

( D.10
[来源:学科网]



π
4

B. D.

π
40

π
20

π

10

10.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果 为

2009 ,则判断框 内应填入的条件是 ( 2010 A. i = 2008 ? B. i > 2009 ? C. i > 2010 ? D. i = 2012 ?



函数 f (x ) 的最小正周期为 3, f (1) > 1, f ( 2) = 且 11. 设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, 则 m 的取值范围是 A. m < ( )

2m ? 3 m +1

2 且m ≠ ?1 3 2 C. ? 1 < m < 3

B. m <

2 3 2 3

D. m < ?1或m >

12.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的右支上一点,F1、F2 为双曲线的左、右焦点, a2 b2
3 | PF2 | , 则双曲线的离心率为 (
D. 3 + 1 )

且 使 (OP + OF2 ) ? F2 P = 0(O 为坐标原点) | PF1 |=

A.

6 +1 2

B. 6 + 1

C.

3 +1 2

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.抛物线 y 2 = 2 px 上一点 M(4,m)到准线的距离为 6,则 p= 14.设等比数列 {a n } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 S n ,若 S 4 = 1, 则S 8 = 15.已知某几何三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 。 .



16.当实数 x 满足约束条件 ? y ≥ x

?x > 0 ?

?2 x + y + k ≤ 0 ?

(其中 k 为小于零的常数) 时,

y +1 的最小值为 2 , x

则实数 k 的值是 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共计 60 分) 17.(本小题满分 12 分) 某高校在 2010 年的自主招生考试中随机抽取了 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第一组

[160,165) ,第二组 [165,170) ,第三组 [170,175) ,第四组 [175,180) ,第五组 [180,185) 得到的
频率分布直方图如图所示, (1)求第三、四、五组的频率; (2)为了以选拔出最优秀的学生,学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。 (3)在(2)的前提下,学校决定在这 6 名学生中 随机抽取 2 名学生接受甲考官的的面试,求 第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。
[来源:Zxxk.Com]

18.(本小题满分 12 分) 已知钝角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且有 ( 2a ? c ) cos B = b cos C (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m = (cos 2 A + 1, cos A), n = (1,? ), 且m ⊥ n, 求 tan(

8 5

π
4

+ A) 的值。

19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,AB//EF,矩形 ABCD 所在的平面和 圆 O 所在 的平面互相垂直,且 AB=2,AD=E F=1。 (1)求证: AF ⊥ 平面 CBF; (2)设 FC 的中点为 M,求证:OM//平面 DAF; (3)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 V F ? ABCD , V F ?CBE ,求

VF ? ABCD : VF ?CBE

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

1 ? m + ln x , m ∈ R. x

(I)若 m = 1 ,判断函数在定义域内的单调性; (II)若函数在 (1, e) 内存在极值,求实数 m 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(-1,0),B(1,0), C ( ?1, ) ,以 A、B 为焦点 的椭圆经过点 C。 (I)求椭圆的方程; (II)设点 D(0,1),是否存在不平行于 x 轴的直线 l 与椭圆 交于不同两点 M、N,使

3 2

( DM + DN ) ? MN = 0 ?若存在,求出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由;
(III)对于 y 轴上的点 P(0,n) (n ≠ 0) ,存在不平行于 x 轴的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、 N,使 ( PM + PN ) ? MN = 0 ,试求实数 n 的取值范围。 四、选考题(本题满分 10 分。请考生在 22.、23、24 三题中任选一题作答,如 A 果多做,则按所做的第一题记分) 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,ABCD 是边长为 a 的正方形, D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 以 E F 为直径的半圆 O 交于点 F ,延长 CF 交 AB 于 E . (1)求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长. B O 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ρ =1,
D

C

t ? ?x = 1 + 2 , ? 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数)。 3 ?y = 2 + t ? ? 2
(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x ′ = 2 x, 得到曲线 C ′ ,设曲线 C ′ 上任一点为 M ( x, y ) ,求 ? y′ = y

x + 2 3 y 的最小值。
24.选修 4—5:不等式选讲

a 2 b 2 ( a + b) 2 (1)已知实数 m > 0, n > 0, 求证 : + ≥ ; m n m+n
(2)利用(1)的结论,求函数 y =

1 4 + (其中 x ∈ (0,1) )的最小值. x 1? x

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 B 11 C 12 D

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.4; 14.17; 15.

45 + 3 ; 16.-3. 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共计 60 分) 17.解:(1)由题设可知,第三组的频率为 0.06×5=0.3 第四组的频率为 0.04×5=0.2 第五组的频率为 0.02×5=0.1………………………………………3 分 (2)第三组的人数为 0.3×100=30 第四组的人数为 0.2×100=20 第五组的人数为 0.1×100=10……………………………………6 分 因为第三、四、五组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽 到的人数分别为:第三组
20 ×6 = 2 60 10 ×6 =1 60 30 ×6 = 3 60

第四组

第五组

所以第三、四、五组分别抽取 3 人,2 人,1 人.……………9 分 (3)设第三组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第四组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第五组的 1 位同学为 C1 则从 6 位同学中抽 2 位同学有:

(A A ) ,(A A ) ,(A B ) ,(A B ) ,(A C ) ,(A , A ) ,(A ,B ) ,(A ,B )
1, 2 1, 3 1, 1 1, 2 1, 1
2 3 2 1 2 2

( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1, B2 ) , ( B1,C1 ) , ( B2,C1 )
共 15 种可能………………10 分 其中第四组的 2 位同学 B1 , B2 中至少 1 位同学入选有 ( A1, B1 ) , ( A1, B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) ( B1, B2 ) , ( B1,C1 ) , ( B2,C1 ) 共 9 种可能……………………11 分
所以第四组至少有 1 位同学被甲考官面试的概率为 18.解:(1)Q
9 3 = ……………………12 分 15 5

(

2a ? c cos B = b cos C ,由正弦定理得:

)

(

2 sin A ? sin C cos B = sin B cos C ………………………………………2 分

)

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B = sin B cos C 即 2 sin A cos B = sin B cos C + sin C cos B

∴ 2 sin A cos B = sin ( B + C ) ……………………………………………4 分

因为在△A BC 中 sin ( B + C ) = sin A 则 2 sin A cos B = sin A
2 π , B = ……………………………………………………6 分 2 4 ur r (2)Q m ⊥ n ur r 8 ∴ m ? n = 0 即 cos 2 A + 1 ? cos A = 0 ……………………………………7 分 5 ∴ cos B =

8 ∴ 2cos 2 A ? cos A = 0 , 5 Q cos A ≠ 0 ∴ cos A =
4 5

即 2cos A ? cos A ? ? = 0 ………… 5
?

? ?

4?

………8 分

由 sin 2 A + cos 2 A = 1,sin A > 0
3 3 ∴ sin A = , tan A = ………………………………………10 分 5 4 3 π ? 1 + tan A 1 + 4 ? = = 7 ……………………………………12 分 则 tan ? A + ? = 4 ? 1 ? tan A 1 ? 3 ? 4

19.(1)证明:由平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF,CB ⊥ AB, 平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, 得 CB ⊥ 平面 ABEF, 而 AF ? 平面 ABEF,所以 AF ⊥ CB (2 分) (3 分) 又因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AF ⊥ BF, 又 BF∩CB=B,所以 AF ⊥ 平面 CBF (4 分) (2)证明:设 DF 的中点为 N,连接 AN,MN 则 MN // CD, 又AO // CD = 2 = 2 则 MN//AO,所以四边形 MNAO 为平行四边形, (6 分) = 所以 OM//AN,又 AN ? 平面 DAF, OM ? 平面 DAF, 所以 OM//平面 DAF。 (8 分) (3)过点 F 作 FG ⊥ AB 于 G,因为平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF, 所以 FG ⊥ 平面 ABCD,所以 V F ? ABCD = 因为 CB ⊥ 平面 ABEF, 所以 V F ?CBE = VC ? BFE =

1

1

1 2 S ABCD ? FG = FG (9 分) 3 3

1 1 1 1 S ?BFE ? CB = ? EF ? FG ? CB = FG (11 分) 3 3 2 6
(12 分)

所以 V F ? ABCD : V F ?CBE = 4 : 1.

20.解:(I)显然函数定义域为(0,+ ∞ )若 m=1, 由导数运算法则知 f ′( x) = 令 f ′( x) = 0, 得x=e.

1 ? ln x . x2

………………2 分

当 x ∈ (0, e)时, f ′( x) > 0, f ( x) 单调递增;

当 x ∈ (e, +∞)时, f ′( x) < 0, f ( x) 单调递减。 ………………6 分 (II)由导数运算法则知, f ′( x ) = 令 f ′( x) = 0, 得x = e m .

m ? ln x . x2

………………8 分

m 当 x ∈ (0, e )时, f ′( x) > 0, f ( x) 单调递增;

当 x ∈ (e , +∞ )时, f ′( x) < 0, f ( x) 单调递减。 ………………6 分
m

故当 x = e 时, f ( x) 有极大值,根据题意
m

1 < em < e, 即0 < m < 1
21.解:(I)设椭圆方程为

………………12 分

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a 2 b2 3 2

据 A( ?1,0), B (1,0), C ( ?1, ) 知,

3 2 ? ? (?1) 2 ( 2 ) ?a 2 = 4 ? + 2 = 1解得? ? a2 ? 2 b ?b = 3 ? 2 ? ?a ? b 2 = 1 ? x2 y2 + =1 4 3

∴所求椭圆方程为

…………4 分

(II)Q 条件( DM + DN ) ? MN = 0等价于 | DM |=| DN | ∴若存在符合条件的直线,该直线的斜率一定存在, 否则与点 D(0,1)不在 x 轴上矛盾。 ∴可设直线 l : y = kx + m( k ≠ 0)

[来源:学#科#网]

? y = kx + m ? 得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0 由 ? x2 y2 + =1 ? 3 ?4
由 ? = 64k 2 m 2 ? 4(3 + 4k 2 )( 4m 2 ? 12) > 0得4k 2 + 3 > m 2 …………6 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,MN 的中点为 Q ( x 0 , y 0 ), 则 x0 =

x1 + x 2 4km 3m =? , y 0 = kx0 + m = . 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2

又Q| DM |=| DN |

3m ?1 2 y0 ? 1 1 1 ∴ = ? , 即 3 + 4k =? 4km x0 k k ? 2 3 + 4k
2

解得: m = ?3 ? 4k

…………8 分

(将点的坐标代入 ( DM + DN ) ? MN = 0 亦可得到此结果) 由 4k + 3 > m 得4k + 3 > (3 + 4k ) 得,
2 2 2 2 2
[来源:学科网]

4k 2 < ?2, 这是 不可能的。
故满足条件的直线不存在。 (III)据( II)有 可推出 4k <
2

…………9 分

y0 ? n 1 =? , x0 k

1 1 ? 3, 要使 k 存在,只需 2 ? 3 > 0(n ≠ 0) 2 n n

∴ n 的取值范围是 (?

3 3 ,0) U (0, ) 3 3

…………12 分

22.(1)证明:连结 DF , DO ,则 ∠CDO = ∠FDO , 因为 BC 是的切线,且 CF 是圆 D 的弦,

A E F

D

1 所以 ∠BCE = ∠CDF ,即 ∠CDO = ∠BCE , 2
故 Rt△CDO ? Rt△BCE ,

B

1 所以 EB = OC = AB .………………………………………5 分 2 BF CB (2)连结 BF ,则由△FEB∽△BEC,得 = , BE CE
所以 BF =

O

C

5 a .………………………10 分 5
C : x2 + y2 = 1
(2 分)

23.解:(1) l : 3 x ? y + 2 ? 3 = 0 ;

? ?x′ = 2 x ?x = (2)Q ? ∴? ? y′ = y ?y = ? ∴C′ :

x′ 2 代入 C 得 y′

x2 + y 2 = 1 (5 分) 4

设椭圆的参数方程 ?

? x = 2 cos θ (θ 为参数) ? y = sin θ

(7 分)

则 x + 2 3 y = 2 cos θ + 2 3 sin θ = 4 sin(θ + 则 x + 2 3 y 的最小值为-4。

π
6

)

(9 分)

(10 分)

24.证明:(1)

a 2 b 2 (a + b) 2 na 2 + mb 2 (a + b) 2 + ? = ? m n m+n mn m+n 2 2 2 (m + n)(na + mb ) ? mn(a + b) = mn(m + n)

=

(na ? mb) 2 ≥ 0 …………4 分 mn(m + n)
a 2 b 2 ( a + b) 2 + ≥ m n m+n
…………6 分

所以

当且仅当 na=mb 时等号成立 (2)Q x ∈ (0,1)

∴1 ? x > 0 ∴y = 1 4 12 22 + = + x 1? x x 1? x (1 + 2) 2 ≥ = 9LL 8分 x +1? x 1 ∈ (0,1) 3
…………10 分

由 (1 ? x ) ? 1 = x ? 2 ,可得 x = 故当 x =

1 时,函数可得最小值 9 3

注:未注明取最小值时 x 的取值扣 1 分


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