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2013年4月北京市西城区高三二模数学试题


一.选择题:本卷共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 函数 的定义域是 A. B. C. D. ( ) ( )

2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. B. C. D. ( )

3. 已知直线 的倾斜角为 ,则 = A. B. C. D.

>4. 曲线 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点 的纵坐标是 ( A. -9 B. -3 C. 9 D.15

)

5. 公比为 的等比数列 的各项都是正数,且 ,则 A. B. C. D.





6. 已知变量 满足约束条件 ,则目标函数 的取值范围是 A. B. C. D.

(

)

7. 设平面 与平面 相交于直线 ,直线 在平面 内,直线 在平面 内,且 ,则“ ”是“ ”的 ( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ( )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

8. 某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π

B. 45π

C. 57π

D. 81π ( )

9.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 ,则 A. B. C. D. ( D. 1 )

10. 已知 , (0,π),则 = A. 1 B. C.

11. 设 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形, 则 的离心率为 ( A. 12. 函数 则 B. ( C. ) D. )

A. 在 单调递增,其图象关于直线 对称 B. 在 单调递增,其图象关于直线 对称

C. 在 单调递减,其图象关于直线 对称 D. 在 单调递减,其图象关于直线 对称 第Ⅱ 卷 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 ,把答案填在题中横线上. 13. 已知 是等差数列, , 表示 的前项和,则使得 达到最大值的 是_______. 14. 如图,已知正三棱柱 的各条棱长都相等, 是侧棱 的中点,则异面直线 所成的角的大小是

15. 在 中, .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 _______. 16. 不等式 对任意实数 恒成立,则实数 的取值范围是_______. 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在 中,角 的对边分别是 .已知 , ⑴ 的值; 求 ⑵ ,求边 的值. 若 18.已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦,垂足为 ,求四边形 的面积的最大值. 19.如图,四棱锥 的底面是正方形, ,点 E 在棱 PB 上. ⑴ 求证:平面 ;

⑵ ,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 当 20. 等差数列 中, 且 成等比数列,求数列 前 20 项的和 . 21.设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与椭圆 相交于 两点,直线 的倾斜角为 , . ⑴ 求椭圆 的离心率; ⑵ 如果 ,求椭圆 的方程. 22.设函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 . ⑴ 求 的解析式; ⑵ 证明:曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 包三十三中 2012-2013 学年第一学期期中Ⅱ 考试 高三年级数学(文科)参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B C B AA C D A C D 13. 20 14 . 15. 16. 17. 解⑴ :由已知得 由 ,得 ,即 , 两边平方得 5分

⑵ >0,得 即 由 由 ,得 由 ,得 则 .由余弦定理得 所以 10 分

18.设 分别是 到 的距离,则 ,

当且仅当 时上式取等号,即 时上式取等号. 19. ⑴ 四边形 ABCD 是正方形, ∵ ∴ AC⊥ BD,∵ , ∴ PD⊥ AC,∴ AC⊥ 平面 PDB, 平面 . 6 分 ⑵ AC∩BD=O,连接 OE, 设 由⑴ AC⊥ 知 平面 PDB 于 O, ∴ AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∠ ∴ O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴ OE//PD, , 又∵ , ∴ OE⊥ 底面 ABCD,OE⊥ AO, 在 Rt△AOE 中, , ∴ ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 . 12 分 20. 解:设数列 的公差为 ,则 , , . 由 成等比数列得 , 即, 整理得 , 3分

解得 或 . 当 时, . 当 时, , 于是 . 12 分 9分

7分

21. 解:设 ,由题意知 <0, >0. (Ⅰ )直线 的方程为 ,其中 . 联立 得 解得 因为 ,所以 . 即 得离心率 . (Ⅱ )因为 ,所以 . 由 得 .所以 ,得 a=3, . 椭圆 C 的方程为 . 22. 解:⑴ 方程 可化为 . 当 时, . 又 ,于是 解得 故. 6分 2分 ……12 分 ……6 分

⑵ 为曲线上任一点,由 知曲线在点 处的切线方程为 设 ,即 . 令 得 ,从而得切线与直线 的交点坐标为 . 令 得 ,从而得切线与直线 的交点坐标为 . 所以点 处的切线与直线 , 所围成的三角形面积为 . 故曲线 上任一点处的切线与直线 , 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 . 12 分 10 分


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