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设计必修五课堂讲义3-3-1


预习导学 高中数学 · 必修5· 人教A版

第三章

不等式

3.3

二元一次不等式(组)与简单的线
性规划问题

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

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第三章

不等式

[学习目标] 1.了解二元一次不等式表示的平面区域. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.

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第三章

不等式

[知识链接] 下列说法正确的有________. (1)一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间;

(2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标;
(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成 的集合; (4) 不等式 x > 2 或 y < 0 不能用平面直角坐标系中的点集表 示.

答案 (1)(2)(3)
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第三章

不等式

[预习导引] 1.二元一次不等式(组)的概念 含有 两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二

元一次不等式.
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 二元一次不 等式组.

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不等式

2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示 直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,把直

线画成 虚线 以表示区域不包括边界.
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画 成 实线 .

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第三章

不等式

3.二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1) 直线 Ax + By + C = 0 同一侧的所有点的坐标 (x , y) 代入 Ax+By+C所得的符号都 相同 .

(2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0),由
Ax0+By0+C 的符号可以断定 Ax + By + C>0 表示的是 直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

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不等式

要点一 二元一次不等式表示的平面区域 例1 画出下面二元一次不等式表示的平面区域.

(1)x-2y+4≥0;
(2)y>2x.

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第三章

不等式

解 (1)画出直线x-2y+4=0, ∵0-2×0+4=4>0, ∴x-2y+4>0表示的区域为含(0,0)的一侧,

因此所求为如图所示的区域,包括边界.

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(2)画出直线y-2x=0,

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不等式

∵0-2×1=-2<0,

∴y-2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求
为如图所示的区域,不包括边界.
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第三章

不等式

规律方法 应用“以直线定界,以特殊点定域”的方法画平 面区域,先画直线Ax+By+C=0,取点代入Ax+By+C验 证.在取点时,若直线不过原点,一般用“原点定域”;若

直线过原点,则可取点(1,0)或(0,1),这样可以简化运算.画
出所求区域,若包括边界,则把边界画成实线;若不包括边 界,则把边界画成虚线.

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不等式

跟踪演练 1

在平面直角坐标系中,画出下列二元一次不等

式表示的平面区域: (1)2x-3y+6<0;

(2)2x+3y≥0;
(3)y-2<0.

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不等式

解 (1)2x-3y+6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不 包括边界).

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不等式

(2)2x+3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边 界).

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不等式

(3)y-2<0表示直线y-2=0下方的区域,如图(3)所示阴影部 分(不包括边界).

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不等式

要点二 例2

二元一次不等式组表示的平面区域

画出下列不等式组所表示的平面区域. ?x-y<2, ? (2)?2x+y≥1, ?x+y<2. ?

? ?x-2y≤3, ?x+y≤3, (1)? ?x≥0, ? ?y≥0.

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解 (1)x-2y≤3,即x-2y-3≤0, 表示直线x-2y-3=0上及左上方的

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不等式

区域;
x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直线 x+y-3=0上及左下方区域; x≥0表示y轴及其右边区域; y≥0表示x轴及其上方区域.

综上可知,不等式组(1)表示的区域如图所示.

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不等式

(2)x-y<2,即x-y-2<0,表示直
线x-y-2=0左上方的区域; 2x+y≥1,即2x+y-1≥0,表示直 线2x+y-1=0上及右上方区域; x+y<2表示直线x+y=2左下方区域.

综上可知,不等式组(2)表示的区域如图所示.

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不等式

规律方法

(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集,所

以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分.

(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个
不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤为: ①画线;②定侧;③求“交”;④表示.

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第三章

不等式

跟踪演练 2

用平面区域表示下列不等式组.

? ?x≥y, (1)? ? ?3x+4y-12<0;

?x-y+5≥0, ? (2)?x+y+1>0, ?x≤3. ?

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解 (1)不等式 x≥y,即 x-y≥0, 表示直线 y=x 上及其下方的区域. 不等式 3x+4y-12<0,表示直线 3x+4y-12=0 左下方的区域. 它们的公共部分就是不等式组
? ?x≥y, ? ? ?3x+4y-12<0

第三章

不等式

表示的平面区域(如图所示的阴影部分).

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(2)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合, 不等式 x+y+1>0 表示直线 x+y+1=0 右上方的点的集合 (不含边界),不等式 x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

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不等式

所以不等式组表示上述平面区域的公共部分 (如图所示的阴影 部分).

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要点三 不等式组表示平面区域的应用

第三章

不等式

例 3

?x+2y-1≥0, ? (1)画出不等式组?2x+y-5≤0, ?y≤x+2 ?

所表示的平面区域,

并求其面积;
? ?y≤2, (2) 求不等式组 ? ? ?|x|≤y≤|x|+1

所表示的平面区域的面积大

小.

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第三章

不等式

解 (1)如图所示,其中的阴影部分便是欲表示的平面区域.
? ?x-y+2=0, 由? ? ?2x+y-5=0,

得 A(1,3).

同理得 B(-1,1),C(3,-1). ∴AC= 22+42=2 5, 而点 B 到直线 2x+y-5=0 的距离为 |-2+1-5| 6 d= = , 5 5 1 1 6 ∴S△ABC=2AC· d=2×2 5× =6. 5
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(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组: ? ?x≥0, ?y≥x, ①? ?y≤x+1, ? ?y≤2, ? ?x≤0, ?y≥-x, 或②? ?y≤-x+1, ? ?y≤2.

第三章

不等式

上述两个不等式组所表示的平面 区域如图所示,所围成的面积 1 1 S= ×4×2- ×2×1=3. 2 2

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第三章

不等式

规律方法 求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面 区域,然后根据区域的形状求面积,若画出的图形为规则的, 则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采用分

割的方法,将平面区域分为几个规则图形后求解.

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?x-y+6≥0, ? 画出不等式组 ?x+y≥0, ?x≤3 ?

第三章

不等式

跟踪演练 3

所表示的平面区

域,并求平面区域的面积. 解 先画直线 x-y+6=0(画成实线),不等式 x-y+6≥0 表示 直线 x-y+6=0 上及右下方的点的集合. 画直线 x+y=0(画成实线),不等式 x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合.

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第三章

不等式

画直线x=3(画成实线),不等式x≤3表示直线x=3上及左方的 点的集合.

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不等式

?x-y+6≥0, ? 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?

所表示的平面区域如图所示,

因此其区域面积也就是△ABC 的面积. 显然,△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90° ,AB=AC,B 点的 坐标为(3,-3).由点到直线的距离公式,

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不等式

|3+3+6| 12 AB= = , 2 2 1 12 12 ∴S△ABC=2× × =36. 2 2 ?x-y+6≥0, ? 故不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?

所表示的平面区域的面积等于 36.

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不等式

再见
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