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【2015届备考】2015全国名校数学试题分类解析汇编(1月第一期):C单元 三角函数


C 单元 三角函数 目录 C1 角的概念及任意角的三角函数................................................................................................. 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ............................................................................... 3 C3 三角函数的图象与性质........................................................................................................... 4 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质................................................................................ 14 C5 C6 C7 C8 C9 两角和与差的正弦、余弦、正切......................................................................................... 20 二倍角公式 ............................................................................................................................ 24 三角函数的求值、化简与证明............................................................................................. 25 解三角形 ................................................................................................................................ 29 单元综合 ................................................................................................................................ 42

C1 角的概念及任意角的三角函数
【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】20.(本小 题满分 13 分) 某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点 A 与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧 边缘种植绿化带;从点 C 到点 B 设 .. 计为沿弧 BC 的弧形小路,在路的一侧 边缘种植绿化带.(注:小路及绿化带的宽度忽略不 .. 计) (I) 设 ?BAC ? ?(弧度) , 将绿化带总长度表示为 ? 的函数 s ?? ? ; (II)试确定 ? 的值,使得绿化带总长度最大. 【知识点】弧度制的应用.C1

【答案】 【解析】 (Ⅰ) s(? ) ? 200cos ? ? 100? , (Ⅱ)

??

?
6

解析: (Ⅰ) 如图, 连接 BC, 设圆心为 O, 连接 CO, 在直角三角形 ABC 中, AB=100, ?BAC = q , 所以 AC ? 100 cos ? . 由于 ?BOC ? 2?BAC ? 2? ,所以弧 BC 的长为 50 ? 2? ? 100? . 所以 s(? ) ? 200cos ? ? 100? , ? ? (0, ) . 2 ……………………6 分

?

? (Ⅱ) s?(? ) ? 100(?2sin ? ? 1), s?(? ) ? 0, 则 ? ? 6
列表如下:

……………………8 分

所以,当 ? ? 答:当 ? ?

?
6

时, s(? ) 取极大值,即为最大值. ……………………13 分

?
6

时,绿化带总长度最大.

【思路点拨】 (Ⅰ)利用三角函数结合弧长公式,可将绿化带总长度表示为 θ 的函数 S(θ) ; (Ⅱ)求导数,确定函数的单调性,即可确定 θ 的值,使得绿化带总长度最大。

【数学文卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 2.若角 ? 的

, 2? ,则 cos 2? 的值为 终边过点 ? ?1
A.

3 5

B. ?

3 5

C.

5 5

D. ?

5 5
?1 (?1) 2 ? 22

【知识点】任意角的三角函数的定义.C1 【答案】 【解析】 B 解析: 因为角 ? 的终边过点 (?1, 2) , 所以 cos ? ?

??

5 , 5

所以 cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 2(?
2

5 2 3 ) ? 1 ? ? . 故选 B. 5 5
5 ,再利用二倍角的余弦即 5

【思路点拨】利用任意角的三角函数的定义可求得 cos a = 可求得答案.

C2 式

同角三角函数的基本关系式与诱导公

【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 7.已知 cos(

5? 3 ? ? ? ) ? , ? ? ? ? 0 ,则 sin 2? 的值是 2 5 2 24 12 12 (A) (B) (C) ? 25 25 25

(D) ?

24 25

【知识点】诱导公式,二倍角公式 C2 C6 【答案】 【解析】 D 解析: 因为 cos(

5? ? 3 3 ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? , 所以 sin ? ? ? , 2 2 5 5 ? 4 24 又 ? ? ? ? 0 , cos ? ? ,? sin ? 2? ? ? 2sin ? cos ? ? ? ,故选 D. 2 5 25

5? 3 3 4 ? ? ) ? ? sin ? ? ,得 sin ? ? ? , cos ? ? ,再根据二倍角公 2 5 5 5 24 式即可求得 sin 2? ? ? . 25
【思路点拨】由 cos(

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】15、已知 sin ? ,cos ? 是 关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 0 的两个根,则 sin 3 ? ? cos3 ? = 【知识点】同角三角函数基本关系式 韦达定理 C2 .

【答案】 【解析】 2 ? 2 .解析:由韦达定理可得: ?
2

?sin ? ? cos ? ? a ,根据同角三角函数 ?sin ? .cos ? ? a

2 ? cos ?? 1 ? 2 a ,即 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 基本关系式可得: ? sin ? ? cos? ? ? a ? 1? 2 sin

解 得 a ? 1? 2

, 又 因 为 s i? n ?

?c? o s , 所 2以 a ? 1 ? 2 , 而
c o s

s i3 ? n?

3 ? c ?o? s ? ?

s? ? i? n

2 2 ?? c o? s ? ?s i n ??? a ?s i a n? , c o ? ? 所s 以

sin3 ? ? cos3 ? ? 2 ? 2 ,故答案为 2 ? 2 .
【思路点拨】由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,再根据

sin ? ? cos ? ? 2 ,确定 a 值,代入
sin 3 ? ? cos3 ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? a ? ?1 ? a ? 即可求得.

C3

三角函数的图象与性质

【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】17.(本小题满分 10 分) 若函数 f ( x) ? sin2 ax? sinax cosax (a? 0) 的图象与直线 y ? m 相切, 并且切点的横坐标 依次成公差为

? 的等差数列。 2

(Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若点 A( x0, y 0) 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ?[0, ] ,求点 A 的坐标。

?

2

【知识点】三角函数的图像与性质 等差数列 C3 D2 【答案】【解析】(Ⅰ ) m ?
1? 2 1? 2 3 1 7 1 或m? ; (Ⅱ ) ( ? , ) 或 ( ? , ) 2 2 16 2 16 2

解析:(Ⅰ ) f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cos ax ?

1 ? cos 2ax 1 2 ? 1 ? sin 2ax ? ? sin(2ax ? ) ? ? 2 2 2 4 2 1? 2 1? 2 或m? . 2 2

由题意知, m 为 f ( x) 的最大值或最小值,所以 m ? (Ⅱ )由题设知,函数 f ( x) 的周期为 ∴ f ( x) ? ?
x?

? ,∴ a ? 2 2

2 ? 1 ? ? sin(4 x ? ) ? .令 sin(4 x ? ) ? 0 ,得 4 x ? ? k? (k ? Z ) ,∴ 4 4 2 4 2

k? ? ? (k ? Z ) , 4 16 k? ? ? 3 1 7 1 ? ? (k ? Z ) ,得 k ? 1 或 k ? 2 ,因此点 A 的坐标为 ( ? , ) 或 ( ? , ) . 4 16 2 16 2 16 2

由0?

【思路点拨】解决与三角函数相关的问题,通常先把函数化成一个角的三角函数,再进行解 答.

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】18、在 ?ABC 中,角 A ,

B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)

? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )

其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

2? A ? (0, ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 可 得

3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 ,

? 1 ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化 一 得 sin( B ? ) ? 即 可 得 角 B 的 值 ; 由 正 弦 定 理 可 得 6 2

2a ? c ? 5 sinA ?

2a + c 的范围. 3 cos A ? 2 7 sin( A? ? 再根据正弦函数的范围求得 )

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】16.(本小 题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)设 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.C3 C7 【答案】 【解析】 (Ⅰ) [k? ?

5? 11? (Ⅱ) 3 , k? ? ](k ? Z ) ; 12 12 解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ??6 分 , k? ? ](k ? Z ) . 12 12
(Ⅱ) 0 ? x ?

?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 , ,? 2 3 3

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 . ?????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)利用三角恒等变换,将函数 f ? x ? 整理,即可求得函数 f(x)的单调递 减区间; (Ⅱ)依题意,即可求得 a 的值,继而可得 f ? x ? 的最大值.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考( 201412 ) 】4.“ a ? 1 ”是“函数

y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【知识点】三角函数的周期性及其求法;必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 C3 【答案】 【解析】A 解析:函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax ? cos 2ax ,它的周期是

2? ?? , | 2a |

a ? ?1 ;显然“ a ? 1 ”可得“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”
后者推不出前者,故选 A. 【思路点拨】化简 y ? cos2 ax ? sin 2 ax ,利用最小正周期为 ? ,求出 a ,即可判断选项.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】17.(本小题满分

10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? (I)求 sin 2
A?C ? cos 2 B 的值; 2 1 ac .. 2

(II)若 b ? 2,求?ABC 面积的最大值.
【知识点】三角函数的性质 解三角形 C3 C8 【答案】【解析】 (I) ?

1 15 ;(II) 4 3

2 2 2 解析: ( I ) 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 知 , a ? c ? b ? 2ac cos B , 由 题 意 知

a 2 ? c2 ? b2 ?


1 1 ac ,∴ cos B ? ;又在△ABC 中 A+B+C=π , 4 2

A?C ? ?B B 1 ? cos B 1 ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? 2 2 2 2 4 1 8 1 2 2 ( II )∵ b=2 ,∴由 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 可得 a ? c ? 4 ? ac ? 2ac ? 4 ,∴ ac ? ,∵ 2 3 2 sin 2 cos B ? 1 1 1 8 15 15 15 ,∴ sin B ? , ∴ S?ABC ? ac sin B ? ? ? ,∴△ABC 面 ? 4 2 2 3 4 3 4

积的最大值为

15 . 3

【思路点拨】 熟悉余弦定理特征是求角 B 的关键,当已知三角形内角时注意利用 含夹角的面积公式进行解答.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】(18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 . (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 ; ,求 2a + c 的取值范围.

【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)

? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

2? A ? (0, ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 可 得

3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 ,

? 1 ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化 一 得 sin( B ? ) ? 即 可 得 角 B 的 值 ; 由 正 弦 定 理 可 得 6 2

2a ? c ? 5 sinA ?

2a + c 的范围. 3 cos A ? 2 7 sin( A? ? ,再根据正弦函数的范围求得 )

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最小值和最大值. 【知识点】三角函数性质 C3 【答案】 【解析】 (1) π (2)最大值为 2 ,最小值为 ?1 解析: (1) f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (5 分) (2)解法一 因为 f ( x) ? 为减函数, 又 f( )?0, f(

π 3π 8 4

π 2 sin(2 x ? ) . (3 分) 4

π π 3π 3π 3π 2 sin(2 x ? ) 在区间 [ , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上 4 8 8 8 4

π 8

3π 3π 3π π π ) ? 2 , f ( ) ? 2 sin( ? ) ? ? 2 cos ? ?1 , (11 分) 8 4 2 4 4

故函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . (12 分) 解法二 作函数 f ( x) ?

π 3π 8 4

π π 9π 2 sin(2 x ? ) 在长度为一个周期的区间 [ , ] 上的图象如图: 4 8 4 π 3π 8 4 3π ) ? ?1 . (12 分) 4

(11 分) 由图象得函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 f (

【思路点拨】根据三角函数在给定区间上的单调性,即可得到最大值与最小值.

【数学文卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考 (201412) 】 11. 函数 y ? sin 2 x 的图象中相邻两条对称轴的距离为_____________________. 【知识点】三角函数性质 C3

【答案】 【解析】

? 2? 解析: 相邻对称轴间的距离为半个周期, 此函数的周期为 T= =? . 2 2

【思路点拨】相邻对称轴间的距离为半个周期,只需求周期即可.

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】16.(本小 题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)当 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.C3 C7 【答案】 【解析】 (Ⅰ) [k? ?

5? 11? (Ⅱ) 3 , k? ? ](k ? Z ) ; 12 12 解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ??6 分 , k? ? ](k ? Z ) . 12 12
(Ⅱ) 0 ? x ?

?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 , ,? 2 3 3

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 . ?????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)利用三角恒等变换,将函数 f ? x ? 整理,即可求得函数 f(x)的单调递 减区间; (Ⅱ)依题意,即可求得 a 的值,继而可得 f ? x ? 的最大值.

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】16、 (本小题满分 12 分) 设 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(2)试用“五点法”画出函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? 11? ? 的简图,并指出该函数的图象可由 , ? 12 12 ? ?

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若 x ? ? ?

? ? ?? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值 ? 6 3? ?

并指出 x 取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

【知识点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;平面向量数量积的运算;两角和与差的 正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.C3 F2 C5 【答案】 【解析】(1) p ;(2)见解析;(3)

7 . 2

解析: (1) f ( x) ? a b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

2? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? , ∴ T ? ? ? . ????????????(3 分) 6 2 ?
(2)

? ? 1 得到 y ? sin( x ? ) ,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原的 变为 6 2 6 ? 1 ? 1 y ? sin(2 x ? ) ,最后再向上平移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? .?????(8 分) 6 2 6 2 ? 1 (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m, 6 2
y ? sin x 向左平移

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
当 2x ?

?
6

=

?
2

即 x=

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . ????????????(12 分) 6 2

【思路点拨】 (1)先利用向量数量积的坐标运算写出函数 f ( x ) 的解析式,再利用二倍角公 式和两角和的正弦公式将函数化简为 y=Asin(ωx+φ) 的形式, 最后由周期公式即可得 f ( x ) 最小正周期; (2)由(1) f x = sin(2 x + ) +

( )

p 6

1 p ,利用五点法,即将 2 x + 看成整体取 2 6

正弦函数的五个关键点,通过列表、描点、连线画出函数图象,用图象变换的方法得此函数 图象,可以先向左平移,再横向伸缩,再向上平移的顺序进行; (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ?

?
6

)?

1 p ? m, ,求此函数的最值可先将 2 x + 看成整体, 2 6

求正弦函数的值域,最后利用函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,解方程可得 m 的值,进 而求出函数最大值。

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】17. (本题满分 15 分) 已知向量 a ? (2sin x, cos x), b ? ( 3 cos x, 2 cos x) . (1)若 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,且 a / / b ,求 2sin 2 x ? cos 2 x 的值;

(2)定 义函数 f ( x) ? a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递减区间;并求当 x ? [0, 数 f ( x) 的值域. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 (1)

? ?

?
2

] 时,函

2 (2) [?1, 2] 7
2

【解析】 (1)因为 a / / b ,所以 4sin x cos x ? 3 cos x ? 0 , 因为 x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以 cos x ? 0 ,即 tan x ?

3 , 4

所以 2sin x ? cos x ?
2 2

2 tan 2 x ? 1 2 ? . tan 2 x ? 1 7

(2) f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

),

3? ? 2? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 6 2 6 3 ? 2? 所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 6 3 ? ? ? 7? ? 1 因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 2 6 6 6 6 2
令 2 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

所以当 x ? [0,

?

2

] 时,函数 f ( x) 的值域 [?1, 2] .

【思路点拨】根据向量的关系求出结果三角函数性质求出值域。

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】11.设 f(x)是定义在

1 (??, ??) 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上单调递增,若 f ( ) ? 0 ,三角形的内角 A 2
满足 f(cosA)<0,则 A 的取值范围是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 ( .

? ?

2? , ) ? ( ,? ) 3 2 3

【解析】∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增.∵ f ( ) ? 0 ,∴ f (? ) ? 0 , 当 A 为锐角时,cosA>0,∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f( 0<cosA<

1 2

1 2

1 ? ? , <A< 2 3 2

1 ) , 2

当 A 为直角时,cosA=0,而奇函数满足 f(0)=0,∴A 为直角不成立. 当 A 为钝角时,cosA<0,

∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f(-

2? ? ? 2? ,? ) <A<π,综上,A 的取值范围为 ( , ) ? ( 3 3 2 3

1 1 )<cosA<- , 2 2

【思路点拨】根据函数在 R 上的奇偶性和在区间(0,+∞)上的单调性可以判断 f(x)在 区间(-∞,0)的单调性再分角 A 是锐角,直角还是钝角三种情况讨论,cosA 的正负,利 用 f(x)的单调性解不等式

C4

函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象与性质
?
2

【 数 学 理 卷 · 2015 届 河 南 省 洛 阳 市 高 三 第 一 次 统 一 考 试 ( 201412 ) 】 15 . 将 函 数

y ? sin(

x)sin(

?
2

x?

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则正数 ? 3
C4

的最小值为________. 【知识点】 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. 【答案】 【解析】 1 解析:函数

y ? sin(

?
2

x)sin(

?
2

x?

?
3

) = sin(

?

?1 ? 3 ? ? x) ? sin( x) ? cos( x) ? ? 2 ?2 2 2 2 ? ?

=

1 ? 1 ? 1 2 ? 3 ? ? sin ( x) ? sin( x) cos( x) = sin(? x ? ) ? ,向右平移 个单位后为: 2 6 4 3 2 2 2 2 2

1 ? ? 1 1 ? ? ?? ? ?? 1 y ? sin[? ( x ? ) ? ] ? ? sin ?? x ? ? ? ?? ? ,这时图像关于 y 轴对称,所 2 3 6 4 2 ? 3 6 ?? 4 ?


??
3

?

?
6

? k? ?

?
2

? ? ? 3k ? 1 , k ? Z ,所以正数 ? 的最小值为 1.

【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数,二倍角公式,把已知函数化为: y=

1 ? 1 sin(? x ? ) ? ,再由其平移后关于 y 轴对称得 ? ? 3k ? 1 ,k ? Z ,所以正数 ? 的最 2 6 4

小值为 1.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】7.设函数 ,则 A. 在 单调递增 B. 在 单调递减

C. 在 单调递增 D. 在 单调递增 【知识点】两角和与差的三角函数;函数的周期性;奇偶性;单调性. C5 C4 【答案】 【解析】D 解析: f ( x) ?

2 cos(? x ? ? ? ) ,因为 T ? ? ,所以 ? ? 2 ,又因 4

?

为 f (? x) ? f ( x), ? ? 调递增,故选 D.

?
2

,所以 ? ?

?
4

,所以 f ( x) ? 2 cos 2 x ,经检验





【思路点拨】根据已知条件求得函数 f ( x) ? 2 cos 2 x ,然后逐项检验各选项的正误.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】7.为得到

函数 y=sin(x+ )的图象,可将函数.Y=sin x 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右 平移 n 个单位长度(m,n 均为正数),则 Im-nI 的最小值是 A B c. D.

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】B 【解析】由条件可得 m=2k1π+ |, 易知(k1-k2)=1 时,|m-n|min=

? 5? 4? ,n=2k2π+ (k1、k2∈N),则|m-n|=|2(k1-k2)π3 3 3
2? . 3

【思路点拨】 依题意得 m=2k1π+ π-

4? |,从而可求得|m-n|的最小值. 3

? 5? , n=2k2π+ (k1、 k2∈N) , 于是有|m-n|=|2 (k1-k2) 3 3

【数学理卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】4. 下列四个函数 中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin ?

?
12

对称的是(

) C. y ? sin ? 2 x ?

?x ?? ? ? ?2 3?

B. y ? sin ?

?x ?? ? ? ?2 3?

? ?

??
? 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
C4

【知识点】三角函数的图像以及性质

【答案】 【解析】 C 解析:因为最小正周期为 ? , 所以排除 A , B ,当 x ?

?
12

时, C 项中

2x ?

?
3

? 2?

?
12

?

?
3

?

?
2

,可得直线 x ?

?
12

是其对称轴,故选择C.

【思路点拨】根据 y ? Asin ??x ? ? ? 的周期为 T ? 行判断即可.

2?

?

,对称轴为 ? x ? ? ?

?
2

? k? ,进

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】5.设 g ? x ? 的图象是将函数 f ? x ? ? cos 2 x 向左平移 A.1 B. ?

? ?? ? 个单位得到的,则 g ? ? 等于 3 ?6?

1 2

C.0

D. ?1

【知识点】函数的值;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.B1 C4 【答案】 【解析】D 解 析 : 由 f ( x ) ? cos 2 x 向 左 平 移

g ( x ) ? cos 2( x ?

?

) ,则 g ( ) ? cos 2( ? ) ? cos ? ? ?1 .故选 D. 3 6 6 3 p 代入即可得 6

?

?

?

? 个单位得到的是 3

【思路点拨】根据函数图象的平移首先得到函数 g ? x ? 的解析式,然后直接把 到答案.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( 的最高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? ( ? ? ?0,2? ?)的终边上,求 sin( 【知识点】函数 y = Asin wx +j

?
6

x?

?
3

) (0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? f ( x) 图像上

?
2

? 2 ? ) 的值.

(

) 的图象变换;平面向量数量积的运算.C4 F3

【答案】 【解析】 (1)-2; (2) 解析: (1)∵ 0 #x

7 2 10
7p , 6

5 ,∴

p p p ? x 3 6 3

p p 1 x ) . 6 3 2 p p p 当 x + = ,即 x = 0 时,f(x)取得最大值 1, 6 3 3 p p 当 x + = p ,即 x = 4 时,f(x)取得最小值﹣2. 6 3
∴ - 1 ? cos( 因此,所求的坐标为 A(0,1) ,B(4,﹣2) . 则 OA = 0,1 , OB = 4, - 2 . ∴ OA?OB

( )

(

)

0- 2 =-2.

(2)∵点 A(0,1) 、B(4,﹣2)分别在角 α、β(α、β∈[0,2π])的终边上,

则a =

p 5 2 5 , sin b = , cos b = , 2 5 5

则 sin2β=2sinβcosβ= 2? 琪

骣 5 2 5 琪 5 ? 5 桫
2

-

4 , 5

骣 2 5 cos2β=2cos β﹣1= 2? 琪 琪5 桫
2

3 1= . 5

∴ sin(

骣 a p p p - 2b ) = sin 琪 琪 - 2 b = sin cos 2 b - cos sin 2 b 2 4 4 4 桫

=

2 2骣 3 4 7 2 . 琪 cos 2b - sin 2 b ) = ( 琪+ = 2 2 桫 5 5 10
p p x + 的范围,得到 f(x)的最大值和最小值,从而求 6 3

【思路点拨】 (1)由 x 的范围求出

出 A,B 的坐标,则 OA×OB 的值可求; (2)由点 A、B 分别在角 α、β(α、β∈[0,2π])的 终边上求出角 α 的值和角 β 的正余弦值,由倍角公式求得 2β 的正余弦值,展开两角差的正 弦公式求得 sin(

a - 2 b ) 的值. 2

【数学理卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考 (201412) 】 14.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原的 2 6


倍(纵坐标不变) ,得到图象的函数表达式为 【知识点】函数 y = Asin wx +j

(

) 的图象变换.C4

【答案】 【解析】 y ? sin( 左平移

? 个单位长度,可得 y=sin(x+ 6

1 ? x? ) 2 6

解析:把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向 )的图象; )的

再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,可得 y=sin( x+ 图象; 故得到的图象所表示的函数解析式为 y ? sin( 故答案为: y ? sin(

1 ? x? ). 2 6

1 ? x? ), 2 6

【思路点拨】由条件根据函数 y = Asin wx +j

(

) 的图象变换规律,可得结论.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】5.要得到函 数 y=sin( ? -2x)的图象,可以将函数 y=sin(2xA.向左平移

? ? 个单位 B.向左平移 个单位 3 6 ? ? C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6
【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】B 【解析】由 y=sin( ? -2x)=sin2x, y=sin(2x-

? )的图象 3

? ? ? ? )向左平移 个单位为 y=sin2(x- + )=sin2x 3 6 6 6

【思路点拨】根据三角函数平移的性质求出结果。

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】8.为得到

函数 y=sin(x+ )的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 M 个单位长度,或向右平移以 个单位长度(m,n 均为正数),则 的最小值是

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】B 【解析】由条件可得 m=2k1π+ |,

? 5? 4? ,n=2k2π+ (k1、k2∈N),则|m-n|=|2(k1-k2)π3 3 3

易知(k1-k2)=1 时,|m-n|min=

2? . 3

【思路点拨】 依题意得 m=2k1π+ π-

4? |,从而可求得|m-n|的最小值. 3

? 5? , n=2k2π+ (k1、 k2∈N) , 于是有|m-n|=|2 (k1-k2) 3 3

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】4.已知函 数 f ? x ? ? sin ? x ? x ? R, ? ? 0? 的最小正周期为 ? , 为了得到函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? 图象,只要将 y ? f ? x ? 的图象 A.向左平移

? ?

??

?的 4?

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

B.向右平移

? 个单位长度 8 ? 个单位长度 4

C.向左平移

D.向右平移

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。C4 【答案】 【解析】C C. 【思路点拨】由已知中已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? x ? R, ? ? 0? 的最小正周期为 ? ,我们易 得到函数 f(x) 、g(x)的解析式,根据函数图象平移变换的法则,我们可以求出平移量, 进而得到答案. 解析:由题意知 ? =2 , g ( x) ? sin(2 x ?

? ? ) ? sin[2( x ? )] ,故选 4 8

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】5.要得到函 数 y=sin( ? -2x)的图象,可以将函数 y=sin(2xA.向左平移

? ? 个单位 B.向左平移 个单位 3 6 ? ? C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 6
【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】B

? )的图象 3

【解析】由 y=sin( ? -2x)=sin2x, y=sin(2x-

? ? ? ? )向左平移 个单位为 y=sin2(x- + )=sin2x 3 6 6 6

【思路点拨】根据三角函数平移的性质求出结果。

【数学卷· 2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试 (201411) 】 10. 设函数 f ( x) ? cos ? x (? ? 0 ) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 则 ? 的最小值等于 .

?
3

个单位长度后,所得的图像与原图像重合,

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】6 【解析】由题意得

?
3

?

2?

?

.k,解得 ? =6k, 则 ? 最小值等于 6

【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了

? 是此函数周期的整数倍。 3

? 3

C5

两角和与差的正弦、余弦、正切

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】17. (本小 题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 (1)求角 A 的大小; (2)若 的周长的取值范围,

【知识点】 正弦定理; 两角和与差的三角函数; 已知角的范围求三角函数值的范围. C5 C7 C8 【答案】 【解析】 (1)A= ∴ sin A cos C ?

? 2? 1 3 ? ? 1? . 解析:(1)∵ a cos c ? c ? b, ; (2) ? 2, ? 3 2 ? 2 ?

1 sin C ? sin B 2

1 sinC=-cosAsinC, 2 1 2? ∵sinC≠0,∴cosA= - ,∵A∈(0,π ) ,∴A= ;----4 分 2 3
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴

(2)由正弦定理得 b ?

sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C , sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin( A ? B) ? 3 3

=1 ?

? 2 ?1 3 2 ? sin B ? cos B ? 1? sin( B ? ) .-----8 分 ? ? ? ? 2 3 3?2 3 ? 2? ? ? 3 ? ? ?? ,? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ? ,1? , 3 3 ? ? 3? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? 1? 2 ?
--------12 分

∵A?

故△ABC 的周长的取值范围为 ? 2,

【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式,再利用两角和与差的三角函数转化从而求得结 论; (2)由(1)得 b ?

2 2 ? sin B, c ? sin( ? B) ,代入 a+b+c 的周长关于角 B 的函数 3 3 3

1?

2 ? ? ?? sin( B ? ) , B ? ? 0, ? ,由此得周长的取值范围. 3 3 ? 3?

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】7.设函数 ,则 A. 在 单调递增 B. 在 单调递减

C. 在 单调递增 D. 在 单调递增 【知识点】两角和与差的三角函数;函数的周期性;奇偶性;单调性. C5 C4 【答案】 【解析】D 解析: f ( x) ?

2 cos(? x ? ? ? ) ,因为 T ? ? ,所以 ? ? 2 ,又因 4

?

为 f (? x) ? f ( x), ? ? 调递增,故选 D.

?
2

,所以 ? ?

?
4

,所以 f ( x) ? 2 cos 2 x ,经检验





【思路点拨】根据已知条件求得函数 f ( x) ? 2 cos 2 x ,然后逐项检验各选项的正误.

【数学理卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】16.(本题满分 12

分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 2sin (Ⅰ) 求 A 的度数; (Ⅱ) 若 a ? 7 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC . 【知识点】余弦定理 C5 【答案】(Ⅰ) A ?
2

?B ? C? ?

3 sin 2 A .

?
3

;(Ⅱ) 10 3 .
2

【解析】解析:(Ⅰ) 因为 2sin

?B ?C? ?

3 sin 2 A , B ? C ? ? ? A ,
?2 分

所以 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

???????????????

又 sin A ? 0 ,所以 sin A ? 3 cos A 所以 tan A ? 3 , ???????????..?4 分 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

.

???????????????????????6 分

( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , 由余弦定理可得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,???????????8 分 即

49 ? 25 ? c2 ? 5c

,





c?8



c ? ?3

(



去) ????????????..????10 分 所以 S?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 ????????????????12 分 2 2 2

【思路点拨】 对已知式子化简可得 sin A ? 3 cos A , 即得到 A ? 或 c ? ?3 (舍去),进而的三角形面积.

?
3

; 由余弦定理可得 c ? 8

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】16、 (本小题满分 12 分) 设 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)试用“五点法”画出函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? 11? ? 的简图,并指出该函数的图象可由 , ? 12 12 ? ?

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若 x ? ? ?

? ? ?? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值 ? 6 3? ?

并指出 x 取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

【知识点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;平面向量数量积的运算;两角和与差的 正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.C3 F2 C5 【答案】 【解析】(1) p ;(2)见解析;(3)

7 . 2

解析: (1) f ( x) ? a b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

2? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? , ∴ T ? ? ? . ????????????(3 分) 6 2 ?
(2)

? ? 1 得到 y ? sin( x ? ) ,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原的 变为 6 2 6 ? 1 ? 1 y ? sin(2 x ? ) ,最后再向上平移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? .?????(8 分) 6 2 6 2
y ? sin x 向左平移

(3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ?

?
6

)?

1 ? m, 2

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
当 2x ?

?
6

=

?
2

即 x=

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . ????????????(12 分) 6 2

【思路点拨】 (1)先利用向量数量积的坐标运算写出函数 f ( x ) 的解析式,再利用二倍角公 式和两角和的正弦公式将函数化简为 y=Asin(ωx+φ) 的形式, 最后由周期公式即可得 f ( x ) 最小正周期; (2)由(1) f x = sin(2 x + ) +

( )

p 6

1 p ,利用五点法,即将 2 x + 看成整体取 2 6

正弦函数的五个关键点,通过列表、描点、连线画出函数图象,用图象变换的方法得此函数 图象,可以先向左平移,再横向伸缩,再向上平移的顺序进行; (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ?

?
6

)?

1 p ? m, ,求此函数的最值可先将 2 x + 看成整体, 2 6

求正弦函数的值域,最后利用函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,解方程可得 m 的值,进 而求出函数最大值。

C6

二倍角公式

【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 7.已知 cos(

5? 3 ? ? ? ) ? , ? ? ? ? 0 ,则 sin 2? 的值是 2 5 2 24 12 12 (A) (B) (C) ? 25 25 25

(D) ?

24 25

【知识点】诱导公式,二倍角公式 C2 C6

5? ? 3 3 ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? ? , 所以 sin ? ? ? , 2 2 5 5 ? 4 24 又 ? ? ? ? 0 , cos ? ? ,? sin ? 2? ? ? 2sin ? cos ? ? ? ,故选 D. 2 5 25 5? 3 3 4 ? ? ) ? ? sin ? ? ,得 sin ? ? ? , cos ? ? ,再根据二倍角公 【思路点拨】由 cos( 2 5 5 5
【答案】 【解析】 D 解析: 因为 cos(

式即可求得 sin 2? ? ?

24 . 25

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】15、已知 sin ? ,cos ? 是 关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 0 的两个根,则

1 + cos 2a - sin 2a 1- sin 2a - cos 2a + = 1- sin 2a - cos 2a 1 + cos 2a - sin 2a



【知识点】二倍角公式 同角三角函数基本关系式 韦达定理 C6 C2 【答案】 【解析】 2 ? 1 解析:根据二倍角公式

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? ,1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ,可将已知式子化简为:
2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 1 ,由 ? ?? ? ?? 2 2 2sin ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? ? 2sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? cos ? ?sin ? ? cos ? ? a 韦达定理可得: ? ,根据同角三角函数基本关系式可得: ?sin ? .cos ? ? a

? sin ? ? cos ? ?

2

? a 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2a ,即 a 2 ? 2a ?1 ?0 ,解得 a ? 1 ? 2 ,又

因为 sin ? ? cos ? ? 2 ,所以 a ? 1 ? 2 ,所以 ?

1 1 ? ? ? 2 ? 1 ,故答案为 sin ? cos ? a

2 ?1.
2 【思路点拨】由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,再根据

sin? ? cos ??
即可求得.

2, 确定 a 值, 利用二倍角公式将已知式子降角升幂化简为 ?

1 , sin ? cos ?

C7

三角函数的求值、化简与证明

【数学理卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考( 201412 ) 】 3 、已知 ? ? ?0, ? ? ,

cos(? ?

?
3

)??

2 ,则 2





A.

B.



C.

D.

【知识点】三角函数的求值 C7 【答案】【解析】C 解析:因为 cos(? ?

?
3

)??

? 3? ? 5? 5? 11? 2 或 ,所以 ? ? ? 或? ? ? ,得 ? = ,则 2 3 4 3 4 12 12

tan 2 ? ? ?

3 ,所以选 C. 3

【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】3.已知 ? 为第二象限 角, sin? ,cos? 是关于 x 的方程 2x 2 +( 3-1)x+m=0(m ? R) 的两根,则 sin? -cos? 的等于 A.

1? 3 2

B.

1? 3 2

C.

3

D. ? 3

【知识点】已知三角函数式的值,求另一个三角函数式的值. C7 解析:由已知得 sin ? ? cos ? ?

【答案】 【解析】A

3 1? 3 ? 2sin ? cos ? ? ? 2 2
2

又 ? 为第二象限角, 所以 sin? -cos? =

? sin ? ? cos? ?

? 1? 3 ? ? 4sin ? cos? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ?

2

=

1? 3 ,故选 A. 2 3 1? 3 , 又 ? 为第二象限角, ? 2sin ? cos ? ? ? 2 2
2

【思路点拨】 由已知得 sin ? ? cos ? ?

所以 sin? -cos? =

? sin ? ? cos? ?

2

? 1? 3 ? 1? 3 = . ? 4sin ? cos? ? ? ? 3 ? ? 2 ? 2 ? ?

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】17. (本小 题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 (1)求角 A 的大小;

(2)若

的周长的取值范围,

【知识点】 正弦定理; 两角和与差的三角函数; 已知角的范围求三角函数值的范围. C5 C7 C8 【答案】 【解析】 (1)A= ∴ sin A cos C ?

? 2? 1 3 ? ; (2) ? 2, ? 1? . 解析:(1)∵ a cos c ? c ? b, ? 3 2 ? 2 ?

1 sin C ? sin B 2

1 sinC=-cosAsinC, 2 1 2? ∵sinC≠0,∴cosA= - ,∵A∈(0,π ) ,∴A= ;----4 分 2 3
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴ (2)由正弦定理得 b ?

sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C , sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin( A ? B) ? 3 3

=1 ?

? 2 ?1 3 2 ? sin B ? cos B ? 1? sin( B ? ) .-----8 分 ? ? ? ? 2 3 3?2 3 ? 2? ? ? 3 ? ? ?? ,? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ? ,1? , 3 3 ? ? 3? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? 1? 2 ?
--------12 分

∵A?

故△ABC 的周长的取值范围为 ? 2,

【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式,再利用两角和与差的三角函数转化从而求得结 论; (2)由(1)得 b ?

2 2 ? sin B, c ? sin( ? B) ,代入 a+b+c 的周长关于角 B 的函数 3 3 3

1?

2 ? ? ?? sin( B ? ) , B ? ? 0, ? ,由此得周长的取值范围. 3 3 ? 3?

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】16.(本小 题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间;

(II)设 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.C3 C7 【答案】 【解析】 (Ⅰ) [k? ?

5? 11? (Ⅱ) 3 , k? ? ](k ? Z ) ; 12 12 解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ??6 分 , k? ? ](k ? Z ) . 12 12
(Ⅱ) 0 ? x ?

?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 , ,? 2 3 3

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 . ?????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)利用三角恒等变换,将函数 f ? x ? 整理,即可求得函数 f(x)的单调递 减区间; (Ⅱ)依题意,即可求得 a 的值,继而可得 f ? x ? 的最大值.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】3.已知 ? ? ?0, ? ? ,

cos(? ?

?
3

)??

2 ,则 2

( 或

) C. D.

A.

B.

【知识点】三角函数的求值 C7 【答案】【解析】C 解析:因为 cos(? ?

?
3

)??

? 3? ? 5? 5? 11? 2 或 ,所以 ? ? ? 或? ? ? ,得 ? = ,则 2 3 4 3 4 12 12

tan 2 ? ? ?

3 ,所以选 C. 3

【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】16.(本小 题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)当 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.C3 C7 【答案】 【解析】 (Ⅰ) [k? ?

5? 11? (Ⅱ) 3 , k? ? ](k ? Z ) ; 12 12 解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ??6 分 , k? ? ](k ? Z ) . 12 12
(Ⅱ) 0 ? x ?

?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 , ,? 2 3 3

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 . ?????12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)利用三角恒等变换,将函数 f ? x ? 整理,即可求得函数 f(x)的单调递 减区间; (Ⅱ)依题意,即可求得 a 的值,继而可得 f ? x ? 的最大值.

C8

解三角形
1 .则边 4

【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 13.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 c ? 2a , b ? 4 , cos B ?

c 的长度为__________.
【知识点】余弦定理 C8

6 ? a 2?4 a 2?4 a 2? 【答案】 【解析】 4 解析: 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 得1
? a ? 2, c ? 4 .
【思路点拨】由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 可求 a 2 ? 4 .

1 , 4

【数学理卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考( 201412 ) 】 16 、在 ?ABC 中,

1 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O是?ABC 5











OP ? xOA ? yOB
.



其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
【知识点】向量的运算 解三角形 C8 F1 【答案】【解析】

10 6 3

解析:若 OP ? xOA ? yOB , 其中0 ?

x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻
1 ,由余弦定理可解 5

边的平行四边形 ADBO 的内部(含边界) ,又 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? 得 AB=5,又 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 6 1 2 6 ,所以 S?ABC ? ? 6 ? 5 ? ? 6 6 ,设三角形 5 2 5

内切圆半径为 r,则有

1 2 6 ,所以动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 r ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 6 6, r ? 2 3

1 2 6 10 6 ? AB ? r ? 2 ? 5 ? ? 2 3 3

. 【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键,由向量的加法可知满足

OP ? xOA ? yOB , 其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻边的平行四
边形 ADBO 的内部(含边界) ,再求面积即可.

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】18、在 ?ABC 中,角 A ,

B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)

? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

2? A ? (0, ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 可 得

3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 ,

? 1 ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化 一 得 sin( B ? ) ? 即 可 得 角 B 的 值 ; 由 正 弦 定 理 可 得 6 2

2a ? c ? 5 sinA ?

2a + c 的范围. 3 cos A ? 2 7 sin( A? ? 再根据正弦函数的范围求得 )

【数学理卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 12、 在△ABC 中,A ?

?
6



D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等 于 .

【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 , D ?A C 即B ?B A? ? ,又因为 D 在 BC 上, ? ? ? 所以 BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 6 ? ? ,故 ?B ?
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
答案为

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

5? . 12

2

12

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,可得

2

2

?

??

? ?

?

BC ? AB ? AC ,即 AB ? AC ,三角形为等腰三角形,可求得.

?

?

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】11、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位: :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示, 且 A、 B、 C、 D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km ) km .

【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和
2 2 2 2 ADC 中, 由余弦定理可得:8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos ?? ? D? ? 3 ? 5 ? 2 ? 3? 5 ? cos D ,

cos D ? ?

1 ? 1? 2 2 2 ,代入可得 AC ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 49 ,故答案为 7. 2 ? 2?
1 ,代入余弦定理可得. 2

【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得

cos D ? ?

【数学理卷· 2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试 (201412) 】 18. (本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中, ?ABC ? 90 ,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AD 上. (l)若点 D 是 CB 的中点, ?CED ? 30 , DE ? 1, CE ? 3 ,求△ACE 的面积;

(2)若 AE ? 2CD, ?CAE ? 15 , ?CED ? 45 ,求 ? DAB 的余弦值.

【知识点】余弦定理;正弦定理.

C8

【答案】 【解析】 (1)

3 ; (2) 3 ? 1 . 4
2 2

解析: (1)在△CDE 中,CD= CE ? ED ? 2CE ? ED ? cos ?CED = 3 ? 1 ? 2 3 ?1 ? cos 30 ? 1 .-------2 分 ∴ △DEC 为等腰三角形,∠ADB=60°,AD=2,AE=1,----4 分

1 1 3 .----6 分 S?ACE = AE ? CE ? sin ?AEC ? ?1? 3 ? sin150 ? 2 2 4
(2)设 CD=a,在△ACE 中, ∴ CE ?

CE AE ? sin ?CAE sin ?ACE

2a sin15 ? sin 30

?

6 ? 2 a .------8 分

?

在△CED 中,

CD CE CE sin ?CED ? ? sin ?CDE ? ? 3 ? 1 .---10 分 sin ?CED sin ?CDE CD

cos ?DAB ? cos(?CDE ? 90 ) ? sin ?CDE ? 3 ?1 .----12 分
【思路点拨】 (1)在△CDE 中,由余弦定理得 CD=1,∴ △DEC 为等腰三角形, ∴∠ADB=60°, AD=2, AE=1, ∴ S?A C E =

1 1 3 ; AE ? CE ? sin ?AEC ? ?1? 3 ? sin150 ? 2 2 4

(2)设 CD=a,在△ACE 中,由正弦定理得 CE ?

?

6 ? 2 a ,在△CED 中,由正弦定理

?

得 sin ?CDE ? 3 ?1 ,∴ cos ?DAB ? cos(?CDE ? 90 ) ? sin ?CDE ? 3 ?1 .

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】16. 在△ABC 中, 角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b=l,a= 2c,则当 C 取最大值时,△ABC 的面积为________. 【知识点】余弦定理;三角形的面积公式. C8

【答案】 【解析】

3 6

解析:当 C 取最大值时,cosC 最小,由

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 ? 1 1 ? 1? 3 得,当且仅当 c= ? ? ? 3c ? ? ? 2ab 4c 4? c? 2

3 时 C 最大,且此时 3

sinC=

1 1 1 1 3 ,所以△ABC 的面积为 ab sin C ? ? 2c ?1? ? . 2 2 2 2 6

【思路点拨】由余弦定理求得 C 最大的条件,再由三角形面积公式求解.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】17. (本小 题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 (1)求角 A 的大小; (2)若 的周长的取值范围,

【知识点】 正弦定理; 两角和与差的三角函数; 已知角的范围求三角函数值的范围. C5 C7 C8 【答案】 【解析】 (1)A= ∴ sin A cos C ?

? 2? 1 3 ? ; (2) ? 2, . 解析:(1)∵ a cos c ? c ? b, ? 1 ? ? 2 3 2 ? ?

1 sin C ? sin B 2

1 sinC=-cosAsinC, 2 1 2? ∵sinC≠0,∴cosA= - ,∵A∈(0,π ) ,∴A= ;----4 分 2 3
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴ (2)由正弦定理得 b ?

sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C , sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin( A ? B) ? 3 3

=1 ?

? 2 ?1 3 2 ? sin B ? cos B ? 1? sin( B ? ) .-----8 分 ? ? ? ? 2 3 3?2 3 ? 2? ? ? 3 ? ? ?? ,? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ? ,1? , 3 3 ? 2 ? 3? ? ? ? ? ? 3 ? ? 1? 2 ?
--------12 分

∵A?

故△ABC 的周长的取值范围为 ? 2,

【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式,再利用两角和与差的三角函数转化从而求得结 论; (2)由(1)得 b ?

2 2 ? sin B, c ? sin( ? B) ,代入 a+b+c 的周长关于角 B 的函数 3 3 3

1?

2 ? ? ?? sin( B ? ) , B ? ? 0, ? ,由此得周长的取值范围. 3 3 ? 3?

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】17.(本小 题满分 12 分) 在 AABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3acos A=cosB+bcos C. (1)求 COS A 的值; (2)若 a=2 ,COS B+cosC= 【知识点】解三角形 C8 【答案】(1) ,求边 c.

1 (2)3 3 1 . 3

【解析】(1)由 3acos A=cosB+bcos C 及正弦定理得:3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC =sin(B-C), ? 3sinAcosA=sinA,A ? (0, ? ) ? sinA>0, cosA=

(2) cosB-cosC=

2 3 2 3 ,? cos( ? -A-C)+cosC= , 3 3



cosA=

1 2 2 ,? sinA= ,? cosC+ 2 sinC= 3 , 3 3



cos2 C ? sin 2 C ? 1 ,? sinC=

6 , 3

a c ? ,? c=3 sin A sin C
【思路点拨】根据正弦定理及三角形中角的关系求得。

【数学理卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 12.在 ?ABC
o 中, ?A ? 60 ,AB ? 2,且?ABC 的面积为

3 ,则 BC 的长为___________. 2

【知识点】余弦定理.C8 【答案】 【解析】 BC ? 3 解析:由 S ?

1 1 3 3 , ? AB ? AC sin 60 ? ? 2 ? AC ? 2 2 2 2

所以 AC ? 1 ,所以 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos 60 ? 3 ,所以 BC ? 3 . 【思路点拨】 本题主要考查了余弦定理的应用. 对于已知两边和一角求三角形第三边的问题 常用余弦定理来解决.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?ABC ? 900 , AB ? 3 , BC ? 1 , P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 90? . (1)若 PC ?

3 ,求 PA ; 2

(2)若 ?APB ? 1200 ,求 ?ABP 的面积 S .

【知识点】余弦定理的应用;正弦定理的应用.C8 【答案】 【解析】(1) PA =

7 3 3 ; (2) . 2 38

0 解析: (1)∵在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? 3 , BC ? 1 ,

∴sin∠PBC =

1 PC 3 ,可得∠PBC=60°,BP=BCcos60°= . = 2 BC 2

∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°, ∴△APB 中,由余弦定理 PA =PB +AB ﹣2PB?AB?cos∠PBA,
2 2 2 2

得 PA =

1 1 + 3 - 2创 4 2 7 (舍负) . 2

3?

3 2

7 , 4

解得 PA =

(2)设∠PBA=α,可得∠PBC=90°﹣α,∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α, 在 Rt△BPC 中,PB=BCcos∠PBC=cos(90°﹣α)=sinα,

△ABP 中,由正弦定理得

AB PB , = 0 sin150 sin 300 - a

(

)

∴sinα=2 3 sin(30°﹣α)=2 3 ( 化简得 4sinα= 3 cosα, ∴结合 α 是锐角,解得 sinα=

1 3 cosα﹣ sinα) , 2 2

57 , 19

∴PB=sinα=

57 , 19
1 3 3 AB?PB?sin∠PBA= . 2 38

∴△ABP 的面积 S=

【思路点拨】 (1) 在 Rt△BPC 中利用三角函数的定义, 算出 sin∠PBC= 从而 BP=BCcos60°=

3 , 可得∠PBC=60°, 2

1 .然后在△APB 中算出∠PBA=30°,利用余弦定理即可算出 PA 的大 2

小. (2)设∠PBA=α,从而算出 PB=sinα,∠PAB=30°﹣α.在△APB 中根据正弦定理建立 关于 α 的等式, 解出 sinα 的值, 得到 PB 长. 再利用三角形面积公式加以计算, 即可得出△ABP 的面积 S.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】17.(本小题满分

10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? (I)求 sin 2
A?C ? cos 2 B 的值; 2 1 ac .. 2

(II)若 b ? 2,求?ABC 面积的最大值.
【知识点】三角函数的性质 解三角形 C3 C8 【答案】【解析】 (I) ?

1 15 ;(II) 4 3

2 2 2 解析: ( I ) 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 知 , a ? c ? b ? 2ac cos B , 由 题 意 知

a 2 ? c2 ? b2 ?


1 1 ac ,∴ cos B ? ;又在△ABC 中 A+B+C=π , 4 2

A?C ? ?B B 1 ? cos B 1 ? cos 2 B ? sin 2 ? cos 2 B ? cos 2 ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? 2 2 2 2 4 1 8 1 2 2 ( II )∵ b=2 ,∴由 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 可得 a ? c ? 4 ? ac ? 2ac ? 4 ,∴ ac ? ,∵ 2 3 2 sin 2 cos B ? 1 1 1 8 15 15 15 ,∴ sin B ? , ∴ S?ABC ? ac sin B ? ? ? ,∴△ABC 面 ? 4 2 2 3 4 3 4

积的最大值为

15 . 3

【思路点拨】 熟悉余弦定理特征是求角 B 的关键,当已知三角形内角时注意利用 含夹角的面积公式进行解答.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】16.在 ?ABC 中,

1 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O是?ABC 5











OP ? xOA? yOB

其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
【知识点】向量的运算 解三角形 C8 F1 【答案】【解析】

.

10 6 3

解析:若 OP ? xOA ? yOB , 其中0 ?

x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻
1 ,由余弦定理可解 5

边的平行四边形 ADBO 的内部(含边界) ,又 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? 得 AB=5,又 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 6 1 2 6 ,所以 S?ABC ? ? 6 ? 5 ? ? 6 6 ,设三角形 5 2 5

内切圆半径为 r,则有

1 2 6 ,所以动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 r ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 6 6, r ? 2 3

1 2 6 10 6 ? AB ? r ? 2 ? 5 ? ? 2 3 3

. 【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键,由向量的加法可知满足

OP ? xOA ? yOB , 其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻边的平行

四边形 ADBO 的内部(含边界) ,再求面积即可.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】(18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 已 知 . (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 ; ,求 2a + c 的取值范围.

【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)

? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

2? A ? (0, ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 可 得

3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 ,

? 1 ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 , 化 一 得 sin( B ? ) ? 即 可 得 角 B 的 值 ; 由 正 弦 定 理 可 得 6 2

2a ? c ? 5 sinA ?

2a + c 的范围. 3 cos A ? 2 7 sin( A? ? ,再根据正弦函数的范围求得 )

【数学文卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 13、 在△ABC 中,A ?

?
6



D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等 于 .

【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 , D ?A C 即B ?B A? ? ,又因为 D 在 BC 上, ? ?? 所以 BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 6 ? ? ,故 ?B ?
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
答案为

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

5? . 12

2

12

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,可得

2

2

?

??

? ?

?

BC ? AB ? AC ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,可求得.

?

?

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】12、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度(单位: :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示, 且 A、 B、 C、 D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km ) km .

【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和
2 2 2 2 ADC 中,由余弦定理可得 8 ? 5 ? 2 ? 8? 5? cos ?? ? D? ? 3 ? 5 ? 2 ? 3? 5 ? cos D ,

cos D ? ?

1 ? 1? 2 2 2 ,代入可得 AC ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 49 ,故答案为 7. 2 ? 2?
1 ,代入余弦定理可得. 2

【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得

cos D ? ?

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】17.(本小

题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,c 的对边分别为 a,b,c, (1)求 b,c 的值; (2)求 cos(B- )的值. 【知识点】解三角形 C8 【答案】(1)b=8,c=7(2) ,a=5,△ABC 的面积为 10 .

? 1 1 ? ,a=5,S= ab sin C ,即 10 3 = b.5sin ,解得 b=8, 2 2 3 3 ? 由余弦定理得 c2 =64-25-80cos =49,所以 c=7. 3
【解析】(1)由已知得 C= (2)由 (1) 知 cosB=

13 14

49 ? 25 ? 94 1 4 3 2 ? ,由于 B 是三角形的内角, 知 sinB= 1 ? cos B = 70 7 7

所以 cos(B-

? ? ? 1 1 4 3 3 13 )=cosBcos +sinBsin = ? ? = ? 3 3 3 7 2 7 2 14

【思路点拨】根据正弦余弦定理得。

【数学文卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 12.在 ?ABC
o 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 c ? 4 2, B ? 45 , 面积 S ? 2 , 则 b=___________.

【知识点】三角形面积公式;余弦定理.C8 【答案】 【解析】5 解析:由面积公式 S ?

1 ac sin B ,带入已知条件得 a ? 1 ,再由余弦 2

定理得 b ? 5. 故答案为:5. 【思路点拨】先由面积公式 S ? b.

1 ac sin B ,带入已知条件得 a ? 1 ,再由余弦定理可解得 2

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】8.已知 ?ABC 的一个 内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为_________. 【知识点】解三角形 C8 【答案】15 3

【解析】设三角形的三边分别为 x-4,x,x+4, 则 cos120°=

x 2 ? ( x ? 4)2 ? ( x ? 4)2 1 ? ? ,化简得:x-16=4-x,解得 x=10, 2 x( x ? 4) 2

所以三角形的三边分别为:6,10,14 则△ABC 的面积 S=

1 ×6×10sin120°=15 3 . 2

【思路点拨】先设出边,再根据余弦定理求出边求出面积。

C9

单元综合


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