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2016届高考数学(人教,文)大一轮复习课件 教师用书 第二章 函数、导数及其应用


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示

[基础知识深耕] 一、函数与映射的概念 映射 集合 A,B 是两个非空的集合 按某一个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 a,在集合 B 中都有唯一确定的元素 b 与之对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 f:A→B 【拓展延伸】 函数与映射的关系 函数实质上就是数集

上的一种映射,即函数是一种特殊的映射,映射是函数概念的推广.函数与映射都是一 种对应关系,可以一对一,多对一,但不能一对多. 二、函数的三要素 1.定义域 在函数 y=f(x),x∈A 中,自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域. 2.值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素. 3.相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. 【方法技巧】 判断相等函数的方法 先分别求两函数的定义域,若定义域不同,则不是相等函数;若定义域相同,再化简函数的解析式;若解析 式不同,则不是相等函数;若解析式相同,则为相等函数. 三、函数的表示方法 函数的表示方法有三种,分别为解析法、列表法和图象法. 四、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函 数. 【拓展延伸】 分段函数三要点 函数 集合 A,B 是两个非空的数集

个集合

A,B

应关系

按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x),x∈A

名称

记法

(1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个 函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (2)一个函数只有一个定义域,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式. (3)求分段函数的值域,应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合,再求出它们的并集. [基础能力提升] 1.下列式子不能表示函数 y=f(x)的是( A.x=y2+1 C.x-2y=6 ) B.y=2x2-1 D.x= y

1 【解析】 A 选项为 y2=x-1,y 不是 x 的函数;B 选项是二次函数;C 中,由 x-2y=6 得 y= x-3,是一 2 次函数;D 中,由 x= y得 y=x2(x≥0),是二次函数. 【答案】 A 2.下列函数中,与函数 y=x 相同的是( x A.y= x
2

) B.y=( x)2 D.y=2log2x

C.y=lg 10x x2 【解析】 因为 y= =x(x≠0);y=( x)2=x(x≥0); x y=lg 10x=x(x∈R);y=2log2x=x(x>0),故选 C. 【答案】 C πx ? ?cos 3 ,x≤1, 3.函数 f(x)=? 则 f(f(2))=( ?log2x,x>1, ? 1 A. 2 C. 3 2 π 1 f(2)=log22=1,f(f(2))=f(1)=cos = . 3 2

)

B .1 D.3

【解析】

【答案】 A 4.映射 f:A→B,在 f 作用下 A 中元素(x,y)与 B 中元素(x-1,3-y)对应,则与 B 中元素(0,1)对应的 A 中元 素是________.
? ? ?x-1=0, ?x=1, 【解析】 由题意知? ∴? 所以与 B 中元素(0,1)对应的 A 中元素为(1,2). ? ? ?3-y=1, ?y=2.

【答案】

(1,2)

1.两个防范:(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,要注意换元前后的等价性. 2.三种方法:求函数解析式的方法 (1)待定系数法;(2)换元法;(3)解方程组法. 3.四个注意点:求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公 共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号 “∪”连接.

第二节 函数的单调性与最值 [基础知识深耕] 一、函数的单调性 1.函数单调性的定义及几何意义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 定义 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 数 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

几何意义

自左向右图象是上升的

自左向右图象是下降的

2.单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x) 的单调区间.函数的单调区间是其定义域的子集. 【拓展延伸】 函数单调性的运算性质 若函数 f(x),g(x)在区间 I 上具有单调性,则在区间 I 上具有以下性质: (1)f(x)与 f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性. (2)f(x)与 a· f(x)在 a>0 时具有相同的单调性;在 a<0 时具有相反的单调性. (3)当 f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数. (4)当 f(x), g(x)都是增(减)函数时, 若两者都恒大于零, 则 f(x)· g(x)也是增(减)函数; 若两者都恒小于零, 则 f(x)· g(x) 是减(增)函数. (5)f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则. 二、函数的最值 设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 是 y=f(x)的最大值 ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 是 y=f(x)的最小值

前提

条件

结论

【拓展延伸】 函数最值存在的两条定论: (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. [基础能力提升]

1.下列说法: ①若函数 f(x)在区间(a,b)上是单调增函数,在区间(b,c)上也是单调增函数,则函数 f(x)在区间(a,b)∪(b, c)上是单调增函数; ②对于函数 f(x),在给定区间内存在两个值 x1,x2,使得当 x1<x2 时,有 f(x1)>f(x2)成立,则函数 f(x)在给定区 间上是单调减函数; f?a?-f?b? ③定义在 R 上的函数 f(x)对于任意两个不相等的实数 a,b,总有 >0,则函数 f(x)是单调增函数. a-b 正确的是( A.①③ ) B.②③ C.①② D.③

1 【解析】 如函数 y=- 在区间(-∞,0)与(0,+∞)上均为增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有 x f?a?-f?b? 单调性,①错;②中缺少 x1,x2 的取值是“任意的”,故不正确;由 >0 知,当 a>b 时,f(a)>f(b),当 a<b a-b 时,f(a)<f(b),所以 f(x)在 R 上是增函数. 【答案】 D

2.函数 y=(2k+1)x+b 在 x∈R 上是减函数,则 k 的取值范围是( 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 1 【解析】 由 2k+1<0 得 k<- ,故选 D. 2 【答案】 D 3.函数 f(x)的图象如图 221 所示,则最大值,最小值分别为( ) 1 B.k< 2 1 D.k<- 2

)

图 221 2? ? 3? A.f? ?3?,f?-2? 3? C.f? ?-2?,f(0) 3? 【解析】 根据图象可知 f(0)为最大值,f? ?2?为最小值. 【答案】 B 4.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 a<b,则 f(a)________f(b)(填“>”或“<”),若 f(1-m)>f(m),则实数 m 的 取值范围是________. 【解析】 ∵f(x)是 R 上的减函数,且 a<b,∴f(a)>f(b). 1 又∵f(1-m)>f(m),∴1-m<m,∴m> . 2 1 ? 【答案】 > ? ?2,+∞? 3? B.f(0),f? ?2? D.f(0),f(3)

1.一个防范:函数单调区间的表示

单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结, 也不能用“或”联结. 2.二种形式:单调函数的两种等价变形 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? (1) >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 (2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 3.四种方法:判断函数单调性的四种方法 (1)定义法;(2)复合法;(3)图象法;(4)导数法. 4.五个步骤:定义法证明函数单调性的五个步骤 取值、作差、变形、定号、结论. 第三节 函数的奇偶性与周期性 [基础知识深耕] 一、奇、偶函数的定义及图象特征 1.奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x. (1)f(x)为偶函数?f(-x)=f(x). (2)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x). 2.奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 【拓展延伸】 1.函数奇偶性的判断 f?-x? (1)利用奇偶函数的定义或定义的等价形式: =± 1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性. f?x? (2)利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. (3)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上,有下面结论:

f(x) 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数

g(x) 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 2.奇、偶函数对称区间上的单调性

f(x)+g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数

f(x)-g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数

f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数

f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数

奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. 3.奇函数图象与原点的关系 如果奇函数 f(x)在原点有定义,则 f(0)=0. 二、周期性 1.周期函数

T 为函数 f(x)的一个周期,则需满足的条件: (1)T≠0. (2)f(x+T)=f(x)对定义域内的任意 x 都成立. 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期. 【拓展延伸】 周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a. f?x? (4)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则 y=f(x)是以 2(b-a)为周期的周 期函数. (5)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. [基础能力提升] 1.下列说法错误的个数为( )

①图象关于原点对称的函数是奇函数; ②图象关于 y 轴对称的函数是偶函数; ③奇函数的图象一定过原点; ④偶函数的图象一定与 y 轴相交. A.4 C.2 【解析】 ①②正确,③④错误. 【答案】 C 2.下列函数,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的是( 1 A.f(x)= 3 x C.f(x)=x3 ) B .3 D.0

1 B.f(x)= 2 x D.f(x)=x2

【解析】 对 A、C,函数是奇函数;对 D,函数虽是偶函数,但在(0,+∞)上是增函数.故选 B. 【答案】 B 3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为( A.-1 C.1 【解析】 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(8)=f(0). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, B .0 D.2 )

∴f(8)=f(0)=0,故选 B. 【答案】 B 4.若 f(x)在[-3,3]上为奇函数,且 f(3)=-2,则 f(-3)+f(0)=________. 【解析】 由题意知 f(-3)=-f(3)=2,f(0)=0. ∴f(-3)+f(0)=2+0=2. 【答案】 2

1.两个性质:奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶= 偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.三种方法:判断函数奇偶性的方法 (1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 3.三条结论:与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则 y=f(x)是以 2(b-a)为周期的周期 函数. (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|. 第四节 二次函数与幂函数

[基础知识深耕] 一、二次函数 1.二次函数的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. 2.二次函数的性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

R

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b? b? 在? 在? ?-∞,-2a?上递减, ?-∞,-2a?上递 增

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b ? ? b ? 在? ?-2a,+∞?上递增在?-2a,+∞?上递 减 b 函数的图象关于 x=- 对称 2a

2

单调性

对称性

【拓展延伸】 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 x1+x2 (1)对于函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x= 对称. 2 (2)对于函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图象关于直线 x =a 对称(a 为常数). 二、幂函数 1.定义 形如 y=xα(α∈R)的函数叫幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 【方法技巧】 如何分清幂函数与指数函数? 幂函数中底数是自变量,指数是常数;而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.5 个简单的幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x R R 奇函数 在 R 上单调递增 y=x2 R {y|y≥0} 偶函数 在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增 y=x3 R R 奇函数 在 R 上单调递增 1 y=x 2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶函数 在(0,+∞)上单调 递增 y=x
-1

{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数

在(-∞,0)和

+∞)上单调递

图象

过定点

(1,1)

【拓展延伸】 幂函数图象的特征 依据幂指数的规律,我们可以得到幂函数 y=xα(α 是常数)的图象特征:

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限,而不会出现在第四象限,幂函数的图象最多同时出现在两个象限. (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)①当 α<0 时,函数图象与坐标轴没有交点,类似于 y=x
-1

的图象;

1 ②当 0<α<1 时,函数图象向 x 轴弯曲,类似于 y=x 的图象; 2 ③当 α>1 时,函数图象向 y 轴弯曲,类似于 y=x3 的图象. [基础能力提升] 1.下列说法正确的是( 1 A.函数 y= 2是二次函数 x B.二次函数 y=1-x2 的图象开口向上 C.函数 y=-2(x-1)2-2 图象的顶点坐标是(-1,-2) D.圆面积公式 S=πr2 中,S 与 r 是二次函数关系 1 【解析】 函数 y= 2不是二次函数, 函数 y=1-x2 的图象开口向下, 函数 y=-2(x-1)2-2 图象的顶点为(1, x -2),故 A、B、C 均错误. 【答案】 D 2.二次函数 y=x2+bx+c 的图象上有两点(3,-8),(-5,-8),则此函数的对称轴方程是( A.x=4 B.x=3 C.x=5 D.x=-1 ) )

3+?-5? 【解析】 由题意 f(3)=f(-5),故对称轴方程为 x= =-1,应选 D. 2 【答案】 D 3.已知点 M? A.f(x)=x2 1 C.f(x)=x 2 【解析】 设 f(x)=xα,则有 3=? 1 3?α ,即 3=3- α, 2 ?3? 3 ? 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式为( 3 ? ,3? )
-2

B.f(x)=x

1 D.f(x)=x- 2

1 - ∴- α=1,∴α=-2,∴f(x)=x 2,故选 B. 2 【答案】 B 4.函数 f(x)=-x2+2x 在区间[2,3]上的最大值是________. 【解析】 函数 f(x)在[2,3]上单调递减,故 f(x)max=f(2)=0. 【答案】 0

1.两个易误点: (1)研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 1 (2)形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂函数. 2 2.三种形式:二次函数表达式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(其中 a≠0,顶点坐标为(-h,k)). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中 a≠0,x1,x2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标). 3.三条性质:幂函数的三条性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义. (2)幂函数图象过定点(1,1). (3)当 α>0 时,幂函数的图象都过点(0,0),(1,1),且在(0,+∞)上递增;当 α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1), 且在(0,+∞)上递减. 第五节 指数与指数函数 [基础知识深耕] 一、指数幂的概念与性质 1.根式 (1)根式的概念 根式的概念 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数 (2)两个重要公式 n a 符号表示 备注 n>1 且 n∈N* 零的 n 次方根是零 负数没有偶次方根

n ± a



n

?a,n为奇数, ?a,a≥0, a =? ? |a|=? ?-a,a<0, ? ?
n

n为偶数.

n ②( a)n=a. 【拓展延伸】 n n an与( a)n 的区别:

n 当 n 为奇数时,或当 n 为偶数且 a≥0 时, an=a; n 当 n 为偶数且 a<0 时, an=-a; n 而( a)n=a 恒成立. n n 由于 an与( a)n 形式特别相似,使用时一定要注意区分. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂:a0=1(a≠0); 1 - ②负整数指数幂:a p= p(a≠0,p∈N*); a m n ③正分数指数幂:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m 1 1 ④负分数指数幂:a- = = (a>0,m,n∈N*,且 n>1); n m n a am n ⑤0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 二、指数函数的图象与性质

a>1 图象

0<a<1

定义域 值域

R (0,+∞) 过定点(0,1)

性质

当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数

当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数

【拓展延伸】 指数函数图象的其他结论: 1? (1)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),? ?-1,a?三点. 1?x (2)函数 y=ax 与 y=? ?a? 的图象关于 y 轴对称. (3)函数 y=ax(a>0 且 a≠1)中,底数 a 的大小决定了图象相对位臵的高低,在第一象限内,底数越大,图象越 高. [基础能力提升]

1.下列说法正确的是(

)

A.函数 y=3· 2x 是指数函数 B.函数 y=x3 是指数函数 1?x C.y=? ?a? 是 R 上的减函数 D.函数 f(x)=4+ax 1(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(1,5)


1?x 【解析】 函数 y=3· 2x 不是指数函数,y=x3 是幂函数,当 0<a<1 时,y=? ?a? 是 R 上的增函数,故 A、B、 C 均错. 【答案】 D 2.函数 y=3x 与 y=3 x 的图象关于下列哪条直线对称


( A.x 轴 C.直线 y=x B .y 轴 D.直线 y=-x

)

1?x - x ?1?x 【解析】 y=3 x 即 y=? ?3? ,分别作出两个函数图象(略)可知,y=3 与 y=?3? 的图象关于 y 轴对称,选 B. 【答案】 B 3.函数 f(x)= 1-2x的定义域是( A.(-∞,0] C.(-∞,0) 【解析】 由 1-2x≥0,得 2x≤1=20,∴x≤0. 【答案】 A 1?1 ?1?2 4.? ?2?3与?2?3的大小关系是________. 1?x 1 2 【解析】 ∵函数 y=? ?2? 是 R 上的减函数,且3<3, 1?1 ?1?2 ∴? ?2?3>?2?3. 1?1 ?1?2 【答案】 ? ?2?3>?2?3 ) B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

1.一个关系:分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,它们可以互化,通常用分数指数幂进行根式的化简运算. 2.两点注意:一是指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系,在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变 小,在 y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大. 1? 3.三个关键点:画指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?. 第六节 对数与对数函数 [基础知识深耕] 一、对数的概念与性质 如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 对数的定义 记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

(1)负数和零没有对数; 对数的性质 (2)loga1=0(a>0,且 a≠1); (3)logaa=1(a>0,且 a≠1); (4)alogaN=N(a>0,且 a≠1,N>0).

二、对数的运算

如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M· N)=logaM+logaN; 运算法则 M ②loga =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM(n∈R).

换底公式

logcb logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca

【拓展延伸】 换底公式的变形与推广: (1)logab· logba=1,即 logab= n (2)logambn= logab; m (3)logab· logbc· logcd=logad. 三、对数函数的图象与性质 (1)对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 1 ; logba

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 性质 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0 是(0,+∞)上的增函数 过点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 x>1 时,y<0;当 0<x<1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

【拓展延伸】 底数 a 对对数函数图象的影响: (1)底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当 a>1 时,对数函数的图象“上升”;当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位臵的高低:不论是 a>1 还是 0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的 对数函数的底数逐渐变大. (3)作直线 y=1 与所给图象相交, 交点的横坐标即为该对数函数的底数, 由此可判断多个对数函数底数的大小 关系. 四、对数函数与指数函数的关系 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数. 【拓展延伸】 互为反函数的性质: (1)两函数的定义域和值域互换; (2)两函数的图象关于直线 y=x 对称,其单调性、奇偶性一致. [基础能力提升] 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,且 a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是( 2 0, ? A.? ? 3? C.(1,0) 2 ? B.? ?3,0? D.(0,1) )

【解析】 令 3x-2=1,则 x=1,此时 y=loga1=0,即函数图象过定点(1,0). 【答案】 C 2.已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( A.a=b<c C.a<b<c B.a=b>c D.a>b>c )

【解析】 ∵a=log23+log2 3=log23 3,b=log29-log2 3=log23 3,∴a=b. 又∵函数 y=logax(a>1)为增函数, ∴a=log23 3>log22=1,c=log32<log33=1, ∴a=b>c. 【答案】 B 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( 1 A. x 2 B.2x
-2

)

1 C.log x 2

D.log2x

【解析】 由题意知,f(x)=logax,且 f(2)=1,即 loga2=1,∴a=2,∴f(x)=log2x. 【答案】 D 2 4 2 4.已知 a = (a>0),则 log a=________. 3 9 3 2 4 4 2 2 2 2 1 2 【解析】 ∵a>0,a = ,∴loga = ,∴2loga = ,∴loga = ,∴log a=3. 3 9 9 3 3 3 3 3 3 【答案】 3

1.一种关系:指数式与对数式的互化 ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 2.两个注意点 解决与对数有关的问题时,应注意: (1)务必先研究函数的定义域. (2)对数函数的单调性取决于底数 a,应注意 a 的取值范围. 3.三个关键点 画对数函数的图象应抓住三个关键点; 1 ? (a,1),(1,0),? ?a,-1?. 4.四种方法:对数值大小比较的方法 (1)化同底后利用函数的单调性. (2)作差或作商法. (3)利用中间量 0 或 1. (4)化同真数后利用图象比较.

第七节 函数的图象 [基础知识深耕] 一、利用描点法画其图象的流程

二、图象变换 1.平移变换

2.对称变换 关于x轴对称 (1)y=f(x) ― ― → y=-f(x); 关于y轴对称 (2)y=f(x) ― ― → y=f(-x); 关于原点对称 (3)y=f(x) ― ― → y=-f(-x); 关于y=x对称 (4)y=ax(a>0 且 a≠1) ― ― → y=logax(a>0 且 a≠1). 3.翻折变换 保留x轴上方图象 (1)y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去 保留y轴右边图象,并作其 (2)y=f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=f(|x|). 关于y轴对称的图象 【方法技巧】 平移变换八字方针: (1)对于左(右)平移变换,可熟记为:左加右减,但要注意加(减)指的是自变量. (2)对于上(下)平移变换,可熟记为:上加下减,但要注意加(减)指的是函数值. [基础能力提升] 1.下列说法不正确的是( )

A.描点法作图一般要通过列表、描点、连线三个步骤 B.用描点法作图选点时往往选取特殊点 C.用描点法作图时有时可结合函数的性质

D.描点法是作函数图象的唯一途径 【答案】 D 2.下列说法正确的个数为( )

①若函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),则函数 f(x)的周期为 2; ②函数 y=f(|x|)与 y=|f(x)|的图象是相同的; ③函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于 x 轴对称. A.0 个 C.2 个 B .1 个 D.3 个

【解析】 ①f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x),∴f(x)的周期为 2,正确;②由对称变换知 f(|x|)与|f(x)|的图象不相 同;③y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称. 【答案】 B 3.函数 y=2x
+1

的图象是(

)

【解析】 y=2x 【答案】 A

+1

的图象是 y=2x 的图象向左平移 1 个单位长度得到的,应选 A.

4.函数 f(x)=|log2x|的图象是(

)

? ?log2x,x≥1, 【解析】 法一:f(x)=? 结合图象可知 A 正确. ?-log2x,0<x<1. ?

法二:结合翻折变换,可知选 A.

【答案】 A

1.两个区别 (1)①一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后 者是两个不同的函数图象对称. ②一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数, 后者也是两个不同函数图象的对称. (2)函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象不同,y=|f(x)|的图象是保留 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分,把 x 轴下方的翻 折上去;y=f(|x|)的图象是保留 y 轴右侧的部分,左侧部分和右侧部分关于 y 轴对称. 2.三种途径 考查函数图象形状和位臵有以下三种途径: (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质.

第八节 函数与方程 [基础知识深耕] 一、函数零点 1.定义:对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.函数零点与方程根的关系:方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 3.零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那 么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 x0∈(a,b),使得 f(x0)=0. 二、二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

与 x 轴的交点 零点个数

(x1,0),(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点 0

【拓展延伸】 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布情况 根的分布(m<n<p 为常数) 图象 满足的条件 Δ>0, ? ? b ?-2a<m, ? ?f?m?>0 Δ>0, ? ? b ?-2a>m, ? ?f?m?>0

x1<x2<m (两根都小于 m)

m<x1<x2 (两根都大于 m)

x1<m<x2 (一根大于 m,一根小于 m)

f(m)<0

x1,x2∈(m,n) (两根位于 m,n 之间)

? ?m<-2ba<n, ?f?m?>0, ? ?f?n?>0
f?m?>0, ? ? ?f?n?<0, ? ?f?p?>0

Δ≥0,

m<x1<n<x2<p (两根分别位于 m 与 n, n 与 p 之间) 只有一根在 m,

n 之间

Δ=0, ? ? ? 或 f(m)· f(n)<0 b m<- <n, ? 2a ?

三、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【方法技巧】 二分法求函数零点近似值的口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断. [基础能力提升] 1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )

【解析】 函数的零点即函数图象与 x 轴交点的横坐标,因此函数图象若与 x 轴没有交点,则相应函数没有 零点. 【答案】 A 2.若 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是不间断的,则下列说法正确的是( A.若 f(a)· f(b)<0,则不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)· f(b)<0,则存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)· f(b)>0,则不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)· f(b)>0,则有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 【解析】 由零点存在性定理知 A 不正确;由 f(x)=x(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)· f(2)<0,但其存 在三个零点:-1,0,1,故 B 不正确;由 f(x)=(x+1)(x-1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)· f(2)>0,但其存在两个零点: -1,1,故 C 不正确. 【答案】 D 3.函数 y=x2+2x+1 的零点是( A.(1,0) C.-1 【解析】 令 y=x2+2x+1=0,得 x=-1. 【答案】 C ) B.(-1,0) D.1 )

4. 设 f(x)=3x+3x-8, 用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0, 则方程的解落在区间________上. 【解析】 由二分法求方程近似解的思想可知,方程的根落在区间(1.25,1.5)上. 【答案】 (1.25,1.5)

1.两个易误点:(1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,易误为点的坐标.

图 281 (2)由函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)· f(b)<0,如图 281 所示. 所以 f(a)· f(b)<0 是 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 2.三种方法:判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点; (2)零点的存在性定理; (3)利用图象交点的个数. 3.三个结论:有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.

第九节

函数模型及其应用 [基础知识深耕]

一、三种函数模型之间增长速度的比较 函数 y=ax(a>1) 单调递增 越来越快 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax y=logax(a>1) 单调递增 越来越慢 y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳



在(0,+∞)上的增减性 增长速度 大小比较

二、常见的几种函数模型 1.一次函数模型:y=kx+b(k≠0). k 2.反比例函数模型:y= (k≠0). x 3.指数函数模型:y=a· bx+c(b>0,b≠1,a≠0). 4.对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0). 5.幂函数模型:y=a· xn+b(a≠0). 6.分段函数模型. 【方法技巧】 求解近似函数模型的步骤:

[基础能力提升] 1.下列函数中,随着 x 的增长,增长速度最快的是 ( A.y=50 C.y=0.4· 2x
-1

)

B.y=1 000x 1 x D.y= e 1 000

【解析】 指数函数 y=ax,在 a>1 时呈爆炸式增长,而且 a 越大,增长速度越快,选 D.

【答案】 D 2.一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象 表示为图中的( )

【解析】 由题意知 h=20-5t,故选 B. 【答案】 B 4x,1≤x<10,x∈N , ? ? * 3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=?2x+10,10≤x<100,x∈N , ? ?1.5x,x≥100,x∈N*. 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( A.15 C.25 B.40 D.130 )
*

【解析】 令 y=60,若 4x=60,则 x=15>10,不合题意;若 2x+10=60,则 x=25,满足题意;若 1.5x= 60,则 x=40<100,不合题意. 【答案】 C 4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要 建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( A.一次函数 C.指数型函数 B.二次函数 D.对数型函数 )

【解析】 四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长迅速,后来增长越来越慢的特点. 【答案】 D

1.一个步骤:解决实际应用题的一般步骤 (1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质; (2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;

(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题; (4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论. 2.两个易误点 (1)易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域. (2)注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 第十节 导数的概念及其运算 [基础知识深耕] 一、导数的概念 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′|x=x0, 即 f′(x0)= lim = Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx

Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? . Δx (2)几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线斜率(瞬时速度

就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

【拓展延伸】 导数概念的两点补充: (1)瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称. (2)并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数.如函数 y=|x|在 x=0 处就没有导数. 二、导数的运算 1.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x). (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 导函数 f′(x)=n· xn
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0) f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a 1 f′(x)= x

(3)?

f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). g ? x ? ? ? [g?x?]2

【拓展延伸】 导数运算法则的特例及推广: (1)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x),其中 a,b 为常数. (2)? 1 ? f′?x? ?f?x??′=-[f?x?]2(f(x)≠0).

(3)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即 [u(x)± v(x)± …± ω(x)]= u′(x)± v′(x)± ?± ω′(x). [基础能力提升] 1.下面说法正确的是( )

A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在 【解析】 ∵f′(x0)是曲线 y=f(x)在 x=x0 处切线的斜率,故 f′(x0)不存在时,切线可能与 x 轴垂直,A 错; 同理 B 错;若 f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则一定不存在斜率,故 f′(x0)不存在,D 错. 【答案】 C 2.下列结论中,①若 y=cos x,则 y′=-sin x;②若 y= 正确命题的个数为( A.0 C.2 【解析】 由求导公式可知,①②③均计算正确. 【答案】 D 3.函数 y=x3cos x 的导数是( A.3x2cos x+x3sin x C.3x2cos x ) B.3x2cos x-x3sin x D.-x3sin x ) B .1 D.3 1 1 1 2 ,则 y′=- ;③若 y= 2,则 y′|x=3=- . x 27 x 2x x

【解析】 y′=(x3)′cos x+x3(cos x)′=3x2cos x-x3sin x. 【答案】 B 4.(文)给出下列几个命题: ①若 f(x)=1,x∈R,则 f′(1)=0; Δy ②若函数 f(x)=2x2+1 的图象上的点(1,3)邻近一点为(1+Δx,3+Δy),则 =4+2Δx; Δx ③瞬时速度是动点的位移函数 s=s(t)对时间 t 的导数; ④曲线 y=x3 在点(0,0)处没有切线. 其中正确的命题有:________. 【解析】 由导数的定义及其几何意义知,①②③正确. 【答案】 ①②③

1.一个区别:“过某点”与“在某点”的区别 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线,其中点 P(x0,y0)即为切点;曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,其中点 P(x0,y0)不一定是切点. 2.两个防范 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. (2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样, 直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.

第十一节 导数在研究函数中的应用 [基础知识深耕] 一、函数的导数与单调性的关系 函数 y=f(x)在某个区间内可导,则 (1)若 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间内单调递增; (2)若 f′(x)<0,则 f(x)在这个区间内单调递减; (3)若 f′(x)=0,则 f(x)在这个区间内是常数函数. 【拓展延伸】 导数与函数单调性的关系: ①f′(x)>0(或 f′(x)<0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件; ②f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)是 f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)=0 不恒成立). 二、函数的极值与导数 1.函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,且 f′(a)=0,而且在 x=a 附 近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 a 点叫函数的极小值点,f(a)叫函数的极小值. 2.函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大,且 f′(b)=0,而且在 x=b 附 近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 b 点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.

【拓展延伸】

f′(x0)=0 同 x0 是 f(x)极值点的关系:

f′(x0)=0 是 x0 为 f(x)的极值点的既不充分也不必要条件.例如,f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是极值点; 又如 f(x)=|x|,x=0 是它的极小值点,但 f′(0)不存在. 三、函数的最值与导数 1.函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b)比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 【拓展延伸】 极值同最值的关系: 极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的也未 必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取必定是极值. [基础能力提升] 1.函数 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)<0 是 f(x)在(a,b)内单调递减的( A.充分条件 C.充要条件 【解析】 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

f(x)在(a,b)内可导,若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内是单调递减的,反之不一定成立.

【答案】 A 2.函数 f(x)=5x2-2x 的单调递增区间是( 1 ? A.? ?5,+∞? 1 ? C.? ?-5,+∞? 【解析】 1 f′(x)=10x-2,由 f′(x)>0,得 x> . 5 ) 1? B.? ?-∞,5? 1? D.? ?-∞,-5?

【答案】 A 1 3.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值为( 2 1 A. 2 【解析】
2 1 x -1 f′(x)=x- = ,且 x>0, x x

) B.1 C.不存在 D.0

令 f′(x)>0,得 x>1;令 f′(x)<0,得 0<x<1. 1 1 ∴f(x)在 x=1 时取最小值 f(1)= -ln 1= . 2 2 【答案】 A 4.函数 y=2x3-x2 的极大值是________. 1 ?1,+∞?, ? 1? 【解析】 y′=6x2-2x, 令 y′=0 得 x=0 或 x= , 且函数的增区间为(-∞, 0), ?3 ? 减区间为?0,3?, 3 故极大值为 f(0)=0.

【答案】 0

1.两个条件 (1)f′(x)>0 在(a,b)上成立,是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件. (2)对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 2.三点注意 (1)求单调区间时应先求函数的定义域,遵循定义域优先的原则; (2)f′(x0)=0 时,x0 不一定是极值点; (3)求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时应分类讨论.

第十二节

导数的综合应用

[基础知识深耕] 一、一元三次方程根的个数问题 令 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f′(x)=3ax2+2bx+c. 方程 f′(x)=0 的判别式 Δ=(2b)2-12ac, (1)当 Δ≤0,即 b2≤3ac 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在 R 上为增函数,结合函数 f(x)的图象知,方程 f(x)=0 有 唯一一个实根. (2)当 Δ>0,即 b2>3ac 时,方程 f′(x)=0 有两个实根,设为 x1,x2(x1<x2),函数在 x1 处取得极大值 M,在 x2 处取得极小值 m(M>m). ①当 m>0 时,方程 f(x)=0 有唯一一个实根; ②当 m=0 时,方程 f(x)=0 有两个实根; ③当 m<0,M>0 时,方程 f(x)=0 有三个实根; ④当 M=0 时,方程 f(x)=0 有两个实根; ⑤当 M<0 时,方程 f(x)=0 有一个实根. 二、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题.

利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:

[基础能力提升]

1.将 8 分为两个数之和,使其立方和最小,则分法为 ( A.2 和 6 C.3 和 5 B .4 和 4 D.以上都不对 )

【解析】 设分成的一个数为 x, 则另一个数为 8-x, 故有 y=x3+(8-x)3,0≤x≤8.y′=3x2-3(8-x)2, 令 y′ =0,解得 x=4,当 0≤x<4 时,y′<0;当 4<x≤8 时,y′>0,∴x=4 时,y 最小. 【答案】 B 2.有一长为 16 m 的铁丝,要围成一个矩形框,则此矩形框的最大面积为( A.32 m2 C.16 m2 B.14 m2 D.18 m2 )

【解析】 设矩形框的长为 x m,则宽为(8-x)m,面积 S=x(8-x)(x>0),令 S′=8-2x=0,得 x=4,此时 Smax=42=16 m2. 【答案】 C 3.若函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0 得 x=± 1,可以求得 f(x)的极大值为 f(-1)=2+a,极小值为 f(1)=a

-2,要使函数 f(x)有三个不同零点,则要满足{2+a>0,?a-2<0, 即-2<a<2. 【答案】 (-2,2)

图 2121 4.如图 2121,水波的半径以 50 cm/s 的速度向外扩张,当半径为 250 cm 时,水波面的圆面积的膨胀率是 ________cm2/s. 【解析】 设时间为 t 时,水波圆的半径、面积分别为 r、s,则 r=50t,S=πr2=π·(50t)2=2 500πt2,则 S′ =5 000πt,而 r=250 时,t=5,故 S′(5)=25 000π(cm2/s). 【答案】 25 000π

1.一个“构造” 把所求问题通过构造函数,转化为可用导数解决的问题,这是用导数解决实际问题时常用的方法. 2.两种思想 利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时,常用到数形结合及转化与化归的数学思想. 3.两点注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中, 如果函数在区间内只有一个极值点, 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可, 不必再与端点的函数值比较.


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