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圆的方程复习学案


《圆的方程》复习课 2015、1、23
学习目标:1、掌握圆的标准方程与一般方程及方程的求解; 2、掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及判断; 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 4、了解用代数方法解决几何问题的思想; 重点、难点: 能用直线和圆的方程解决问题 知识框图:

要点归纳
1.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)

2+(y-b)2=r2,其中圆心是 C(a,b),半径长是 r;特别地,圆心在 (0,0)半径为 r 的圆的标准方程为 x2+y2=r2. 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a,b,r 或 D,E,F),而确定这三个参数必须有三个独立 的条件,因此,三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法,此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程: ①如果已知圆心或半径长,或圆心到直线的距离,通常可用圆的标准方程; ②如果已知圆经过某些点,通常可用圆的一般方程. ⑷圆具有许多重要的几何性质: 切线垂直于经过切点的半径; 圆心与弦的中点连线垂直于弦(弦 心距、半弦长、半径构成特殊的 RT△);切线长定理;直径所对的圆周角是直角等等.充分 利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量. 2.点与圆的位置关系 (1)代数法: 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

①点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 上: ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ; ②点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 内部: ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) ; ③点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 外部: ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 (r ? 0) . 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的关系的判断方法:
2 2

①点 ( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上: ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ;
2 2
2 2

1

②点 ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 内部: ? x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ; ③点 ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 外部: ? x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 . (2)几何法: 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:计算点 M ( x0 , y0 ) 到圆心 (a,b)的距离 d,比较 d 与 r 的大小:d=r:点在圆上; d>r:点在圆外;d<r:点在圆内

注意:若 P 点是圆 C 外一定点,则该点与圆上的点的最大距离: dmax=|PC|+r;最小距离:dmin=|PC|-r.
3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交,其判断方法有两种: 代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、 几何法(由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断). 注意:(1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为 d+r,最小距离为 d-r,其中 d 为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时,弦心距、半弦长、半径构成 RT△. (3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则切线方程为 x0x+y0y=r2; 若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上,则切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ②若切线所过点(x0,y0)在圆外,则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率,则要注意斜 率不存在的情况也可能符合题意. 4.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(通 过解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距 d 与半径长 r, R 的大小关系来判断). (1) 过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的直线(公 共弦所在直线)方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0(两圆方程相减得到) 。 (2) 求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质 和勾股定理来求弦长.

专题一 求圆的方程
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.采用待 定系数法求圆的方程的一般步骤为: (1) 选择圆的方程的某一形式; (2)由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组); (3) 解出 a,b,r(或 D,E,F);(4)代入圆的方程.

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【例 1】有一圆与直线 l:4x-3y+6=0 相切于点 A(3,6),且圆经过点 B(5,2),求此圆的方程.

专题二 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系是高考考查的重点,切线问题更是重中之重,判断直线与圆的位置关系 以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. 【例 2】 (2012· 沈阳高一检测)已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l 过点 P(2,3)且与圆 M 交 于 A,B 两点,且|AB|=2 3,求直线 l 的方程.

专题三 圆与圆的位置关系
解决圆与圆位置关系的关键是抓住它的几何特征,利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对 值的大小来确定两圆的位置关系,以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题. 【例 3】 已知两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度.

专题四:与圆有关的最值问题:
(1)求圆上一点到圆外一点 P 的最大距离、最小距离; dmax=|OP|+r,dmin=|OP|-r; (2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离,设圆心到直线的距离为 m,则 dmax=m+r, dmin=m-r; (3)已知点的运动轨迹方程是(x-a)2+(y-b)2=r2, y-m y 求① ;② ;③x2+y2 等式子的最值,一般运用几何法求解,常涉及的量有斜率、距离、 x x-n 截距等. 【例 4】 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最大值和最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值.

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专题五 坐标法(解析法)在生活中的应用
坐标法贯穿解析几何的始终,通过平面直角坐标系,研究了直线和圆的有关问题;通过建立 空间直角坐标系,刻画了点在空间的位置,研究了两点间的距离等问题。总之通过建立坐标 系,把点与坐标、曲线与方程等联系起来,将几何问题转化为代数问题,优化了思维的过程. 【例 5】已知一个圆形的公园,其半径为 2 km,有两个村庄 A 和 B,其中村庄 A 在公园的正 东方向 4 km 处,村庄 B 在公园的西北方向 2km 处(A、B 相对于公园的位置都是指相对于公园 的中心位置).现在要修一条连接村庄 A 和村庄 B 的公路,但公路不能穿过公园,现有两种方 案可供选择:方案一:分别从 A、B 沿与公园相切的方向修路,直至两公路相交;方案二:分 别从 A、B 沿与公园相切的方向修路,至切点处,再环绕公园修路,直至连接两个切点.试问 两种方案哪种更好?

命题趋势
圆是解析几何中相对独立的内容,命题形式较为灵活,可以单独命制求圆的方程、半径等的 选择题或填空题,也可以与直线、圆锥曲线结合命制选择题、填空题以及解答题.在近几年 的高考中,圆的方程的形式以及直线与圆的位置关系是考查的重点.另外对圆的方程的应用 的考查,例如利用圆的方程解决实际问题,利用直线与圆的位置关系解决范围问题、最值问 题、方程解的个数问题等也有所升温.对知识点的熟悉和常规技能的掌握是解决这类问题的 关键.

高考真题
1.(2011· 高考安徽卷)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心, 则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3 D.-3 2.(2011· 高考广东卷)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实 数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( ). A.4 B.3 C.2 D.1 ).

3.(2011· 高考湖北卷)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则 直线 l 的斜率为________. 4.(2011· 高考全国课标卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在 圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

补充 1.(2011· 高考全国卷)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离 |C1C2|=(
2

).A.4 B.4 2
2

C.8 D.8 2

补充 2. 求与圆x +y -2x=0外切且与直线x+ 3y=0相切于点M(3,- 3)的圆的方程。
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