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含参数的一元二次不等式的解法


复习回顾

如何求解一元二次不等式?

如:求不等式-3x2 +19 x-6 ? 0的解集
3x 2 -19 x+6 ? 0 分析:

(3x-1)(x-6) ? 0

1 相对应方程(3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3

1 不等式的解集( , ) 6 3

解一元二次不等式的步骤

(1)化成标准形式 ax +bx+c>0或ax +bx+c<0(a>0)
2 2

(2) 因式分解,不能因式分解的判断判别式△与0 的关系,求出相应一元二次方程的实根; (3)写出不等式的解集.

考点 例1

含参数的一元二次不等式

1 1 含参数的不等式的解法以及一 2+bx+2>0的解集为 { x ? 考 ? x ? 则a+b }, 若不等式ax 2 3 元二次函数、一元二次方程、 的值为( ) 情 一元二次不等式之间的联系的 A.-14 B.-15 综合应用问题是高考的热点, 分 C.-16 D.-17 重点考查学生的运算能力以及 析 数形结合和分类讨论的思想



解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2

解析:原不等式等价于 x ? 1)( x ? a) ? 0 (
相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2

? ?a

? a >0 ??a ? 0

-a

1

不等式的解集为(-?, ) ? (1,+?) -a



解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
2

变式:解不等式x +(a-1)x-a>0(a ? R)

( 解析:原不等式等价于 x ? 1)( x ? a) ? 0
相对应一元二次方程的两根 x1 ? 1, x2 ? ?a

-a

1 (-a)

-a

(1)-a<1(2) -a=1 (3)-a>1

例3

解不等式ax +(a-1)x-1>0(a ? R)
2

二次项含有参数应如何求解?

考点

含参数的一元二次不等式
y x1 O
x2 x

y x1 O
x2 x

解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a ? R)

成果验收

课堂练习:

若不等式( x2 ? 4 x ? 6 ? 0的解集是{-3<x<1}, 1-a) 求实数a的值.

相信我能行!

议一议:

(1)总结:含参数的一元二次不等式包含哪两种 类型? (2)如何求解含参数的一元二次不等式?

温馨提醒

考点 例1

含参数的一元二次不等式
1 1 ? x ? 则a+b }, (1)一是二次项系数为常数,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x ?

若不等式ax2+bx+2>0的解集为 的值为(

类型:

A.-14
C.-16

B.-15

(2)二次项含有参数 D.-17

议一议:

(1)总结:含参数的一元二次不等式包含哪两种 类型? (2)如何求解含参数的一元二次不等式?

温馨提醒

解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项系数为参数时,应讨论是等于 0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解,求出相对应方程的根, 不能确定根的大小时,应讨论方程两 根的大小关系,从而确定解集。

(1)解关于x的不等式: 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 ax

课堂总结:
(1)会求解含有参数的一元二次不等 式,一般讨论的顺序是:①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 (2)能够熟练应用分类讨论及数形结合的数 学思想。


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