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2016年河北省衡水中学高考数学四模试卷(理科)(解析版)


2016 年河北省衡水中学高考数学四模试卷(理科)
一、选择题 1.“m=±1”是“复数(1﹣m2)+(1+m)i(其中 i 是虚数单位)为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.设全集 U=R,函数 f(x)=lg(|x+1|﹣1)的定义域为 A,集合 B={x|sinπx=0},则(? ) UA)∩B

的元素个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 3.若点(sin A. B. ,cos C. )在角 α 的终边上,则 sinα 的值为( D. )

4.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图 中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m,n 分别是( )

A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10 5.函数 f(x)=sin2x 和函数 g(x)的部分图象如图所示,则函数 g(x)的解析式可以是





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A.g(x)=sin(2x﹣

) B.g(x)=sin(2x+ )

)C.g(x)=cos(2x+



D.g(x)=cos(2x﹣

6.若函数 f(x)=

的图象如图所示,则 m 的范围为(



A. C. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,2) (0,2) D. (1,2) 7.某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是(



A.1

B.

C.

D.

8.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足对任意的 n∈N*,都有 an+1﹣an≤2n,an+2﹣an≥3 ×2n 成立,则 a2014=( ) A.22014﹣1 B.22014+1 C.22015﹣1 D.22015+1 9.已知非零向量 , , 满足| ﹣ |=| |=4, ( ﹣ )?( ﹣ )=0,若对每一个确定 的 ,| |的最大值和最小值分别为 m,n,则 m﹣n 的值为( ) A.随 增大而增大 B.随 增大而减小 C.是 2 D.是 4 10.已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= ,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, 若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( A. π B.3π C. D.2π )

11.如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A =3 ,则双曲线 C

为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 的离心率为( )
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A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)= 数不可能为( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 二、填空题 13. 已知 a>0,

,关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个

展开式的常数项为 15, 则

=_______.

14.设 a,b∈R,关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解,则 ab 的取值范围 是_______. 15.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线与 x 轴交于点 C,过点 F 作它的弦 AB, 若∠CBF=90°,则|AF|﹣|BF|=_______. 16.已知数列{an}满足 a1=2,an+an+1+n2=0.则 a31=_______. 三、解答题 17.如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 BD= . (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC. ? =0.sin∠BAC= ,AB=3 ,

18.已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D’EC 的 位置,使二面角 D'﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥CD’; (2)求二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值.

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19.2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成 165.17 万人紧急转移安置,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾, 直接经济损失 12.99 亿元,距离路率市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小 明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成(0,2000], 试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失 (同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表) ; (2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过 4000 元的居民中随机抽 出 2 户进行捐款救援,设抽出损失超过 8000 元的居民为 ξ 户,求 ξ 的分布列和数学期望; (3)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况图,根 据图表格中所给数据,分别求 b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d 的值,并说明是否有 95% 以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计 500 a=30 b 捐款超过 元 d=6 捐款不超过 500 元 c 合计 P(K2≥ k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式:K2=

,n=a+b+c+d.

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,且椭圆 E 过点(0, =

) ,



,﹣

) ,点 A 是椭圆上位于第一象限的一点,且△AF1F2 的面积 S△



(1)求点 A 的坐标;

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(2)过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于点 P、Q,直线 AP、AQ 分别与 x 轴相交于 点 M、N,点 C( ,0) ,证明:|CM|?|CN|为定值,并求出该定值.

21.已知函数 f(x)=(ax2+bx+a﹣b)ex﹣ (x﹣1) (x2+2x+2) ,a∈R,且曲线 y=f(x) 与 x 轴切于原点 O. (1)求实数 a,b 的值; (2)若 f(x)?(x2+mx﹣n)≥0 恒成立,求 m+n 的值. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,PA 为四边形 ABCD 外接圆的切线,CB 的延长线交 PA 于点 P,AC 与 BD 相交 于点 M,PA∥BD (1)求证:∠ACB=∠ACD; (2)若 PA=3,PC=6,AM=1,求 AB 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1,﹣2) ,直线 l: (t 为参数) ,以坐标原

点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ,直线 l 和曲线 C 的交点为 A,B. (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|+|PB|. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=2|x﹣1|﹣a,g(x)=﹣|2x+m|,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x) ≥﹣1 的整数解有且仅有一个值为﹣2. (1)求整数 m 的值;

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(2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= g(x)的上方,求实数 a 的取值范围.

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2016 年河北省衡水中学高考数学四模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.“m=±1”是“复数(1﹣m2)+(1+m)i(其中 i 是虚数单位)为纯虚数”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合纯虚数的概念进行判断即可. 【解答】解:若复数(1﹣m2)+(1+m)i 为纯虚数, 则满足 ,即 ,



解得 m=1, 当 m=﹣1 时,复数(1﹣m2)+(1+m)i=0 为实数,不是纯虚数, 即“m=±1”是“复数(1﹣m2)+(1+m)i(其中 i 是虚数单位)为纯虚数”的必要不充分条件, 故选:C 2.设全集 U=R,函数 f(x)=lg(|x+1|﹣1)的定义域为 A,集合 B={x|sinπx=0},则(? ) UA)∩B 的元素个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】由对数式的真数大于 0 求得集合 A,求解三角方程化简集合 B,然后利用交、并、 补集的混合运算得答案. 【解答】解:由|x+1|﹣1>0,得|x+1|>1,即 x<﹣2 或 x>0. ∴A={x|x<﹣2 或 x>0},则?UA={x|﹣2≤x≤0}; 由 sinπx=0,得:πx=kπ,k∈Z,∴x=k,k∈Z. 则 B={x|sinπx=0}={x|x=k,k∈Z}, 则(?UA)∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k,k∈Z}={﹣2,﹣1,0}. ∴(?UA)∩B 的元素个数为 3. 故选:C.

3.若点(sin A. B.

,cos C.

)在角 α 的终边上,则 sinα 的值为( D.



【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解 sinα 的值. 【解答】解:角 α 的终边上一点的坐标为(sin 则由任意角的三角函数的定义,可得 sinα= ,cos , )即( , ) ,

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故选:A. 4.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图 中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m,n 分别是( )

A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10 【考点】茎叶图;循环结构. 【分析】算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于 80 的人数, 和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数,根据茎叶图可得 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中,成绩 大于等于 80 的人数,和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数, 由茎叶图得,在 50 名学生的成绩中,成绩大于等于 80 的人数有 80,80,81,84,84,85, 86,89,90,91,96,98,共 12 人,故 n=12, 由茎叶图得,在 50 名学生的成绩中,成绩小于 60 的人数有 43,46,47,48,50,51,52, 53,53,56,58,59,共 12 人, 则在 50 名学生的成绩中,成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50﹣12﹣12=26,故 m=26 故选:B. 5.函数 f(x)=sin2x 和函数 g(x)的部分图象如图所示,则函数 g(x)的解析式可以是





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A.g(x)=sin(2x﹣

) B.g(x)=sin(2x+ )

)C.g(x)=cos(2x+



D.g(x)=cos(2x﹣

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由图象可得 g(x)的图象经过点( 【解答】解:代值计算可得 f( )=sin , ≠ = , , ) , ,故错误; ) ,逐个选项验证可得.

由图象可得 g(x)的图象经过点( 代入验证可得选项 A,g( 选项 B,g( 选项 D,g( 选项 C,g( 故选:C. )=sin )=cos )=cos )=sin ≠

,故错误; =≠ = ,故错误;

=﹣cos =cos

,故正确.

6.若函数 f(x)=

的图象如图所示,则 m 的范围为(



A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,2)

C. (0,2) D. (1,2)

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断. 【解答】解:∵当 x>0 时,f(x)>0,∴2﹣m>0,故 m<2. f′(x)= .

∵f(x)由两个绝对值大于 1 的极值点,∴m﹣x2=0 由两个绝对值大于 1 的解, ∴m>1. 故选:D. 7.某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是( )

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A.1

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】作出几何体的直观图,根据几何体的结构特征计算各个面的面积. 【解答】解:由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥 P﹣ABCD,P 在底面的投影 E 在 DA 的延长线上,且 PE=AE=AD=CD=1, ∴S△ PAD= PF= ∴S△ PCD= = = , S 底面 ABCD=1×1=1, PA= , = ,S△ PAB= = .S△ PBC= = . = PD= , = ,

∴在四棱锥的五个面中,△PCD 的面积最大. 故选 C.

8.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足对任意的 n∈N*,都有 an+1﹣an≤2n,an+2﹣an≥3 ×2n 成立,则 a2014=( ) 2014 2014 A.2 ﹣1 B.2 +1 C.22015﹣1 D.22015+1 【考点】数列递推式. 【分析】由 an+2﹣an≥3×2n,得 an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2n,结合 an+1﹣an≤2n 得 ,则

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得到 an+1﹣an≥2n,进一步得到 则答案可求. 【解答】解:由 an+2﹣an≥3×2n,得 an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2n①, 且 即 ①+②得:an+1﹣an≥2n, 又 an+1﹣an≤2n, ∴ . , ②,

.然后利用累加法求出数列{an}的通项公式,

∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2n﹣1+2n﹣2+…+22+21+1 = .

∴ 故选:A.



9.已知非零向量 , , 满足| ﹣ |=| |=4, ( ﹣ )?( ﹣ )=0,若对每一个确定 的 ,| |的最大值和最小值分别为 m,n,则 m﹣n 的值为( ) A.随 增大而增大 B.随 增大而减小 C.是 2 D.是 4 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】通过假设 =(4,0) 、 =(2,2 ) 、 =(x,y) ,利用( ﹣ )?( ﹣ )=0, 计算可得向量 的终点在以(3, )为圆心、半径等于 2 的圆上,进而可得结论. 【解答】解:假设 =(4,0) 、 =(2,2 ) 、 =(x,y) , ∵( ﹣ )?( ﹣ )=0, ∴(4﹣x,﹣y)?(2﹣x,2 ﹣y)=x2+y2﹣6x﹣2 y+8=0, 即(x﹣3)2+(y﹣ )2=4, ∴满足条件的向量 的终点在以(3, )为圆心、半径等于 2 的圆上, ∴| |的最大值与最小值分别为 m=2+2 ,n=2 ﹣2, ∴m﹣n=4, 故选:D. 10.已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= ,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, 若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( ) A. π B.3π C. D.2π

【考点】球的体积和表面积.

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【分析】求出 P 到平面 ABC 的距离为 得 R2=( )2+d2=( )2+(

,AC 为截面圆的直径,AC=

,由勾股定理可

﹣d)2,求出 R,即可求出球的表面积. ,

【解答】解:由题意,AC 为截面圆的直径,AC= 设球心到平面 ABC 的距离为 d,球的半径为 R, ∵PA=PB=1,AB= , ∴PA⊥PB, ∵平面 PAB⊥平面 ABC, ∴P 到平面 ABC 的距离为 由勾股定理可得 R2=( ∴d=0,R2= , ∴球的表面积为 4πR2=3π. 故选:B. . )2+d2=( )2+(

﹣d)2,

11.如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A =3 ,则双曲线 C

为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论. 【解答】解:因为∠PAQ=60°且 =3 , 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0) ,取 PQ 的中点 M,则 AM=

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由勾股定理可得(2R)2﹣R2=( 所以(ab)2=3R2(a2+b2)① 在△OQA 中, ①②结合 c2=a2+b2,可得 故选:B.

)2,

= ,所以 7R2=a2②

=



12.已知函数 f(x)=

,关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个

数不可能为( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 【分析】由基本不等式可得 x+ ﹣2≥0 或 x+ ﹣2≤﹣4,再作出函数 f(x)

=

的图象,从而由图象分类讨论,从而由此分析关于 x 的方程 f

(x+ ﹣2)=a 的实根个数. 【解答】解:由基本不等式可得, x+ ﹣2≥0 或 x+ ﹣2≤﹣4;

作函数 f(x)=

的图象如下,

①当 a>2 时,x+ ﹣2<﹣24 或 0<x+ ﹣2<1, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 4;

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②当 a=2 时,x+ ﹣2=﹣24 或 0<x+ ﹣2<1 或 x+ ﹣2=2, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 6; ③当 1<a<2 时,﹣24<x+ ﹣2<﹣4 或 0<x+ ﹣2<1 或 1<x+ ﹣2<2 或 2<x+ ﹣2 <3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 8; ④当 a=1 时,x+ ﹣2=﹣4 或 0<x+ ﹣2<1 或 1=x+ ﹣2 或 x+ ﹣2=3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 7; ⑤当 0<a<1 时,﹣4<x+ ﹣2<0 或 3<x+ ﹣2<4, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 6; ⑥当 a=0 时,x+ ﹣2=0 或 3<x+ ﹣2<4, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 3; ⑦当 a<0 时,x+ ﹣2>3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 2. 故选 A. 二、填空题 13.已知 a>0, . 【考点】二项式定理;微积分基本定理. 【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得 a 的值,再利用积分的运算性质、法则, 求得要求式子的值. 【解答】解:由 令 的展开式的通项公式为 Tr+1= ,可得 a=1, ?(﹣1)r?a6﹣r? , 展开式的常数项为 15,则 =

=0,求得 r=2,故常数项为

因此原式为

=


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故答案为:



14.设 a,b∈R,关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解,则 ab 的取值范围 是 [﹣16,16] . 【考点】几何概型. 【分析】画出不等式表示的可行域,通过对 a,b 的符号讨论,然后求解 ab 的取值范围 【解答】解:关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 表示的可行域如图的阴影部分:可行域与坐标 轴的交点坐标(1,0) , (0,1) , (0,﹣1) , (﹣1,0) ,

关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解,则 ax+4by≥8 表示的范围在可行域 外侧, 当 a>0,b>0 时满足题意,可得 ≥1, ≥1,可得 0<ab≤16, 当 a>0,b<0 时满足题意,可得 ≤ab<0, 当 a<0,b>0 时满足题意,可得 ≤ab<0, 当 a<0,b<0 时满足题意,可得 , ,可得:﹣2≤b<0,﹣8≤a<0,∴0 , ,可得:0<b≤2,﹣8≤a<0 可得﹣16 ﹣1, ,可得:﹣2≤b<0,0<a≤8 可得﹣16

<ab≤16, 当 ab=0 时,不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解; 故 ab 的取值范围是:[﹣16,16]; 故答案为:[﹣16,16]. 15.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线与 x 轴交于点 C,过点 F 作它的弦 AB, 若∠CBF=90°,则|AF|﹣|BF|= 2P . 【考点】抛物线的简单性质.

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【分析】先假设方程与抛物线方程联立,借助于求出点的坐标,从而求出线段长,进而求出 |AF|﹣|BF|. 【解答】解:设 AB 方程为:y=k(x﹣ ) (假设 k 存在) ,与抛物线 y2=2px(p>0)联立 得 k2(x2﹣px+ )=2px, =0

即 k2x2﹣(k2+2)px+

设两交点为 A(x2,y2) ,B(x1,y1) ,∠CBF=90°即(x1﹣ ) (x1+ )+y12=0, ∴x12+y12= ∴B( ∵x1x2= ∴x2= ∴A( ,﹣ ) ,|AF|= , ,x1= ,∴x12+2px1﹣ , , =0,即(x1+p)2= p2,解得 x1= ) ,|BC|= ,|BF|= , ,

∴|AF|﹣|BF|=2P, 故答案为 2P. 16.已知数列{an}满足 a1=2,an+an+1+n2=0.则 a31= ﹣463 . 【考点】数列递推式. 【分析】由已知数列递推式可得 .然后分别取 1=﹣2n+1(n≥2) 得 ∴ , (n≥2) , (n≥2) ,两式作差可得 an+1﹣an﹣

n=2,4,…,30,得到 15 个等式,累加即可求得 a31. 【解答】解:在数列{an}中,由 an+an+1+n2=0,

两式作差得:an+1﹣an﹣1=﹣2n+1(n≥2) . ∴a3﹣a1=﹣3,a5﹣a3=﹣7,a7﹣a5=﹣11,…,a31﹣a29=﹣59. 累加得: ∴a31=﹣463. 故答案为:﹣463. 三、解答题 17.如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 BD= .
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?

=0.sin∠BAC=

,AB=3



(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC.

【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【分析】 (I)通过向量的数量积,判断垂直关系,求出 cos∠BAD 的值,在△ABD 中,由 余弦定理求 AD 的长; (Ⅱ) 在△ABD 中, 由正弦定理, 求出 sin∠ADB, 通过三角形是直角三角形, 即可求 cosC. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ? =0, ∴AD⊥AC, ∴ ∵sin∠BAC= ∴ , …. ,

在△ABD 中,由余弦定理可知 BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcos∠BAD, 即 AD2﹣8AD+15=0, 解之得 AD=5 或 AD=3 …. 由于 AB>AD, ∴AD=3….. (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理可知 又由 可知 ∴ , = , , , ,

∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= ∴ .…

18.已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D’EC 的 位置,使二面角 D'﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥CD’; (2)求二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值.

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【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)一般是通过证明线面垂直得到线线垂直,即证明其中一条直线与另一条直线所 在的平面垂直. (2)利用向量法求二面角的平面角,建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平 面的法向量,进而求出二面角的余弦值. 【解答】解: (1)证明:∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形,∠BEC=90°, 又∵平面 D'EC⊥平面 BEC,面 D'EC∩面 BEC=EC ∴BE⊥面 D'EC,∴BE⊥CD’. (2)如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角 坐标系. 则 设平面 BEC 的法向量为 ;平面 D'BC 的法向量为 ,

代入整理可得:

不妨取 x2=l 得 ,



∴二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值为



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19.2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成 165.17 万人紧急转移安置,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾, 直接经济损失 12.99 亿元,距离路率市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小 明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成(0,2000], 试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失 (同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表) ; (2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过 4000 元的居民中随机抽 出 2 户进行捐款救援,设抽出损失超过 8000 元的居民为 ξ 户,求 ξ 的分布列和数学期望; (3)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况图,根 据图表格中所给数据,分别求 b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d 的值,并说明是否有 95% 以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 4000 元 经济损失超过 4000 元 合计 a=30 b 捐款超过 500 元 d=6 捐款不超过 500 元 c 合计 P(K2≥ k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式:K2=

,n=a+b+c+d.

【考点】独立性检验的应用;频率分布直方图. 【分析】 (1)根据频率分布直方图,即可估计小区平均每户居民的平均损失; 2 ( )由频率分布直方图,得损失超过 4000 元的居民有 15 户,ξ 的可能取值为 0,1,2,分 别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ; (3)求出 K2,与临界值比较,即可得出结论.
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【解答】解: (1)记每户居民的平均损失为 元,则: =×2000=3360; (2)由频率分布直方图可得,损失超过 4000 元的居民共有: (0.00009+0.00003+0.00003) ×2000×50=15 户, 损失超过 8000 元的居民共有:0.00003×2000×50=3 户, ∴ξ 的可能取值为 0,1,2, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ P Eξ=0× +1× +2×

0

1

2

= ;

(3)如表: 经济损失不超过 4000 元 捐款超过 30 500 元 捐款不超 5 过 500 元 35 合计 K2=

经济损失超过 4000 元 9 6 15 ≈4.046>3.841,

合计 39 11 50

∴有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关.

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,且椭圆 E 过点(0, =

) ,



,﹣

) ,点 A 是椭圆上位于第一象限的一点,且△AF1F2 的面积 S△



(1)求点 A 的坐标; (2)过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于点 P、Q,直线 AP、AQ 分别与 x 轴相交于 点 M、N,点 C( ,0) ,证明:|CM|?|CN|为定值,并求出该定值.

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【考点】椭圆的简单性质.

【分析】 (1)由于椭圆 E 过点(0,

) , (

,﹣

) ,联立

,可得椭圆

的方程.由于△AF1F2 的面积 S△ AF1F2= 圆方程可得得 xA.即可得出 A 的坐标.

,利用

=

,可得 yA=1,代入椭

my=x﹣3, P y1) Q y2) y﹣1= (2) 设直线 l 的方程为: (x1, , (x2, . 直线 AP 的方程为:

M (x﹣2) ,

. 同理可得 N

. 联立



化为: (2+m2)y2+6my+3=0.利用根与系数的关系可得 y1+y2,y1y2.即可证明|CM|?|CN| 为定值. 【解答】 (1)解:由于椭圆 E 过点(0, ) , ( ,﹣ ) ,



,解得 b=c=

,a2=6,

∴椭圆 E 的方程为: ∵△AF1F2 的面积 S△ AF1F2= ∴ = ,

. .

∴yA=1,代入椭圆方程可得:



∵xA>0,解得 xA=2. ∴A(2,1) . (2)证明:设直线 l 的方程为:my=x﹣3,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .

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直线 AP 的方程为:y﹣1=

(x﹣2) ,可得 M

,即

M



直线 AQ 的方程为:y﹣1=

(x﹣2) ,可得 N

,即

N



联立

,化为: (2+m2)y2+6my+3=0.

△>0,可得 m2>1. ∴y1+y2= , .

∴|CM|?|CN|=

?

=

=

=

=

= ,为定值.

21.已知函数 f(x)=(ax2+bx+a﹣b)ex﹣ (x﹣1) (x2+2x+2) ,a∈R,且曲线 y=f(x) 与 x 轴切于原点 O. (1)求实数 a,b 的值; (2)若 f(x)?(x2+mx﹣n)≥0 恒成立,求 m+n 的值. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,由题意可得 f′(0)=a=0,f(0)=(a﹣b)+1=0,即可得 到 a,b 的值;

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=ex﹣ (x2+2x+2) (2) 由题意可得 (x﹣1) [ex﹣ (x2+2x+2) ]? (x2+mx﹣n) ≥0, (*) 由g (x) , 求出导数和单调区间,可得(x﹣1) (x2+mx﹣n)≥0 恒成立,即有 0,1 为二次方程 x2+mx ﹣n=0 的两根,即可得到 m,n 的值,进而得到 m+n 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)=(ax2+bx+a﹣b)ex﹣ (x﹣1) (x2+2x+2)的导数为 f′(x)=ex(2ax+ax2+bx+a)﹣ (3x2+2x) , 由曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点 O,可得 f′(0)=a=0,f(0)=(a﹣b)+1=0, 即有 a=0,b=1; (2)f(x)?(x2+mx﹣n)≥0 恒成立,即为 [(x﹣1)ex﹣ (x﹣1) (x2+2x+2)]?(x2+mx﹣n)≥0, 即有(x﹣1)[ex﹣ (x2+2x+2)]?(x2+mx﹣n)≥0, (*) 由 g(x)=ex﹣ (x2+2x+2)的导数为 g′(x)=ex﹣x﹣1, 设 h(x)=ex﹣x﹣1,h′(x)=ex﹣1, 当 x≥0 时,h′(x)≥0,h(x)递增,可得 h(x)≥h(0)=0, 即 g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)递增, 可得 g(x)≥g(0)=0,即 ex﹣ (x2+2x+2)≥0; 当 x≤0 时,h′(x)≤0,h(x)递减,可得 h(x)≤h(0)=0, 即 g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)递减, 可得 g(x)≤g(0)=0,即 ex﹣ (x2+2x+2)≤0. 由(*)恒成立,可得 x≥0 时, (x﹣1) (x2+mx﹣n)≥0 恒成立, 2 且 x≤0 时, (x﹣1) (x +mx﹣n)≤0 恒成立, 即有 0,1 为二次方程 x2+mx﹣n=0 的两根, 可得 n=0,m=﹣1, 则 m+n=﹣1. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,PA 为四边形 ABCD 外接圆的切线,CB 的延长线交 PA 于点 P,AC 与 BD 相交 于点 M,PA∥BD (1)求证:∠ACB=∠ACD; (2)若 PA=3,PC=6,AM=1,求 AB 的长.

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【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (1)利用弦切角定理及平行线的性质,证明:∠ACB=∠ACD; (2)由切割线定理及△AMB~△ABC,求 AB 的长. 【解答】 (1)证明:∵PA 为切线,∴∠PAB=∠ACB. ∵PA∥BD,∴∠PAB=∠ABD=∠ACD, ∴∠ACB=∠ACD… (2)解:已知 PA=3,PC=6,AM=1,由切割线定理 PA2=PB?PC 得: ∵PA∥BD,得 又知△AMB~△ABC,所以 所以 AB2=AM?AC=4,所以 AB=2… 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1,﹣2) ,直线 l: (t 为参数) ,以坐标原 ,

点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ,直线 l 和曲线 C 的交点为 A,B. (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|+|PB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)由代入消元法,可得直线的普通方程;运用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线 C 的普通方程; (2)求得直线 l 的标准参数方程,代入曲线 C 的普通方程,可得二次方程,运用韦达定理 和参数的几何意义,即可得到所求和. 【解答】解: (1)直线 l: (t 为参数) ,

消去 t,可得直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣3=0; 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ, 即为 ρ2sin2θ=2ρcosθ, 由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得 曲线 C 的普通方程为 y2=2x;

(2)直线 l 的标准参数方程为

(m 为参数) ,

代入曲线 C:y2=2x, 可得 m2﹣6 m+4=0,即有 m1+m2=6 ,m1m2=4, 则|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6 .

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【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=2|x﹣1|﹣a,g(x)=﹣|2x+m|,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x) ≥﹣1 的整数解有且仅有一个值为﹣2. (1)求整数 m 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= g(x)的上方,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)由题意可得|2x+m|≤1,即 ≤x≤ ,可得 ≤﹣2≤ ,

解不等式即可得到所求整数 m 的值; (2)由题意可得 2|x﹣1|﹣a>﹣|x+2|,即为 a<2|x﹣1|+|x+2|的最小值,由绝对值的含 义和一次函数的单调性,即可得到最小值,进而得到 a 的范围. 【解答】解: (1)g(x)≥﹣1 即为|2x+m|≤1,即 关于 x 的不等式 g(x)≥﹣1 的整数解为﹣2,可得 ≤x≤ ≤﹣2≤ , ,

即有 3≤m≤5, 不等式 g(x)≥﹣1 的整数解有且仅有一值为﹣2,可得整数 m=4; (2)函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= g(x)的上方, 即有 2|x﹣1|﹣a>﹣|x+2|, 即为 a<2|x﹣1|+|x+2|的最小值,

由 y=2|x﹣1|+|x+2|=



函数在(﹣∞,1)是减函数, (1,+∞)是增函数, ∴可得 x=1 时,取得最小值 3, ∴a 的范围是(﹣∞,3) .

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2016 年 9 月 12 日

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