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空间向量-学生版


空间向量

1? 空间向量的坐标表示

( 1 ) 已 知 空 间 两 点 A ? x1 , y1 , z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ? , 则 AB ? ? x2 ? x1, y 2 ? y 1 , z 2? z

uuu r

? 1;

uuu r AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

;OA ? OB= x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ; 若 OA ,OB 的 .

uuu r uuu r

uuu r

uuu r

夹角为 ? ,则 cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 1

2 2 2 x ? y12 ? z12 x2 ? y2 ? z2 ? ? (2)若直线 l 垂直平面 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 叫做平面 ? 的法向量;

(3)若直线 l 的方向向量 u ? (a1 , b1 , c1 ) ,平面 ? 的法向量 v ? (a2 , b2 , c2 ) ,则

?

?

?? l ?? ? u ? v ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0 ;

(4)若平面 ? 的法向量 u ? (a1 , b1 , c1 ) ,平面 ? 的法向量 v ? (a2 , b2 , c2 ) ,则

?

?

? ? ? ? u ? v ? u? v ?0
【注意】空间平面的法向量的求解方法:

?

?

? ?

? ? 在给定的空间直角坐标系中,设平面 ? 的法向量 n ? ( x, y,1) [或 n ? ( x,1, z ) ,
? ? ? ? ? ? 或 n ? (1, y, z ) ], 在平面 ? 内任找两个不共线的向量 a, b .由 n ? ? , 得 n?a ? 0
? ? ? 且 n ? b ? 0 ,由此得到关于 x , y 的方程组,解此方程组即可得到 n .

2? 空间向量在度量中的应用
1

(1)空间的角 ①若异面直线 l1 , l2 的方向向量为 u1 , u2 , ; l1 与 l2 所成的角为 ? ,则 cos ? ? cos?u1 , u2 ? ②已知直线 l 的方向向量为 v ,平面 ? 的法向量 u , l 与平面 ? 的夹角为 ? ,则

?? ?? ?

?? ?? ?

?

?

? ? sin ? ? cos?u, v ? ;
③ 已知二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? 和 ? 的法向量分别为 v ,u ,则 ?u , v ? 与该二面角相等 或互补;

?

?

? ?

(2)空间的距离 ①一个点到它在一个平面内射影的距离,叫做点到这个平面的距离; ②已知直线 l 平行平面 ? ,则 l 上任一点到 ? 的距离都相等,且叫做 l 到 ? 的距离; ③和两个平行平面同时垂直的直线, 叫做两个平面的公垂线, 公垂线夹在平行平面间的部分, 叫做两个平面的公垂线段, 两平行平面的任意两条公垂线段的长度都相等, 公垂线段的长度 叫做两平行平面的距离,也是一个平面内任一点到另一个平面的距离; ④若平面 ? 的一个法向量为 u ,P 是平面 ? 外一点,A 是 ? 内任一点,则点 P 到平面 ? 的

?

??? ? ? PA? u 距离 d ? ? u

2

空间向量的坐标表示

例题精讲
【例 1 】已知 A??1,0,3? , B?2, y, z ? ,且直线 AB 的一个方向向量是 a ? (1,?1,2) ,则

y?

,z ? 且 a 分别与 AB, AC 垂直, 3,

【例 2】 已知空间三点 A(0,2,3), B(?2,1,6), C (1,?1,5). 若 a ? 求向量 a 的坐标

【例 3】已知 A(2,0,0) , B(0,1,0) , C (0,0,1) ,那么平面 ABC 的一个单位法向量的坐标是

【例 4】已知平面 ? 外一点 P , PQ ? 面 ? , Q ? 面 ? ,则点 P 到平面 ? 的距离_______;

uuu r

uuuu r r PM ? n r 若 PM 与平面 ? 斜交, M ? 面 ? ,且 n 是平面 ? 的法向量,则 的几何意义为 r n
_________

? 的法向量夹角为 ? , 【例 5】 已知二面角 ? ? l ? ? , 设? , 则二面角的平面角 ? ? _______,
r r r r cos ? ? _______;若 a , b 分别是在 ? , ? 平面内与 l 垂直的向量,设 a , b 的夹角为 ? ,
则二面角的平面角 ? ? _______, cos ? ? _______ 【例 6】已知直线与平面相交,设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 ? ,则直线与平 面的夹角 ? ? _______, sin ? ? ____

过关演练
1. 已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) , 若a ? b , 则 x ? ______; 若 a // b 则 x ? ______. 2.设平面 ? 的法向量为 (1, 2,-2) ,平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k ) ,若 ? ? ? ,则 k =__________. 3.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( )

?

?

?

?

?

?

A. (?3,?1,4)

B. (?3,?1,?4)

C. (3,1,4)

D. (3,?1,?4)

3

4.若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为

?

?

?

?

A. 2

B. ? 2

C. ? 2 或

2 55

8 ,则 ? 等于( 9 2 D. 2 或 ? 55



5. 已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ),b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值为





A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5
?

D.

11 5

6.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______。

?

?

?

? ?

?

?

?

?

7.已知向量 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,若 a, b 成 1200 的角,则 k ?



8 . 若 A(0, 2,

19 5 5 ) , B (1, ?1, ) , C ( ?2,1, ) 是 平 面 ? 内 的 三 点 , 设 平 面 ? 的 法 向 量 8 8 8

? a ? ( x, y, z ) ,则 x : y : z ? ______________

空间向量在度量中的应用

4

例题精讲
【例1】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD ,

PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M 、N 分别为 PC、PB 的中点.
(1)求证: PB ? AM ; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角. N

P

M A D C

B

【例 2】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M .
(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.
A M P

D

O B C

5

【例 3】设在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?BAC ? 90 , E , F 依次
?

为 C1C, BC 的中点.

EF 所成角 ? 的大小(用反三角函数值表示) (1)求异面直线 A ; 1B 、
(2)求点 B1 到平面 AEF 的距离.

【例 4】已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? ABC , AB ? AC ,

PA ? AC ?

1 AB , N 为 AB 上一点, AB ? 4 AN , M , S 分别 为 PB, BC 的中点. 2

(1)证明: CM ? SN ; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

6

【例 5】如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 BC 边 上的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN ? 2C1 N . (1)求异面直线 BA1 与 MN 的夹角; (2)求直线 BA1 与平面 AMN 所成的角; (3)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (4)求点 B1 到平面 AMN 的距离.
B M C B1 C1 A1

N

A

7

【例 6】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,

AB ? ?CD, AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O , 且顶点 P 在底面射
影恰好为 O ,又 BO ? 2, PO ? 2, PB ? PD (1)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值 (2)求二面角 P ? AB ? C 的大小 (3) 设点 M 在棱 PC 上, 且 面 BMD .

PM ??, 问 ? 为何值时,PC ? 平 MC

过关演练
M 、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么 1.在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C1D 1 中,
直线 AM 与 CN 所成的角为_______

2.在长方体 ABCD — A =BC=2,AA1=, 1 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 1B 1C1D 1 中, AB 的正弦值为_______

3 .在正三棱柱 ABC — A 则二面角 C1-AB-C 的余弦值为 =, 1 AA1=2, 1B 1C1 中, AB __________.

4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 求证: (1)BD1 ⊥ BD1 交平面 ACB1 于点 E , 1B 1C1D 1 中,
8

平面 ACB1 ; (2) BE ?

1 ED1 . 2

5. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? BC . (1)若 BA ? BB1 ,求证: AB1 ? 平面 A1 BC ; (2)若 BA ? BC ? BB1 ? 2 , M 是棱 BC 上的一动点.试确定点 M 的位置,使点 M 到 平面 A1 B1C 的距离等于

2 . 2

AB ? BC , M 是 CC1 的中点, N 6. 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A 1P ? ? A 1B 1. (1) ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大; (2)在(1)的条件下求三棱锥 P ? MNC 的体积.

????

???? ?

直击高考
一、填空题 1. (2009 年高考 5)如图,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面 直线 BD1 与 AD 所成角的大小是 . (结果用反三角函数值表示)

9

2. (2009 年高考理 8)已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表 面积 S1 , S 2 , S 3 满足的等量关系是 3. (2009 年高考文 6) 若球 O1 , O2 的面积之比 .

S1 R 则它们的半径之比 1 ? ? 4, S2 R2



4. (2009 年高考文 8)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是 . . 5. (2010 年春季高考 10)各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V ? 长最短 50cm ,最长 80cm ,则斜截圆柱的侧面面积 S ?

6. (2010 年春季高考 13)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40cm ,母线

cm2 .

80cm 50cm

40cm 7. (2010 年高考理 12)如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,剪去 V AOB ,将剩余部分沿 OC , OD 折叠,使 OA, OB 重合,则以 A( B),

C, D, O 为顶点的四面体的体积是



8. (2010 年高考文 6)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方体,侧棱 PA ? 底面

ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱锥的体积是
(如图) , AB 与 CD 所成角的大小是 .



9. (2011 年春季高考 13)有一种多面体的饰品,其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成

10

10. (2011 年高考理 7) 若圆锥的侧面积为 2? , 底面面积为 ? , 则该圆锥的体积为



11. (2011 年高考文 7)若一个圆锥的主视图是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的侧面 积为 .

12. (2012 年高考理 6)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积 2


13. (2012 年高考理 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积 为 . 14. (2012 年高考理 14)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若

AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2 a ,其中 a , c 为常数,则四面体 ABCD 的体积
的最大值是 .

15. (2012 年高考文 5) 一个高为 2 的圆柱, 底面周长为 2? , 该圆柱的表面积为



16. (2013 年春季高考 9) 在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 . D1 A1 D A B B1 C C1

2 2 17 . ( 2013 年 高 考 理 13 ) 在 xOy 平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧 ( x ?1) ? y ? 1 ( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D ,如图中阴
影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? .过 (0, y ) (| y |? 1) 作 ? 的水平截面,
2 所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? .试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得

11

出 ? 的体积值为



18. (2013 年高考文 10)已知圆柱 ? 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上底面圆心, A 、



B 是下底面圆周上两个不同的点, BC 是母线,如图.若直线 OA 与 BC 所成角的大小 ? l
6
,则

r

?



19. (2014 年高考理 6 文 7)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大 小为 (结果用反三角函数值表示) .

20. (2014 年高考文 8)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切 割掉的两个小长方体的体积之和等于

二、选择题 1. (2013 年春季高考 21)若两个球的表面积之比为 1 : 4 ,则这两个球的体积之比为( A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1 : 8 D. 1:16 )

2. (2009 年高考文 16) 如图,已知三棱锥的底面是直角△ ,直角边长分别为 3 和 4 ,过直角顶点 的侧棱长为 4 ,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )

? A?
4 4

? B?
4 3

?C ?
12

3 4

? D?
5 4

三、解答题 1. (2009 年春季高考 16)如图,在斜三棱柱 ABC ? A 1 AC ? ?ACB ? 1B 1C1 中, ?A

?
2



?AA1C ?

?
6

,侧棱 BB1 与底面所成的角为

? BC ? 4 . 求斜三棱柱 , AA 1 ? 4 3, 3

V . ABC ? A 1B 1C 1 的体积

2. (2009 年高考理 19)如图,在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中, AA? ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B? ? A?C ? C ? 的大小.

3. (2010 年春季高考 21)已知地球半径约为 6371 千米. 上海的位置约为东经 121° 、北纬 31° ,大连的位置约为东经 121° 、北纬 39° ,里斯本的位置约为西经 10° 、北纬 39° . (1)若飞机以平均速度 720 千米/小时,飞行,则从上海到大连的最短飞行时间约为多少 小时?(飞机飞行高度忽略不计,结果精确到 0.1 小时) (2)求大连与里斯本之间的球面距离. (结果精确到 1 千米)

13

北 极 大连 里斯本 上海 赤 道

O

南极

4. (2010 年高考理 21)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨 架,总计耗用 9.6 米铁丝.骨架将圆柱底面 8 等分.再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧 面和下底面(不安装上底面) . (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该最大值(精确到 0.01 平方 米) ; (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为端点,安装一些霓虹灯.当灯笼底面半径为 0.3 米时,求图中两根直线型霓虹灯 A 1 B3 , A 3 B5 所在异面直线所成角的大小(结果用反三角 函数值表示) .
B8 B1 B2 B7 B6 B5 B3 B4

A8 A1 A2

A7

A6 A5

A3

A4

5. (2011 年春季高考 20) 某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥 形 (如图) ,现把半径为 10 cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面 (蛋 皮的厚度忽略不计) ,求该蛋筒冰激凌的表面积和体积. (精确到 0.01 )

14

6. (2011 年高考理 21)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 为 AC 1 1与

B1D1 的交点.
(1)设 AB1 与底面 A 1B 1C1D 1 所成角的大小为 ? ,二面角 A ? B 1D 1?A 1 的大小为 ? 求证: tan ? ? 2 tan ? ; (2)若点 C 到平面 AB1D 1 的距离为

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的高. 3

7. (2011 年高考文 20)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ?2 (1)求异面直线 BD 与 AB1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求四面体 AB1D1C 的体积.

8. (2012 年春季高考 19)如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,

M 为线段 AB 的中点.求:
15

(1)三棱锥 C1 ? MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

9. (2012 年高考理 19)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥底面

ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求:
(1)三角形 PCD 的面积. (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

10. (2012 年高考文 19)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , D 是 PC 的中 点,已知∠ BAC =

? , AB ? 2 , AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求: 2

(1)三棱锥 P ? ABC 的体积. (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小. (结果用反三角函数值表示)

11. (2013 年春季高考 25)如图,在正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 6 ,异面直线 BC1 与

16

AA1 所成角的大小为

? ,求该三棱柱的体积. 6
A1 B1 C1

A B

C

12. (2013 年高考理 19)如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,

AA ' ? 1 . 证明直线 BC ' 平行于平面 D ' AC ,并求直线 BC ' 到平面 D ' AC 的距离.

13. (2013 高考文 19)如图,正三棱锥 O ? ABC 的底面边长为 2,高为 1,求该三棱锥的体 积及表面积.

14. (2014 高考理 19 文 19)底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC ,其表面展开图是三角 形P 1P 2P 3 ,如图,求 ?PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的体积 V .

17


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