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高考文数试题分类集训之解答题03--立体几何--答案


Just do it !

高考文数试题分类集训之解答题 03
立体几何 1、(I)证明(方法一):∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………2 分 取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC .
………………………………………………………………3 分 又∵ BE ? DE ? E , ……………………………………4 分 BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED , ∴ AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分 ∴ AC ? BD ………………………………………………6 分 (方法二):过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .连接 AH .…1 分 ∵ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∴ ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ BD .…………………3 分 又∵ AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , ∴ BD ⊥平面 ACH .……………………………………5 分 又∵ AC ? 平面 ACH , ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分 (方法三): AC ? BD ? ( BC ? BA) ? BD ………………2 分

A

E B D

C

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ………4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分 ∴ AC ? BD .……………………………………………6 分 (II)解: 过 C 作 CH ⊥ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , 又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD , ∴ CH ⊥平面 ABD . ……………………………………8 分 过 H 做 HK ⊥ AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分 ∵ CH ⊥平面 ABD ,∴ CH ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , ∴ AD ⊥平面 CHK ,∴ CK ⊥ AD .…………………10 分 ∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. …………11 分 连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ BD . ? ∵ ?ABD ? ?CBD ? 60 , AB ? BC ? 2 ,
5 3 ,∴ DH ? . ………12 分 2 2 AH ? DH 3 7 21 ∴ AD ? ∴ HK ? .…………………………13 分 ? AD 7 2 CH 21 ∴ tan?CKH ? ,…………………………………………14 分 ? HK 3 30 ∴ cos ?CKH ? . 10 30 ∴二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 .…………15 分 10
∴ AH ? CH ?

3 , BH ? 1 .∵ BD ?

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1

Just do it ! 2、解:(I)过 B 做 BH ⊥ AC 于 H ……2 分 Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ,平面 ACD I 平面 ABC ? AC

? BH ⊥平面 ACD ……4 分 ?BH ⊥ CD B HI B C ? B 又 Q CD ⊥ BC ? CD ? 平面 ABC ……7 分 (II)解法 1: Q BH ⊥平面 ACD 连结 DH 则 ?BDH 为求直线 BD 与平面 ACD 所成角……11 分

Q A B? B C?1, A C ? 3 ? ?ABC ? 120o
Q BH ? 1 2
又 Q BD ?

又 Q BH ? AC

2

?BDH ? ?sin

BH 2 ……15 分 ? BD 4
2 . 4

? 直线 BD 与平面 ACD 所成角的正弦值等于

解法 2:设直线 BD 与平面 ACD 所成角为 ? , B 到平面 ACD 的距离为 d

Q AB ? BC ? 1, AC ? 3
? S?ABC ?

? ?ABC ? 120o

1 3 1 3 AC ? BC ? sin ?ACB ? , S?ACD ? AC ? CD ? …………………9 分 2 4 2 2

1 1 1 Q VD? ABC ? VB? ACD Q CD ? 平面 ABC ? S?ACD ? d ? S ?ABC ? CD ? d ? ……12 分 2 3 3
又 Q BD ? 2 3、

?? ?sin

d 2 ? ……15 分 BD 4

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2

Just do it ! 4、(Ⅰ)设点 O 为 AC,BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的中垂线. 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 APC. (Ⅱ)连结 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG,所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成 的角. 由题意得 OG=

1 3 PA= . 2 2

在△ABC 中,AC= 所以 OC=

AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 2 3 ,

1 AC= 3 . 2

在直角△OCD 中,OD= CD2 ? OC 2 =2.

OD 4 3 . ? OG 3 4 3 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 . 3 (Ⅲ)连结 OG.因为 PC⊥平面 BGD,OG ? 平面 BGD,所以 PC⊥OG. 在直角△PAC 中,得 PC= 15 .
在直角△OGD 中,tan∠OGD= 所以 GC=

PG 3 3 15 AC ? OC 2 15 ? . .从而 PG= ,所以 ? GC 2 5 PC 5

5、(1)(i)因为 C1B1 / / A 1D 1 , C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1 B1 / / 平面 ADD1 A1. 又因为平面 B1C1EF 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1B1 / / EF .所以 A1D1 / / EF .

(ii)因为 BB1 ? A1B1C1D1 ,所以 BB1 ? B1C1 ,又因为 BB1 ? B1 A1 ,所以 B1C1 ? ABB1 A 1, 在 矩 形 ABB1 A ?A1 B1 F? t a ? n A 1A B ? 1 中 , F 是 AA 的 中 点 , 即 t a n

2 .即 2

?A1B1F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1F .,所以 BA1 ? 平面 B1C1EF .
(2) 设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1 H .

AB ? 2 ,AA1 ? 2 , 由 (1) 知 B1C1EF , 所以 ?BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A 1 中,
得 BH ?

4 4 ,在直角 BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6
30 BH 30 ,所以 BC 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 . ? 15 BC1 15

sin ?BC1H ?

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3

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6、(Ⅰ)证明:由 AB=AC,D 是 BC 中点,得 AD ? BC , 又 PO ? 平面 ABC,,得 PO ? BC 因为 PO ? AD ? O ,所以 BC ? 平面 PAD,故 BC ? PA. (Ⅱ)解:如图,在平面 PAB 内作 BM ? PA 于 M,连 CM。 因为 BC ? PA, 得PA ? 平面 BMC,所以 AP ? CM。 故 ?BMC 为二面角 B—AP—C 的平面角。 在 Rt ?ADB中 , AB2 ? AD2 ? BD2 ? 41, 得AB ? 在 Rt ?POD中,PD ? PO ? OD ,
2 2 2

41

在 Rt ?PDB 中, PB ? PD ? BD ,
2 2 2

所以 PB2 ? PO2 ? OD2 ? BD2 ? 36, 得PB ? 6. 在 Rt ?POA中, PA2 ? AO2 ? OP2 ? 25, 得PA ? 5. 又 cos ?BPA ?

PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 2 2 ? , 从而 sin ?BPA ? 2 PA ? PB 3 3

故 BM ? PB sin ?BPA ? 4 2 ,同理 GM ? 4 2.
2 2 2 因为 BM ? MC ? BC ,所以 ?BMC ? 90?

即二面角 B—AP—C 的大小为 90?. 7、

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4

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8 、(Ⅰ)证明:连接 DP, CQ ,

在 ?ABE 中, P, Q 分别是 AE, AB 的中点,所以 PQ //

1 BE , 又 ?? 2

DC //

??

1 BE ,所以 PQ // DC ,又 PQ ? 平面 ACD ,DC ? 平面 ACD, 所以 PQ // 平面 ACD ?? 2

(Ⅱ )在 ?ABC 中, AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ,所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC, EB // DC ,所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE, 所以平面 ABE ? 平面 ABC, 所以 CQ ? 平面 ABE 由(Ⅰ )知四边形 DCQP 是平行四边形,所以 DP // CQ 所以 DP ? 平面 ABE, 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP, 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ? DAP 在 Rt ?APD 中, AD ? 所以 sin ?DAP ?

AC2 ? DC 2 ? 22 ? 12 ? 5 , DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1

DP 1 5 ? ? AD 5 5

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5

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10、

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6

Just do it ! 11、

12、(I)证明:∵ AB ? 1, BC ? ∴ AB ? AC

2 , ?ABC ? 45 ,
……………2 分

∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ PA ? AB , 又∵ AC I AP ? A 又∵ AB P CD ∴ CD ? AE 又∵ AE ? PC ,又∵ PC I CD ? C (II)解:∵ AD P BC , ∴ AB ? 平面 PAC , ∴ CD ? 平面 PAC , ………………4 分 ∴ AE ? 平面 PCD ………………7 分

? 即求直线 BC 与平面 ABE 所成的角 ………………9 分
? A E? P C

Q AE ⊥平面 PCD

又 Q AB ? AC ,且 PC 在平面 ABC 上的射影是 AC

? AB ? PC ? PC ? 平面 ABE ??CBE 是直线 BC 与平面 ABE 所成的角. ………11 分

3 3 CE 6 Rt ?PAC 中, CE ? ? 3 ? ,? Rt ?CBE 中, sin ?CBE ? 3 CB 6 2
即直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为 Time waits for no one

6 . 6

……………14 分
7

Just do it ! 13、(Ⅰ)证明:

?ABC 为等边三角形, M 为 AC 的中点,? BM ? AC .



AC ? CD ,? 在平面ABCD中,有BM CD .

……………3 分

又 CD ? 平面PCD, BM ? 平面PCD, ? BM 平面PCD. ……5 分
(Ⅱ)解:

PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD,
AC ? CD ,
N

? PA ? CD , 又

P H

PA ? AC ? A,?CD ? 平面PAC .

? 直线 PD 与平面 PAC 所成角为 ?DPC
……………7 分 在 Rt?PCD中, tan ?DPC ?

A M
B

D

CD 6 . ? PC 2

C

设 AP ? AB ? a ,则 AC ? a, PC ? 2a

? CD ?

6 PC ? 3a 2
……………9 分

在Rt?ACD中,AD2 =AC 2 +CD2 =4a2 ,? AD ? 2a .
PA ? 平面ABCD, ?平面PAD ? 平面ABCD .
在Rt?ACD中,过M 作MN ? AD.

又 平面ABCD 平面PAD=AD,MN ? 平面ABCD,

? MN ? 平面PAD.

在平面 PAD 中,过 N 作NH ? PD ,连结 MH ,则 PD ? 平面MNH .

??MHN 为二面角 A ? PD ? M 的平面角.

……………12 分

在Rt?ACD中,MN =

3 1 7 a, AN = a, ND= a, ? NH ? DN , ? NH ? PA ? DN ? 7 a PA PD 4 4 4 PD 4 5
3 a 15 , 4 ? 7 7 a 4 5

? tan ?MHN = MN ? NH

? 二面角 A ? PD ? M 的正切值为

15 . 7

……………………14 分

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8

Just do it ! 14、 (Ⅰ) 证明:由已知得 ED / / BC,ED ? BC , 故 BCDE 是平行四边形,所以 BE / / CD,BE ? CD , 因为 AD ? CD ,所以 BE ? AD , 由 PA=PD 及 E 是 AD 的中点,得 PE ? AD , 又因为 BE

PE ? E ,所以 AD ? 平面PBE .

(Ⅱ) 证明:连接 AC 交 EB 于 G ,再连接 FG , 由 E 是 AD 的中点及 BE / / CD ,知 G 是 BF 的中点, 又 F 是 PC 的中点,故 FG / / PA , 又因为 FG ? 平面BEF , PA ? 平面BEF , 所以 PA//平面BEF . (Ⅲ)解:设 PA=PD=AD=2BC=2CD ? 2 a , 则 PF ? 3a ,又 PB ? AD ? 2a , EB ? CD ? a ,
2 2 2 故 PB ? PE ? BE 即 PE ? BE ,

又因为 BE ? AD , AD

PE ? E ,

所以 BE ? 平面PAD ,得 BE ? PA ,故 BE ? FG , 取 CD 中点 H ,连接 FH , GH ,可知 GH / / AD ,因此 GH ? BE , 综上可知 ?FGH 为二面角 F-BE-C 的平面角. 可知 FG =

1 1 1 PA ? a, FH ? PD ? a, GH ? AD ? a , 2 2 2
.

故 ?FGH =60 ,所以二面角 F-BE-C 等于 60

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9

Just do it ! 15、(1)取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点,

1 CD . 2 1 又由已知有 AE // CD,? FG= // AE. = 2
则 F G // ∴四边形 AEGF 是平行四边形. 又 AF 平面 PEC,

…2 分

? AF // EG.

…4 分

EG ? 平面PCE. ? AF // 平面PCE …………6 分

16、(1)略,(2)略,

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10

Just do it ! 17、证明:(1)因为 OB ? OA, OB ? OC, OA ? OC ? O ,所以 OB ? 平面AOC. 因为 AC ? 平面AOC ,所以 AC ? OB 因为 OA=OC,F 是 AC 的中点,所以 AC ? OF , 又 OB ? OF ? O ,所以 AC ? 平面BOF . (2)过点 O 作 OP ? A1B1 于点 P,连接 PC1 。 已知 OC ? 平面AOB ,又 OP ? 平面AOB , A 1B 1 ? 平面AOB , 所以 OC ? OP, OC ? A1B1 . 因为 OP ? A 1B 1 ? 平面POC1 , 1B 1 , OP ? OC ? O ,所以 A 1B 1 ? 平面POC ,即 A 过点 O 作 OH ? PC1 于 H,因为 OH ? 平面POC1 ,所以 A 1B 1 ? OH , 又 A1B1 ? PC1 ? P, 所以 OH ? 平面A 1B 1C1 所成的角。 1B 1C1 ,所以 ?PC1O 就是直线 OC1 与平面 A (5 分)

3 ,过点 F 作 FD ? OC1 于 D, 2 FD DC1 1 1 ? t ? 设 CC1 ? t ,由 得 ? , 3 2?t OA1 OC1 2
因为 OA ? OB ? OC ? 2, OA1 ? 所以 t=1,即 OC1 ? 3 ,同理 OB1 ? 3 (11 分)

3 ?3 OA1 ? OB1 3 2 在 Rt ?AOB 中, , OP ? ? ? 1 1 A1B1 9 5 ?9 4
在 Rt ?POC1 中, PC1 ? OC12 ? OP 2 ? 9 ?

9 3 6 , ? 5 5

3 OP 6 ? 5 ? 所以 sin ?PC1O ? , PC1 3 6 6 5
即直线 OC1 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为

6 . 6

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11

Just do it ! 18、

19、解(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 2 连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得

OD ? OC 2 ? CD 2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O 2 ? OD 2 ? A?D 2 ,所以 A?O ? OD , 理可证 A?O ? OE , 又 OD

OE ? O , 所以 A?O ? 平面 BCDE . ( Ⅱ ) 传统法 : 过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H , 连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE , 所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角.
结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ?

3 2 30 ,从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 2 2

所以 cos ?A?HO ? Time waits for no one

OH 15 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . ? A?H 5 5
12

Just do it ! 20、(1)取 AP 中点 Q ,连接 NG,MG,由 N Q 平行且等于 BM,得四边形 N Q BM 为平行四边形,从而 MN//B Q ,则 MN//面 PAB; (2)
10 5

21、解:(Ⅰ)连接 A1C ,因四边形 A 1 ACC1 是菱形,所以 AC1 ? AC 1 ,----------4 分 由已知 AC1 ? BC 且 BC

AC ?C, 1

A1 B1

C1

所以 AC1 ? 面A 1BC ,-----------------6 分 所以 AC1 ? A1B .----------------------7 分 (Ⅱ) 因为 AO 是正 ?ABC 的中线,所以 BC ? AO , 又 AC1 ? BC ,所以 BC ? 面 AOC1 ,-------------9 分 所以 B1C1 ? 面 AOC1 ,所以 ?B1 AC1 就是所求的线面角,----------------11 分 所以 BC ? C1O , 又因为侧面 B1C1CB ? 底面 ABC ,侧面 B1C1CB 所以 C1O ? 底面 ABC . 因为 C1O ? AO ? 底面 ABC ? BC ,

A B

C O

3 6 a ,所以 AC1 ? a ,---------------------------13 分 2 2

在 Rt ?AB1C1 中, tan ?B1 AC1 ?

a 6 .----------------------------14 分 ? 3 6a 2
F E H D G A
第 22 题图

22、(Ⅰ)证明:? 四边形 ABCD 为菱形 ? BD ? AC ? BD ? 面A C F E 又? 面 ACFE ? 面 ABCD ? BD ? CH 即 CH ? BD

? CH ? FG 又? H 为 FG 的中点, CG ? CF ? 3 又? FG ? BD ? G ? CH ? 面 BFD …………7 分 (Ⅱ)连接 EG ,由(Ⅰ)知 BD ? 面ACFE ? 面 EFG ? 面 BED …………11 分 ? EF 与面 EDB 所成角即为 ?FEG .
在 ?FCG 中, CG ? CF ? 所以 ?GCF ? 120 ? , GF ? 3

C

3, CH ?

3 , CH ? GF 2

B

所以 EG ? 3 ,又因为 EF ? 2 3 所以在 ?EFG 中,可求得 ?FEG ? 60? .

…………15 分

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13

Just do it !

23、(Ⅰ )证明:连结 OC ,因 AC ? BC , O 是 AB 的中点,故 OC ? AB . …………1 分 又因平面 ABC ? 平面 ABEF ,故 OC ? 平面 ABEF , 于是 OC ? OF . 又 OF ? EC , 所以 OF ? 平面 OEC ,所以 OF ? OE , ………5 分 又因 OC ? OE ,故 OE ? 平面 OFC ,所以 OE ? FC . …………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 AB = 2AF .不妨设 AF ? 1,则 AB ? 2 . 因为 ?ABC 为等边三角形,则 AC ? BC ? 2 过 O 作 OG ? FC ,垂足为 G ,连接 EG , 则 ?EGO 就是二面角 E ? FC ? O 的平面角. 在 ?OFC 中, OF ? …………11 分 …………9 分 …………3 分

F

E

G A C O B

2 , OC ? 3 , FC ? 5 ,

OG ?
所以

6 5 ,又 EO ? 2 ,所以 tan ?EGO ? 15 3
15 . 3
…………14 分

即二面角 E ? FC ? O 的正切值为

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14

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15

Just do it !

25、(Ⅰ ) 由题意知四边形 AA1B1B 是正方形,故 AB1⊥BA1.由 AA1⊥平面 A1B1C1 得 AA1⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1,所以 A1C1⊥平面 AA1B1B,故 A1C1⊥AB1. 从而得 AB1⊥平面 A1BC1. ………… 7 分

(Ⅱ) 设 AB1 与 A1B 相交于点 O,则点 O 是线段 AB1 的中点.连接 AC1,由题意知△AB1C1 是正三角形. 由 AD,C1O 是△AB1C1 的中线知:AD 与 C1O 的交点为重心 G,连接 OG. 由(Ⅰ ) 知 AB1⊥平面 A1BC1,故 OG 是 AD 在平面 A1BC1 上的射影,于是∠AGO 是 AD 与平面 A1BC1 所 成的角. 在直角△AOG 中,AG= 所以 sin∠AGO=

3 6 2 2 AD= AB1= AB, AO= AB, 3 3 2 3

3 AO = . 2 AG

故∠AGO=60° ,即 AD 与平面 A1BC1 所成的角为 60° .………… 15 分 26、

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16

Just do it !

27、本题通过分层设计,考查了空间平行、垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理 A? z 17 Time waits for no one D?

B?

C?

Just do it ! 论证能力和运算求解能力. 满分 15 分. 解:(1) 取 AC 边中点为 O ∵ 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,∴OB ? AC 连接 OD? ,∵D? 是边 A?C ? 的中点 ∴OD ? ? AC , OD ? ? OB 所以可以建立以 O 为坐标原点, OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,

OD? 为 z 轴如图所示的坐标系

(4 分)

则有 O(0,0,0) , A(0,?1,0) , B( 3 ,0,0) , C (0,1,0) ,

B ?( 3,0,2 2 ) , A?(0,?1,2 2 ) , D?(0,0,2 2 ) , C ?(0,1,2 2 )
设 M (0,1, t ) ,则 A?M ? (0, 2, t ? 2 2) , AD? ? (0,1, 2 2) , AB? ? ( 3,1, 2 2) 若 A?M ? 平面AB ?D ? ,则有 A?M ? AD? , A?M ? AB? ∴?

? ? A?M ? AD? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0 ? ? A?M ? AB? ? 0 ? 2 ? (t ? 2 2) ? 2 2 ? 0
3 2 时, A?M ? 平面AB ?D ? . 2

可得 t ?

3 2 2

即当 CM ?

(4 分)

(2) 当点 M 在棱 CC ? 中点时: M (0,1, 2 )
? ∴BM ? (? 3,1, 2 ) , A?M ? (0,2,? 2 ) ,设平面 A?BM 的一个法向量 n ? ( x, y, z )

∴?

? ? BM ? n ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0 ? ? A?M ? n ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0

令 z ? 2 ,得 y ? 1 , x ? 3

? ∴n ? ( 3,1, 2 )
设直线 AB? 与平面 A?BM 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n, AB? ?| ? 所以直线 AB? 与平面 A?BM 所成角 ? 的正弦值为
2 2 3

(4 分)

2 2 3

(3 分)

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18

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29、

30、 Time waits for no one
19

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31、

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20

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32、

33、本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象能力和推理论证能 力。满分 15 分。 (Ⅰ) 因为 E,F 分别是 PC,PD 的中点,所以 EF∥CD, 又因为 CD∥AB, 所以 EF∥AB, 又因为 EF?平面 PAB 所以 EF∥平面 PAB.

………… 7 分

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21

Just do it ! (Ⅱ) 取线段 PA 中点 M,连结 EM,则 EM∥AC, 故 AC 与面 ABEF 所成角的大小等于 ME 与面 ABEF 所成角的大小. 作 MH⊥AF,垂足为 H,连结 EH. 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AB, 又因为 AB⊥AD,所以 AB⊥平面 PAD, 又因为 EF∥AB, 所以 EF⊥平面 PAD. 因为 MH ? 平面 PAD,所以 EF⊥MH, 所以 MH⊥平面 ABEF, 所以∠MEH 是 ME 与面 ABEF 所成的角.
A F M H D B (第 20 题图) C P E

2 1 AC= 5 ,MH= , 2 2 10 得:sin ∠MEH= . 10 10 所以 AC 与平面 ABEF 所成的角的正弦值是 . 10
在直角△EHM 中,EM=

………… 15 分

34、(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ ABC=60° ,可得△ABC 为正三角形 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥ BC 又 BC∥ AD,因此 AE⊥ AD 因为 PA⊥ 平面 ABCD,AE 而 PA 又 PD 平面 PAD,AD 平面 ABCD,所以 PA⊥ AE 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE⊥ 平面 PAD

平面 PAD,所以 AE⊥ PD。

(2)设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH, 由(1)知 AE⊥ 平面 PAD,则∠ EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角 在 Rt△EAH 中,AE= ,所以当 AH 最短时,∠ EHA 最大,即当 AH⊥ PD 时,∠ EHA 最大

此时 tan∠ EHA=

,因此 AH=

又 AD=2,所以∠ ADH=45° ,所以 PA=2, 因为 PA⊥ 平面 ABCD,PA Time waits for no one 平面 PAC,所以平面 PAC⊥ 平面 ABCD
22

Just do it ! 过 E 作 EO⊥ AC 于 O,则 EO⊥ 平面 PAC,过 O 作 OS⊥ AF 于 S,连接 ES,则∠ ESO 为二面角 E-AF-C 的

平面角,在 Rt△AOE 中,EO=AE· sin30° =

,AO=AE· cos30° =



又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO· sin45° =



在 Rt△ESO 中,cos∠ ESO=

即所求二面角的余弦值为



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23

Just do it ! 37、

38、 39、 40、 41、 42、 43、 44、 45、 46、 47、 48、 49、 50、

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