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高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法


填一填·知识要点、记下疑难点

1.一元一次不等式 一元一次不等式经过变形, 可以化成 ax>b (a≠0)的形式. ? b? ? ? ?x|x> ? a? ? ?; (1)若 a>0,解集为 ? ? b? ? ? ?x|x< ? a? ? ?. (2)若 a<0,解集为 ?
2 2. 形如 ax +bx+c>0

或 ax2+bx+c<0 的不等式(其中 a≠0),

叫做一元二次不等式;使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的
解的全体 组成的集合,叫做一元二次不等式的解集. _________

3.一元二次方程的解 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),判别式 Δ=b2-4ac. 当 Δ<0 时,方程无实数解;当Δ=0时,方程有两个相等 b 的实数解 x1=x2= -2a ;当 Δ>0 时,方程有两个不等的 -b± b2-4ac 2a 实数解 x1、x2= . 4.一元二次不等式的解集: 一元二次不等式经过变形,可以化成下列两种标准形式: (1)ax2+bx+c>0 (a>0);(2)ax2+bx+c<0 (a>0). 当 Δ=b2-4ac>0 时, ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 x1、x2,且 x1<x2,则 ax2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x1
或 x>x2};则 ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 {x|x1<x<x2} . _______

探究点一 一元二次不等式的解集 问题 1 作出函数 y=x2-x-6 的图象,根据图象完成下列 问题: ①方程 x2-x-6=0 的解集是________; ②不等式 x2-x-6>0 的解集是________; ③不等式 x2-x-6<0 的解集是________.
答案 函数 y=x2-x-6 的图象.

①{-2,3};②{x|x<-2 或 x>3};③{x|-2<x<3}.

问题 2

作出函数 y=-x2+4x-3 的图象, 根据图象完成下

列问题: ①方程-x2+4x-3=0 的解集是________; ②不等式-x2+4x-3>0 的解集是________; ③不等式-x2+4x-3<0 的解集是________.
答案 y=-x2+4x-3 的图象.

①{1,3};②{x|1<x<3};③{x|x<1 或 x>3}.

探究 一元二次方程 ax2+bx+c=0,当 Δ=b2-4ac>0 时, 有两个不等的实数根, 记作 x1, x2, 且 x1<x2.则当 a>0 时,
{x|x<x1 或 x>x2}; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_____________ 不等式 ax2
{x|x1<x<x2};当 a<0 时,不等式 ax2 +bx+c<0 的解集是_________ {x|x1<x<x2} ;不等式 ax2+bx+c<0 +bx+c>0 的解集是__________
x|x<x1 或 x>x2} . 的解集是{ _____________

探究点二 三个“二次”之间的关系 问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等 式解集之间的联系,请补充完整.
判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y= ax2+bx+c (a>0)的图象
2 - b ± b -4ac ax2+bx+c=0 x1,2= b 2a 根 x1=x2=-

2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 (a>0)的根

有两不等实数根

有两相等实数

没有实数根

(x1<x2)

2a

一元 二次 不等 式的 解集

ax2+bx +c>0 (a>0) ax2+bx +c<0 (a>0)

{x|x<x1 或 x>x2}

b {x∈R|x≠- } 2a

R

{x|x1< x<x2}

?

?

注:当一元二次不等式的二次项系数 a 小于零时,通过不等 式两边同乘以-1,转化为二次项系数大于零后,再求解.

(1)从函数的观点来看: 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集, 就是二次函数 y =ax2+bx+c (a>0)的图象在 x 轴上方部分的点的横坐标 x 的 集合;ax2+bx+c<0 (a>0)的解集,就是二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图象在 x 轴下方 部分的点的横坐标 x 的集合. (2)从方程的观点来看: 一元二次方程的根是二次函数的图象与 x 轴交点 的横坐标, 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集,就是大于大根,
或者小于小根 的实数的集合;ax2+bx+c<0 (a>0)的解集, _____________

就是大于小根,且小于大根 的实数的集合. 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值.

【典型例题】 例 1 求下列不等式的解集: (1)2x2-3x-2≥0; (2)-3x2+6x>2.
解 1 (1)∵2x -3x-2=0 的两解为 x1=- ,x2=2, 2
2

且 a=2>0.

1 ∴不等式 2x -3x-2≥0 的解集是{x| x≤- 或 x≥2}. 2
2

(2)-3x2+6x>2?-3x2+6x-2>0?3x2-6x+2<0, Δ=(-6)2-4×3×2=12>0. 3 3 ∴x1=1- ,x2=1+ . 3 3
∴不等式-3x2+6x>2 的解集是{x|1- 3 3 <x<1+ }. 3 3

小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”: 第一步, 化二次项的系数为正数;第二步,求解相应的一元二次方程 的根;第三步,根据根的情况结合图象写出一元二次不等式 的解集.

跟踪训练 1 求下列不等式的解集: (1)-2x2-x+1>0; (2)(x+3)(2-x)≤4; (3)(x2-x-1)(x2-x+1)>0.
解 (1)由-2x2-x+1>0,得 2x2+x-1<0, 1 因式分解得(x+1)(2x-1)<0,∴-1<x< . 2 ? 1? ? ? ? 即不等式的解集为?x|-1<x<2? . ? ? ?
(2)(x+3)(2-x)≤4?(x+3)(x-2)≥-4 ?x2+x-6≥-4?x2+x-2≥0?(x+2)(x-1)≥0 ∴原不等式的解集为{x|x≤-2 或 x≥1}.

(3)∵x

2

? 1? ? ?2 3 -x+1=?x- ? + >0,∴(x2-x-1)>0. 2? 4 ?

即解不等式 x2-x-1>0,
1- 5 1+ 5 由求根公式知 x1= ,x2= . 2 2 ? ? ? 1- 5 1+ 5? 2 ? ?. ∴x -x-1>0 的解集是 x|x< 或x> ? 2 2 ? ? ?
? ? 1- ? ∴原不等式的解集为 x|x< ? 2 ? ? 5 1+ 5? ?. 或x> 2 ? ?

例 2 若不等式 ax +bx+c≥0

2

? ? ? 1 ? ? 的解集为?x|- ≤x≤2 ? , 求关 ? 3 ? ?

于 x 的不等式 cx2-bx+a<0 的解集.
解 由 ax +bx+c≥0
2

? ? 1 ? ? ? 的解集为?x|-3≤x≤2? , ? ? ?

知 a<0,且关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别为 1 - ,2, 3
b ? 1 - + 2 =- ? 3 a ∴? ?-1×2=c a ? 3 5 2 ,∴b=- a,c=- a. 3 3

所以不等式 cx -bx+a<0
即 2ax2-5ax-3a>0.

2

? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 5 ? 可变形为?- a?x -?- a?x+a<0, ? 3 ? ? 3 ?

又因为 a<0,所以 2x2-5x-3<0,所以所求不等式的解集为 ? ? 1 ? ? ?x|- <x<3?. ? 2 ? ? ?
小结 利用根与系数的关系寻找根之间的联系,借此求出方 程的根,其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键.

跟踪训练 2 已知 x +px+q<0 等式 qx2+px+1>0 的解集.
解 ∵x +px+q<0
2

2

? ? 1 1? ? ? 的解集为?x|- <x< ? ,求不 ? 2 3 ? ?

? 1 1? ? ? ? 的解集为?x|-2<x<3? , ? ? ?

1 1 ∴- , 是方程 x2+px+q=0 的两实数根, 2 3 ?1 1 ? 1 ?3-2=-p ?p=6 由根与系数的关系得? ,∴? ? ? ?1×?-1?=q ?q=-1 ? 6 ?3 ? ? ? 2? 1 2 1 2 ∴不等式 qx +px+1>0 可化为- x + x+1>0, 6 6
即 x2-x-6<0,∴-2<x<3,
∴不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.



例 3 解下列关于 x 的不等式:56x2-ax-a2<0. ? a?? a? 2 2 解 56x -ax-a <0?(7x-a)(8x+a)<0??x-7??x+8?<0 ? ?? ?
? a a? a a ? ? ? ?; x | - < x < 当 a>0 时, >- .∴原不等式的解集为 8 7 7 8 ? ? ? ?

a a 当 a=0 时, =- ,原不等式可化为 x2<0. 7 8
∴原不等式的解集为 ? ;
? a? a a ? a ? ? 当 a<0 时, <- .∴原不等式的解集为 x|7<x<-8?. 7 8 ? ? ? ?

小结

含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论,分

类标准要明确,表达要有层次,讨论结束后要进行总结.

跟踪训练 3 解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.
解 将不等式 x2-(a+a2)x+a3>0 变形为(x-a)(x-a2)>0.
∵a2-a=a(a-1). ∴当 a<0 或 a>1 时,a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2}. 当 0<a<1 时,a2<a,解集为{x|x<a2 或 x>a}.

当 a=0 或 1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠a}.
综上知,当 a<0 或 a>1 时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2};
当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=0 或 1 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}.

1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是 ? 1 ? A.?-2,1? B.(1,+∞) ? ? C.(-∞,1)∪(2,+∞)

( D )

? 1? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),
∴由 2x2-x-1>0 得(2x+1)(x-1)>0,
1 解得 x>1 或 x<-2,
? 1? ∴不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ?

1 2.若 0<t<1,则关于 x 的不等式(t-x)(x- t )>0 的解集是( D ) ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? x | < x < t x | x > 或 x < t A. t B. t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? C. x|x< t 或x>t D. x|t<x< t ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 解析 ∵0<t<1,∴ t <1,∴ t >t. 1 1 1 ∴(t-x)(x- t )>0?(x-t)(x- t )<0?t<x< t .

3.已知不等式 ax2+bx-1>0 的解集是{x|3<x<4},则不等式 x2+bx-a≤0
? 1 1? ? ? ?x|- ≤x≤- ? 3 4? ? ? ?. 的解集是_____________

b 1 ? ? ?3+4=-a ?a=-12 解析 由题意? ,∴? ?3×4=-1 ?b= 7 a ? ? 12 7 1 2 2 ∴x +bx-a≤0?x +12x+12≤0
?12x2+7x+1≤0?(3x+1)(4x+1)≤0
1 1 ?-3≤x≤-4.

.

4.函数 y=

? 1 ? ?3 ? ?- ,0?∪? ,1? 2 log0.5?4x -3x?的定义域为______________ ? 4 ? ?4 ? .

解析 log0.5(4x2-3x)≥0 ?log0.5(4x2-3x)≥log0.51?0<4x2-3x≤1
? 1 2 ? ?-4≤x≤1 ?4x -3x-1≤0 ?? 2 ?? ? ?4x -3x>0 ?x<0或x>3 4 ? 1 3 ?-4≤x<0 或4<x≤1.
故函数 y= log0.5?4x
2

? 1 ? ?3 ? -3x?的定义域为?-4,0?∪?4,1?. ? ? ? ?

1.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的步骤完 成,但应注意,当二次项系数为负数时,一般先化为正数 再求解, 一元二次不等式的解集是一个集合, 要写成集合 的形式. 2.由一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或 ax2+bx+c<0 (a>0)) 的解集为{x|x<x1 或 x>x2}(或{x|x1<x<x2} (x1<x2)),可得出 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根. 3.解 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 不等式时要注意对参数 分类讨论. 讨论一般分为三个层次, 第一层次是二次项系 数为零和不为零; 第二层次是有没有实数根的讨论, 即判 别式 Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三层次是根的大小的讨论.


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