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湖北省荆州中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学(文)试题


2012—2013 学年高一上学期期中考试
科目:数学(文科) 考试时间:120 分钟

一.选择题(本题共 1 0 小题,每小题 5 分, 共 50 分;每小题的四个选项中只有一个是正 确的.)

2, 1、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 3? , B ? ?3, 4,5? 则 ? ( A ? B

) ? ( U
A. ?3? B. ?1, 2, 4,5? C. ?1, 2,3, 4,5? ) D. ?



2、下列集合中与 ? x | x ?

? ?

? |a| b ? , a、b ? R ? 相等的是( a |b| ?
C. ?2, ?2? )

A. ?1, ?1? 3、设 f ( x ) ? ? A. -3
1

B. ?1, 0, ?1?

D. ?2, 0, ?2?

?2 x ? 1,x ? 1 ,则 f ( f (?2)) 的值为( ?2 ? x,x ? 1
B. 4
1

C. 5

D. 9 ) D. a ? c ? b ) D. y ? x | x |

? 1 ?3 4、已知 a ? ? ? , b ? 32 , c ? log 1 3 ,则 a, b, c 之间的大小关系为( ?2? 2
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. b ? c ? a

5、下列各函数在其定义域中,既是奇函数,又是增函数的是( A. y ? x ? 1
x

B. y ? ? x

3

C. y ? ?

1 x

6、函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) ,在[1,2]上的最大值与最小值的差为 A.

1 2

B.

3 2

C.

1 3 或 2 2

a ,则 a 的值为( 2 2 D. 或 2 3




7、已知函数 f ( x) 的定 义域为[1,2],则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为( A.[3,5] B. [ ,1]

1 2

C.[1,2] )

D. [0, ]

1 2

8、下列函数中在区间 (1,2) 上有零点的是( A. f ( x) ? x ? 3x ? 2
2

B. f ( x) ? x ? 2 x ? 3
3

C. f ( x) ? lg x ? 2 x ? 3

D. f ( x) ? e ? 3x ? 5
x

9、如右图所示为函数① y ? a 、② y ? b 、③ y ? log c x 、④
x x

y ? log d x 的图像,其中 a、b、c、d 均大于 0 且不等于 1,则

a、b、c、d 大小关系为(
A. a ? b ? c ? d C. b ? a ? c ? d
2

) B. a ? b ? d ? c D. b ? a ? d ? c

10、已知函数 f ( x) ? x ? (3m ? 5) | x | ?1 的定义域为 R,且函数有四个单调区间,则实数 m 的取值范围为( ) B. m ? ?

5 3 7 C. m ? ? 3
A. m ? ?

7 或 m ? ?1 3 5 D. m ? ? 或 m ? ?1 3

二. 填空题(本题共7小题,每小题5分,共35分.) 11、 m,n?R ,集合 P ? ?
x

?m ? ,1? , Q ? ?n, 0? ,若 P ? Q ,则 m ? n 的值等于_______; ?n ?


12、若函数 y ? (3a ? 1) 为指数函数,则 a 的取值范围为
x

13、已知 f (3 ) ? x ? log 2 3 ? 5 ,则 f ( ) ? f (2) 的值等于__________; 14、二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2x ,且 f (0) ? 1 ,则函数 y ? f ( x) ? 3 的零点 是 ;
[来源:学科网 ZXXK]

1 2

15 、 已 知 a ? 3

l o3 g

2 ,b ? l o g 2 3 且 点 P( a, b)在 幂 函 数 f ? x ? 的 图 象 上 , 则 , 3

f ? 8? ? __________;

16、已知 y ? f ( x) ? 2 x 为奇函数,且 g ( x) ? f ( x) ? 1 . 若 f (2) ? 2 ,则 g (?2) ?
2



17、给出下列命题: ① f ( x) ?

4 ? x 2 ? x 2 ? 4 既是奇函数,又是偶函数;

② f ( x) ? x 和 f ( x ) ?

x2 为同一函数; x

③ 已知 f ( x) 为定 义在 R 上的奇 函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上单调 递增 ,则 f ( x) 在

(??, ??) 上为增函数;
④函数 y ? 16 ? 4 的值域为 [0, 4)
x

其中正确命题的序号是
[来源:学科网 ZXXK]

.

三.解答题(本大题共 5 个小题,共 65 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18、(本小题满分 12 分) 化简求值:
1 ln 1 1 3 6 2 2 (1) (2 2) ? (6 ) ? e ? 3 ? 3 ? 3 4 2 3

(2)

(1 ? log 6 3) 2 ? (log 6 2) ? (log 6 18) log 6 4

19、(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x | ?5 ? 2 x ? 3 ? 9? , B ? ? x | m ? 1 ? x ? 3m ? 1? (1)求集合 A; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.

20、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3, x ? [m, m ? 4](其中m ? R)
2

(1)若 m ? 0 ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (2)设函数 f ( x) 在 [m, m ? 4] 上的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值.

21、(本小题满分 14 分) 如图,有一块矩形草地,要在这块草地上开辟一个内接四边形建体 育设施(图中阴影部分) ,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上, 已知 AB=a(a>2) ,BC=2,且 AE=AH=CF=CG,设 AE=x,

阴影部分面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)当 x 为何值时,阴影部分面积最大?最大值是多少?

22、(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,并满足以下 条件: ①对任意的 x ? 0, y ? 0 ,有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ② x ? 1 时, f ( x) ? 0 . (1)求 f (1) 的值; (2)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是单调增函数; (3)若 x 满足 f ( ) ? f ( x) ? f (2) ,求函数 y ? 2 x ?

1 2

1 的最大、最小值. x

[来源:Zxxk.Com]

参考答案
科目:数学(文科) 考试时间:120 分钟
一. 选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;每小题四个选项中只有一个正确.)

二、填空题(本题共7小题,每小题5分,共35分.)

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 65 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

25 1 1 1 ? 1 ? 1 5 1 18、 (1)原式 ? (2 ) ? ( ) 2 ? ? 3 2 3 6 ? 2 ? ? +3=3 4 2 2 2
(2)原式 ?

3 2 2 3

................6 分

(log 6 2) 2 ? log 62 ? (log 6 ? 1) 1 3 ? (log 6 2 ? log 6 3 ? 1) ? 1 .......12 分 2 log 6 2 2

20、 (1)由题意, f ( x) ? x ? 2 x ? 3, x ?[0, 4] ,
2

函数最小值在 x ? 1 处取得, f ( x)min ? f (1) ? ?4 函数最大值在 x ? 4 处取得, f ( x)max ? f (4) ? 5 ....................6 分

(2)对称轴为 x ? 1 ,二次函数开口向上,要求 f ( x) 在 [m, m ? 4] 上的最大值,需要讨论

区间中点和对称轴的关系,区间中点为 ①当 m ? 2 ? 1 ,即 m ? ?1 时,

m?m?4 ? m?2 2

区间 [m, m ? 3] 的左端点 m 距离 f ( x) 的对称轴远,则最大值在 x ? m 处取得, 即 g (m) ? f (m) ? m ? 2m ? 3
2

....................8 分

②当 m ? 2 ? 1 ,即 m ? ?1 时, 区间 [m, m ? 3] 右端点 m ? 4 离 f ( x) 的对称轴远,则最大值在 x ? m ? 4 处取得, 即 g (m) ? f (m ? 4) ? (m ? 4) ? 2(m ? 4) ? 3 ? m ? 6m ? 5 ..................10 分
2 2

? m 2 ? 2m ? 3, m ? ?1 ? 于是 g ( m) ? ? 2 ? m ? 6m ? 5, m ? ?1 ?
由 g (m) 的图像可得, g (m) 在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1, ??) 上单调递增 最小值在 m ? ?1 处取得,即 g (m) min ? g (?1) ? 0 综上所述, g (m) 的最小值为 0. ..................13 分

∴y=-2x2+(a+2)x,函数的定义域为 (0, 2]

..............7 分

( a ? 2) 2 a?2 a?2 (2)当 时,y 取最大值 。 ? 2 ,即 a<6 时,则 x= 8 4 4


a?2 ≥2,即 a≥6 时,y=-2x2+(a+2)x, 4
在 ( 0,2]上是增函数,则 x=2 时,y 取最大值 2a-4. ...............13 分

综上所述:当 a<6 时,x=

( a ? 2) 2 a?2 时,阴影部分面积最大值是 ; 8 4
...............14 分

当 a≥6 时,x=2 时,阴影部分面积最大值是 2a-4. 22、 (1)令 x ? y ? 1 ,则由①,有

f ( 1 ) f ( 1 ) f ,得 f (1) ? 0 ? ? (1)

...............4 分

(2)设 x1 , x2 是定义域 (0, ??) 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ? 0 , 则

x1 x ? 1 ,则 f ( 1 ) ? 0 x2 x2

于是有 f ( x1 ) ? f (

x1 x ? x2 ) ? f ( 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) , x2 x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 则由函数单调性的定义知, f ( x) 在 (0, ??) 上是单调增函数 (3)由(2)及 f ( ) ? f ( x) ? f (2) 知, ...............9 分 ...............10 分

1 2

1 ?x?2 2

1 1 2 2 1 ] 上单调递减,在 [ , 2] 上单调递增 于是 y ? 2 x ? ? 2( x ? 2 ) 在 [ , 2 2 2 x x 1 9 9 f ( ) ? 3, f (2) ? ,因此最大值为 x ? 2 时, y ? , 2 2 2
[来源:学科网]

最小值为 x ?

2 时, y ? 2 2 2

综上所述, y ? 2 x ?

1 9 最大值为 ,最小值为 2 2 . 2 x

...............14 分


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