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25(高中竞赛讲座)奇数偶数


高中数学竞赛讲座 25 25 奇数偶数
将全体整数分为两类, 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此 因此, 将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数 因此,任一偶数可表为 2m ),任一奇数可表为 (m∈Z),任一奇数可表为 2m+1 或 2m-1 的形式 奇、偶数具有如下性质: ∈ ), - 的形式.奇 偶数具有如下性质: 偶数; 偶数; (1)奇数±奇数 偶数;偶数±偶数 偶数; )奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数±偶数 奇数;偶数×偶数 偶数; 奇数 偶数 奇数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数; 奇数; 奇数×偶数 偶数;奇数×奇数 奇数; 形式, 的形式( ∈ ) (2)奇数的平方都可表为 8m+1 形式,偶数的平方都可表为 8m 或 8m+4 的形式(m∈Z). ) 的形式, 为非负整数, 为奇数. (3)任何一个正整数 n,都可以写成 n = 2 l 的形式,其中 m 为非负整数,l 为奇数 ) ,
m

这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题 这些性质既简单又明显,然而它却能解决数学竞赛中一些难题.

例题讲解
下列每个算式中, 最少有一个奇数, 一个偶数, 那么这 12 个整数中, 个整数中, 至少有几个偶数? 1. 下列每个算式中, 最少有一个奇数, 一个偶数, 至少有几个偶数? □+□=□, □=□,□×□= □+□=□,□-□=□,□×□=□,□÷□=□. □÷□=

? x ? 1988 y = n ?x = p 是偶数, 是奇数, 是整数,那么( 2.已知 n 是偶数,m 是奇数,方程组 ? 的解 ? 是整数,那么( ?11x + 27 y = m ?y = q
都是偶数. (A)p、q 都是偶数. (C)p 是偶数,q 是奇数 是偶数, 都是奇数. (B)p、q 都是奇数. (D)p 是奇数,q 是偶数 是奇数,

)

3…, 前面任意添上一个正号和负号,它们的代数和是奇数还是偶数. 3.在 1,2,3…,1992 前面任意添上一个正号和负号,它们的代数和是奇数还是偶数.

个数排成一行,除了两头的两个数以外, 4.70 个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都恰好等于它两边两个数的 这一行最左边的几个数是这样的: 21,….问最右边的一个数被 和,这一行最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,….问最右边的一个数被 6 除余 几?

是自然数, 5.设 a、b 是自然数,且有关系式 123456789=(11111+a)(11111123456789=(11111+a)(11111-b), )(11111 的倍数. 证明 a-b 是 4 的倍数. ①

的正方格( 每格填“+” “+”或 的符号, 6.在 3×3 的正方格(a)和(b)中,每格填“+”或“-”的符号,然后每次将表中任一 行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后, 行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后,能否从一张表变化为另 一张表. 一张表.

+ + + + a

-

+ +

+

+ -

b

7.设正整数 d 不等于 2,5,13.证明在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素 a,b,使得 ab-1 . 证明在集合{ , , 证明在集合 , , , } , - 不是完全平方数. 不是完全平方数

8.设 a、b、c、d 为奇数, 0 < a < b < c < d , 并且ad = bc ,证明:如果 a+d=2k,b+c=2m,k,m . 为奇数, 证明: 为整数, 为整数,那么 a=1.

是一组数, 9. a1 , a 2 , L , a n 是一组数, . 设 它们中的每一个都取 1 或-1, , 而且 a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0, , 证明: 的倍数. 证明:n 必须是 4 的倍数

课后练习
1.填空题 1.填空题 (1)有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最大数与最小数的积是一个 有四个互不相等的自然数, 奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是______. 奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是______.

(2)有五个连续偶数,已知第三个数比第一个数与第五个数和的 有五个连续偶数, 和是____. 和是____.

18, 多 18,这五个偶数之

部电话相连结? (3)能否把 1993 部电话中的每一部与其它 5 部电话相连结?答____. 2.选择题 2.选择题 都是整数,下列命题正确的个数是( (1)设 a、b 都是整数,下列命题正确的个数是( ) 是偶数, 是偶数; 是偶数, 是奇数; ①若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是偶数;②若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是奇数; 是奇数, 是奇数; 是奇数, 是偶数. ③若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是奇数;④若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是偶数. ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4

的整数, (2)若 n 是大于 1 的整数,则 (A)一定是偶数 (C)是偶数但不是 2 (B)必然是非零偶数

的值( 的值( ).

(D)可以是偶数,也可以是奇数 可以是偶数,
2

(3)已知关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a、b、c 为整数),如果当 x=0 与 x=1 时,二次 +bx+c( 为整数),如果当 ), 三项式的值都是奇数, 三项式的值都是奇数,那么 a( ) (A)不能确定奇数还是偶数 (C)必然是奇数
1986 1986 1986 1986

(B)必然是非零偶数 (D)必然是零

3.试证明 1986 1986 1986 1986 是一个偶数. 3.试证明 1 +9 +8 +6 是一个偶数. 4.请用 十个不同的数字组成一个能被 整除的最小十位数. 4.请用 0 到 9 十个不同的数字组成一个能被 11 整除的最小十位数.

5.有 个整数, 和为零,求证: 5.有 n 个整数,共积为 n,和为零,求证:数 n 能被 4 整除 6.在一个凸 边形内, 任意给出有限个点, 边形顶点之间, 6.在一个凸 n 边形内, 任意给出有限个点, 在这些点之间以及这些点与凸 n 边形顶点之间, 用线段连续起来,要使这些线段互不相交, 边形分为只朋角形的小块, 用线段连续起来,要使这些线段互不相交,而且把原凸 n 边形分为只朋角形的小块,试证 有相同的奇偶性. 这种小三我有形的个数与 n 有相同的奇偶性. 7.一个四位数是奇数 它的首位数字泪地其余各位数字, 一个四位数是奇数, 它的首位数字泪地其余各位数字, 而第二位数字大于其它各位数字, 7.一个四位数是奇数, 而第二位数字大于其它各位数字, 第三位数字等于首末两位数字的和的两倍,求这四位数. 第三位数字等于首末两位数字的和的两倍,求这四位数.
2 8.试证: n 整除, 的更高次幂整除. 8.试证:3 +1 能被 2 或 2 整除,而不能被 2 的更高次幂整除. 试证 n 2

课后练习答案
1.(1)30.(最小两位奇数是11,最大数与最小数同为奇数) .(1 30.(最小两位奇数是11,最大数与最小数同为奇数) .(最小两位奇数是11 (2)180.设第一个偶数为x,则后面四个衣次为x+2,x+4,x+6,x+8. 180.设第一个偶数为x,则后面四个衣次为x+2,x+4,x+6,x+8 x,则后面四个衣次为x+ (3)不能. 不能. 2.B.B.A
1986 1986 1986 1986 是奇数1 的个位数字是奇数1 都是偶数, 3. 1 是奇数1,9 的个位数字是奇数1,而8 ,6 都是偶数,故最 后为偶数. 后为偶数. 1986 1986 1986 1986

4.仿例5 1203465879. 仿例5 1203465879. 满足题设即a 5.设a1,a2,…,an满足题设即a1+a2+…+an=0 ①

……a 假如n为奇数, 所有a 皆为奇数, a1·a2……an=n ②。假如n为奇数,由②,所有ai皆为奇数,但奇数个奇数之和 为奇数,故这时①不成立,可见n 能为偶数.由于n为偶数, 为奇数,故这时①不成立,可见n只能为偶数.由于n为偶数,由②知ai中必有一个偶 中必有另一个偶数. 于是a 中必有两个偶数, 因而由② 必能被4整除. 数, ①知ai中必有另一个偶数. 由 于是ai中必有两个偶数, 因而由②知n必能被4整除. 6.设小三角形的个数为k,则k个小三角形共有3k条边,减去n边形的n条边及重复 设小三角形的个数为k,则 个小三角形共有3 条边,减去n边形的n k,

k+n)条线段 显然只有当k 条线段, 有相同的奇偶性时, 计算的边数扣共有 (3k+n)条线段,显然只有当k与n有相同的奇偶性时, (3 k-n)才是整数. k-n)才是整数. 才是整数 7.设这个四位数是 由于1 a<d,d是奇数所以d 由于1≤a<d,d是奇数所以d≥3于是c=2(a+d) 是奇数所以 于是c=2 c=

≥8,即c=8或c=9.因c是偶数,所以c=8,由此得a=1,d=3.又因b> c=8 c=9 是偶数,所以c=8 由此得a=1,d=3 又因b> c= a= c,所以b=9因此该数为1983 所以b= 1983. c,所以b=9因此该数为1983.

n 的展开式; 为偶数时,考虑( 8.当n为奇数时,考虑(4-1) +1的展开式;当n为偶数时,考虑(2+1) 为奇数时,考虑( n 的展开式. +1的展开式.



例题答案: 例题答案:
因为加法和减法算式中至少各有一个偶数, 1. 解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数,乘法和除法算式中至少各有二个偶 个整数中至少有六个偶数. 数,故这 12 个整数中至少有六个偶数.
是偶数, p=x=n+1988y, 是偶数, 2.分析 由于 1988y 是偶数,由第一方程知 p=x=n+1988y,所以 p 是偶数,将其代入第 二方程中, 也为偶数, 27y=m为奇数, 奇数,应选( 二方程中,于是 11x 也为偶数,从而 27y=m-11x 为奇数,所以是 y=q 奇数,应选(C)

= 2 ? 64 k + 3 ? 729 k + 15625 k + 1 = 2 ? (7 ? 9 + 1) k + 3 ? (7 ? 104 + 1) k + (7 ? 2232 + 1) k + 1 = 2 ? 7 ? A + 2 + 3? 7 ? B + 3 + 7 ?C +1+1 = (2 + 3 + 1 + 1)(mod 7) = 0(mod 7)

∴ 对于?k ≥ 0, 且k ∈ Z , 2 6 k +1 + 36 k +1 + 5 6 k + 1 都能被 7 整除; 整除;
k + 注: a ≡ 1(mod b) ? a ≡ 1(mod b), k ∈ Z

因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同, 3.分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同, 所以在题设数字前面都添上 正号和负号不改变其奇偶性, 而 正号和负号不改变其奇偶性, 1+2+3+…+1992= 题设的代数和应为偶数. 题设的代数和应为偶数. =996×1993 为偶数 于是

4.解 设 70 个数依次为 a1,a2,a3 据题意有
a1=0, a2=1 a3=3a2-a1, a4=3a3-a2, a5=3a4-a3, a6=3a5-a4, 偶 奇 奇 偶 奇 奇

……………… 由此可知: 由此可知: 是偶数; 当 n 被 3 除余 1 时,an 是偶数; 是奇数, 型偶数, 必须是奇数, 当 n 被 3 除余 0 时,或余 2 时,an 是奇数,显然 a70 是 3k+1 型偶数,所以 k 必须是奇数, k=2n+1, 令 k=2n+1,则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

5.证明 由①式可知
11111( 11111(a-b)=ab+4×617 ∵a>0,b>0,∴a∵a>0,b>0,∴a-b>0 首先, 是偶数, 11111(a-b)是奇数 是奇数, 是奇数, 首先,易知 a-b 是偶数,否则 11111(a-b)是奇数,从而知 ab 是奇数,进而知 a、b 都是奇 可知(11111+a) (11111-b)都为偶数 这与式① (11111+a)及 都为偶数, 数,可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数,这与式①矛盾 其次,从 a-b 是偶数,根据②可知 ab 是偶数,进而易知 a、b 皆为偶数,从而 ab+4×617 其次, 是偶数,根据② 是偶数, 皆为偶数, 的倍数, 的倍数. 是 4 的倍数,由②知 a-b 是 4 的倍数. 按题设程序,这是不可能做到的,考察下面填法: 6. 解 按题设程序,这是不可能做到的,考察下面填法: 的正方形表格中,按题设程序“变号” “+”号或者不变 号或者不变, 在黑板所示的 2×2 的正方形表格中,按题设程序“变号”,“+”号或者不变,或者变成 两个. 两个. 表(a)中小正方形有四个“+”号,实施变号步骤后,“+”的个数仍是偶数;但表(b)中小 (a)中小正方形有四个“+”号 实施变号步骤后,“+”的个数仍是偶数;但表(b)中小 中小正方形有四个“+” 的个数仍是偶数 (b) 正方形“+”号的个数仍是奇数,故它不能从一个变化到另一个. “+”号的个数仍是奇数 正方形“+”号的个数仍是奇数,故它不能从一个变化到另一个. 显然,小正方形互变无法实现, 的大正方形的互变,更无法实现. 显然,小正方形互变无法实现,3×3 的大正方形的互变,更无法实现.
7. 解 由于 2×5-1=32,2×13-1=52,5×13-1=82,因此,只需证明 2d-1,5d-1,13d-1 中 × - 因此, × - × - - , - , - 至少有一个不是完全平方数 完全平方数. 至少有一个不是完全平方数 用反证法,假设它们都是完全平方数, 用反证法,假设它们都是完全平方数,令 2d-1=x2 - ① 5d-1=y2 - ② 13d-1=z2 - ③ * x,y,z∈N ∈ 是奇数, 由①知,x 是奇数,设 x=2k-1,于是 2d-1=(2k-1)2,即 d=2k2-2k+1,这说 - , - ( - ) , 也是奇数.因此 再由② 因此, 均是偶数. 明 d 也是奇数 因此,再由②,③知,y,z 均是偶数 代入③ 相减, 为偶数, 设 y=2m,z=2n,代入③、④,相减,除以 4 得,2d=n2-m2=(n+m)(n-m),从而 n2-m2 为偶数, 代入 - , n,m 必同是偶数,于是 m+n 与 m-n 都是偶数,这样 2d 就是 4 的倍数,即 d 为偶数,这与上述 同是偶数, 的倍数, 为偶数, , - 都是偶数, d 为奇数矛盾 故命题得证 为奇数矛盾.故命题得证 故命题得证. 8.首先易证: 2 > 2 . 从而 k > m(因为d ? a > b ? c, 于是(a + d ) 2 = ( a ? d ) 2 + 4ad 首先易证: 首先易证
k m



再由 > (b ? c) 2 + 4bc = (b + c) 2 .再由 ad = bc, d = 2 k ? a, c = 2 m ? b可得b ? 2 m ? a ? 2 k = b 2 ? a 2 , 因而 2 m (b ? a ? 2 k ?m ) = (b + a )(b ? a ) ①

为偶数, 为奇数, 显然, 显然, b + a, b ? a 为偶数, b ? 2 k ? m a 为奇数,并且 b + a和b ? a 只能一个为 4n 型 偶数, 型偶数( 的倍数, 偶数,一个为 4n+2 型偶数(否则它们的差应为 4 的倍数,然而它们的差等于 2a 不是 4 的倍数), 的倍数), 因此,如果设 为奇数,那么由① 因此 如果设 b ? 2 k ? m a = e ? f ,其中 e,f 为奇数,那么由①式及 b + a, b ? a 的特性就有 (Ⅰ) ?b + a = 2 ?
e, 或(Ⅱ) ?b + a = 2 f , ? m ?1 ?b ? a = 2 f . ?b ? a = 2 e.
m ?1

由 ef = b ? 2 k ? m a ≤ b ? 2a < b ? a ≤ 2 f

得 e=1, ,

于是( 从而 f = b ? 2 k ? m a. 于是(Ⅰ)或(Ⅱ)分别变为
?b + a = 2 m ?1 , ?b + a = 2(b ? 2 k ?m a ), ? 或? ? ? ?b ? a = 2(b ? 2 k ? m a) ?b ? a = 2 m ?1 ? ?

解之,得 a ? 2 k ? m +1 = 2 m ?1 .因 a 为奇数,故只能 a=1. 解之, 因 为奇数, 9.证明 由于每个 a i 均为 1 和-1,从而题中所给的等式中每一项 a i a i +1 a i + 2 a i +3 也只取 1 或-1,而 证明:由于每个 证明 , , 的个数必相等, 必须是偶数, 这样的 n 项之和等于 0,则取 1 或-1 的个数必相等,因而 n 必须是偶数,设 n=2m. , 之乘积=( 项中取- 的项( 再进一步考察已知等式左端 n 项之乘积 a1 a 2 L a n )4=1,这说明,这 n 项中取-1 的项(共 ,这说明, m 项)也一定是偶数,即 m=2k,从而 n 是 4 的倍数 也一定是偶数, 的倍数. ,


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