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15.圆的方程与直线和圆的位置关系


15.圆的方程与直线和圆的位置关系
二、填空题

1 25 1. ( x ? )2 ? ( y ? 1)2 ? 2 4
4.1 7. x ? ?4 或 8x ? 15 y ? 77 ? 0 10. 4 2 ? 2 三、解答题

2.相交 5. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 8. [2,2 2)

3. 7 6. - 3 9.
3 5 ?5 5

11. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,由题得:

? 4 D ? 3E ? F ? 25 ? 0 ? D ? ?6 ? ? ?5 D ? 2 E ? F ? 29 ? 0 ,解得 ? E ? ?2 ?D ? F ? 1 ? 0 ?F ? 5 ? ?
故所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 12.解: (1) x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 可化为 ( x ? 2) ? y ? 3 ,其表示以点 (2, 0) 为圆心, 3 为半径的圆,
2 2 2 2



y ? k , 即 y ? k x , 当 直 线 y ? kx 与 圆 相 切 时 , 斜 率 k 取 最 大 值 和 最 小 值 , 此 时 x

2k ? 0

? y? ? y? ? 3 ,解得 k ? ? 3 ,故 ? ? ? 3 , ? ? ? ? 3 . ? x ?max ? x ?min k2 ?1

(2)设 y ? x ?b ,即 y ? x ?b ,当直线 y ? x ? b 与圆相切时,纵截距 b 取最大值和最小值,此



2?0?b 2

? 3 ,解得 b ? ?2 ? 6 ,故 ? y ? x ?max ? ?2 ? 6 , ? y ? x ?min ? ?2 ? 6 .

(3) x 2 ? y 2 表示圆上点与原点距离的平方,由平几知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 2, 故 x2 ? y 2

?

?

max

? 2? 3

?

?

2

? 7 ? 4 3,

?x

2

? y2 ?

min

? 2? 3

?

?

2

?7?4 3.
? 1 ………………1 分

13.(1)圆心 O 到直线 l1 的距离 d ?

| 3? 0 ? 4 ? 0 ? 5 | 32 ? 42

圆 O 的半径 r ? 2 …………………………………………………2 分 所以半弦长为 2 ? 1 ? 3 ………………………………4 分
2 2

故直线 l1 被圆 O 所截得的弦长为 2 3 .…………………………5 分
1

(2)因为过点 (?1, 2) 的直线 l2 与 l1 垂直,直线 l1 的方程为 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 , 所以直线 l2 的方程为: 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ……………………7 分 设圆心 M 的坐标为 (a, b) ,圆 M 的半径为 R ,则 a ? 2b ? 0 ………① 因为圆 M 与直线 l2 相切,并且圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,其弧长比为 2∶1,

| 4a ? 3b ? 10 | | 3a ? 4b ? 5 | 1 ? R, ? R. 5 5 2 | 4a ? 3b ? 10 | | 3a ? 4b ? 5 | 所以 ……………………9 分 ? 2? 5 5
所以 即 2a ? 11b ? 20 ? 0 ………② 或 2a ? b ? 0 ………③……10 分

可得 4a ? 3b ? 10 ? 2 ? (3a ? 4b ? 5) 或 4a ? 3b ? 10 ? ?2 ? (3a ? 4b ? 5) .

8 4 , b ? .……11 分 3 3 10 8 2 4 2 100 所以 R ? .故所求圆 M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? .…………12 分 3 3 3 9
由①、②联立,可解得 a ? 由①、③联立,可解得 a ? 0, b ? 0 .……13 分 所以 R ? 2 .……14 分 故所求圆 M 的方程为 x ? y ? 4 .………………15 分
2 2

综上,所求圆 M 的方程为: ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

8 3

4 3

100 2 2 或 x ? y ? 4 . ………16 分 9
1分 3分

14. (1)∵ kAB ? ? 2, AB ? BC , ∴ kCB ?

2 , 2 2 x ? 2 2. 2

∴ BC : y ?

5分 6分 7分 8分

(2)在上式中,令 y ? 0, 得: C (4,0), ∴圆心 M (1,0), . 又∵ AM ? 3, . ∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9.
2 2

9分

(3)∵ P(?1, 0), M (1,0), ∵圆 N 过点 P(?1, 0), ,∴ PN 是该圆的半径, 又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴ MN ? 3 ? PN , 即 MN ? PN ? 3, . 11 分 12 分

P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. ∴点 N 的轨迹是以 M ,
2

∴a ?

3 5 2 2 , c ? 1,b ? a ? c ? ,. 2 4
x2 y 2 ? ? 1. 9 5 4 4

13 分

∴轨迹方程为

14 分

15. (1) 解:①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 解之得

…2 分

3k ? 4 ? k k 2 ?1

?2,
…5 分 …6 分

k?

3 . 4

所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 。

(2) 解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 3k ,? ). 得 N( 2k ? 1 2k ? 1 ?kx ? y ? k ? 0

…8 分

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? , ). 又直线 CM 与 l1 垂直,由 ? 得M( 1 1? k 2 1? k 2 y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?


…11 分

AM ? AN ? (

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) …13 分 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1

2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k ? 1? k ? ? 6 为定值. 1? k 2 | 2k ? 1|

故 AM ? AN 是定值,且为 6.

…15 分

3


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