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2007年北京市中学生数学竞赛高一


2008 年第 4 期

25

2007 年北京市中学生数学竞赛 ( 高一)
   一、 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 25 分) 1. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 . 则 π π 3 ). f sin + f ( sinπ) + f sin = (    2 2 (A) - 015  (B) 0  ( C) 015  (D) 1
2. 函数
y = | k1 x + b1 | + | k2 x + b2 | - | k3 x + b3 | abcos C + bccos A + cacos B = c ,
2

其中 , ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边分别为 a 、 b、 c. ). 则 △ABC 的面积是 (   
(A) ( C) 1 1 ab    (B) bc 2 2

( 其中 , k1 、 k2 、k3 为正常数 , b1 、 b2 、 b3 均为非 ). 0 常数) 的图像可能是图 1 中的 (   

1 1 2 2 2 ca    (D) ( a + b + c ) 2 2 二、 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 35 分) 1. 已知 a > 1 , b > 1 , c > 1. 则 log a b + 2log b c + 4log c a 的最小值是 2. 如图 2 , MN 是 .

半 圆 ⊙O 的 直 径 , A 是半圆的一个三等分 点 , B 是AN 的中点 , P 是直 径 MN 上 的 点 .
图2

若 A P + PB 的最小值为 2 2 cm ,则半圆 ⊙O 2 的面积是 cm . 3. 一个等差数列的首项为非 0 实数 a , 且对每个正整数 n , 数列的前 n 项和都等于 2 an . 则这个数列的公差为 .
4. 将一副学生用
图1

3. 若 O 是锐角 △ABC 内一点 ,满足 | OA | + | BC| = | OB | + | CA | = | OC| + | AB | . ). 则点 O 是 △ABC 的 (    (A) 垂心 (B) 内心 ( C) 重心 (D) 外心 2 4. 若 f ( x ) = ( k - 1 ) x + 2 kx + 2 007 是 R 上的偶函数 , 则在 ( - ∞, 2 007 ) 上 f ( x ) (    ). (A) 是增函数   (B) 是减函数 ( C) 先减后增   (D) 先增后减 5. 在 △AB C 中 ,如果
2 2 2 2 2 2

三角板拼成如图 3 所 示的四边形 ABCD , 其 中 , ∠CBD = ∠CDB = 45° , ∠BAD = 2 ∠BDA

图3

= 60° ,设对角线 CA 与边 CB 所成的角为θ .

则 tan θ= . 5. 在一张平面上画了 2 007 条互不重合 的直线 l 1 , l2 , …, l 2 007 , 始终遵循垂直 、 平行 交替的规则进行 ( l2 ⊥l1 , l3 Π Πl 2 , l4 ⊥l3 , l5 Π Π
) . 这 2 007 条 互 不 重 合 的 直 线 共 有 l4 , …

个交点 . ( 15 分) 已知一次函数 f ( x ) = ax + b 三、

26

中 等 数 学

对任意的 x 、 y∈ [ 0 ,1 ] 都满足
1 | f ( x ) + f ( y ) - xy | ≤ . 4

1 3 1 a + 2 b - ( a + b) ≤ = 4 8 8

试确定这样的 f ( x ) . ( 10 分) 如图 4 , 圆内接四边形 ABCD 四、 的一组对 边
AB 、DC 的 延

] b ≤- 1 . 8 结合式 ① 得 b= 将 b= a≤

1 . 8

1 代入式 ②、 ③,分别得 8

长线交于点 P , 另一组对边 AD 、 BC 的 延 长线交于点
Q ,自 P、 Q 分

1 1 1 ,a ≥ ] a = . 2 2 2 1 1 x. 2 8

故所求的一次函数为 f ( x ) = 当 f ( x) =
图4

别作该圆的切 线 PE 、 QF , 其

1 1 x时, 2 8 1 1 ( x + y) - xy 2 4

F ( x , y) =

中 , E、 F 是切点 ,联结 PQ . 求证 : 以线段 PE 、
QF 、 PQ 为边构成的三角形是直角三角形 .

=

x-

1 1 1 1 1 ? - y ≤ × = 2 2 2 2 4

( 15 分) 已知实数序列 x0 , x1 , x2 , …, 五、
xn , … 的构成规律由递推关系 x0 = 5 , x n = x n - 1 +

1
xn - 1

对任意的 x 、 y∈ [ 0 ,1 ] 都成立 . 2 2 2 四、 只须证明 : PQ = PE + PF 即可 . 如图 5 , 过
Q、 D、 C 三点

( n =1 , 2 , … )

给出 . 求证 :45 < x1 000 < 4511.

参考答案
一、 1. B   2. C   3. A   4. D   5. A π  3. 2 a  4. 3 - 1  5. 二、 1. 6  2. 2 2
1 007 012

作辅助圆交 PQ 于 点 G , 联 结 CG. 因 为 D、
C、 G、 Q 四点

三、 对一次函数 f ( x ) = ax + b ,设 F ( x , y ) = ax + b + ay + b - xy .
1 据已知有 F ( 0 ,0) = 2 b ≥,即 4
b ≥-

共圆 ,所以 , 图5 ∠PGC = ∠ QDC = ∠ABC . 故 P、 G、 C、 B 四点共圆 . 则 QF = QC? QB = QG? QP . 2 又 PE = PC? PD = PG? PQ ,相加得 2 2 PE + PF = PG? PQ + QG? QP 2 = PQ ( PG + GQ ) = PQ . 因此 ,根据勾股定理的逆定理得 ,以线段
PE 、 QF 、 PQ 为边构成的三角形是直角三角
2

1 . 8 1 4

① ② 形. ③

F (0 ,1) = a + 2 b ≤ .

1 又 F (1 ,1) = 2 a + 2 b - 1 ≥,即 4 3 a+ b≥ . 8

②- ③ 得

五、 不难看出 ,数列的各项都是正数且是 递增的 ,即 x0 < x1 < x2 < …< x n < … .

2008 年第 4 期

27

2007 中国西部数学奥林匹克
  

第一天
(15 分 ) 已知 一、
A Α T ,A ≠ T = {1 ,2 , …,8}. 对于

,定义 S ( A ) 为 A 中所有元素之 和 . 问 : T 有多少个非空子集 A ,使得 S ( A ) 是 3 的倍数 ,但不是 5 的倍数 ? ( 陈永高   提供) ( 15 分 ) 如图 1 , ⊙O1 、 二、 ⊙O2 交于点
C、 D ,过 D 的一条直线分别与 ⊙O1 、 ⊙O2 交
图1

于点 A 、 B ,点 P 在 ⊙O1 的 AD 上 , PD 与线段
AC 的延长线交于点 M , 点 Q 在 ⊙O2 的 BD

上 , QD 与线段 BC 的延长线交于点 N , O 是 △ABC 的外心 . 求证 : OD ⊥MN 的充要条件 为 P、 Q、 M、 N 四点共圆 . ( 边红平   提供)
2    而 x n = xn - 1 +

( 15 分) 设实数 a 、 三、 b、 c 满足 a + b + c = 3. 求证 : 1 1 1 ≤1 . + 2 + 2 2 5 a - 4 a + 11 5 b - 4 b + 11 5 c - 4 c + 11 4 ( 王建伟   提供) ( 15 分) 设 O 是 △ABC 内部一点 . 证 四、 明 : 存在正整数 p 、 q、 r ,使得 1 | p OA + q OB + r OC| < . 2 007

1
xn - 1

2

= xn- 1 +
2

2

xn- 1 xn- 2
2

2

1 1 1

+2 , +2 , +2 ,

故 x1 000 > 45. 又当 n = 100 时 ,由式 ① 得
x100 > x0 + 2 × 100 = 225 = 15 .
2 2 2 2

xn- 1 = xn- 2 =
2

2

xn - 2 + xn - 3 +

1
xn - 2

= xn- 2 +
2

2

1
xn - 3
2

则 x1 000 =

1
x999
2 2

+

1
x998
2

+

1
x997
2

+

1
x996
2

+ …+

1

= xn- 3 +

2

x1

2

+

1

x0

2

+

xn- 3

2

x0 + 2 × 1 000

……
x2 = x1 =
2 2

x1 + x0 +

1
x1

= x1 +
2

2

1
x x

< +2, + 2.

1
x100
2

+

1
x100
2

+ …+

1
x100
2

+

1

x0

2

+

1

x0

2

+ …+

1

x0

2

+

2 1

900个

100个

1
x0

= x0 +

2

1
2 0

上述 n 个式子相加得 1 1 1 1 1 2 x n = 2 + 2 + 2 + …+ 2 + 2 +
xn- 1
2

2 025 900 100 ≤ 2 + 2 + 2 025 = 4 + 4 + 2 025 15 5 < 45 + 9 < 45 + 2 × 45 × 011 + 011
2 2 2 2 = (45 + 011) = 4511 . 故 x1 000 < 4511. 2

xn- 2

xn- 3

x1

x0

x0 + 2 n .


2

当 n = 1 000 时 ,由式 ① 得
x
2 1 000

综上 ,45 < x1 000 < 4511.
( 李延林   提供)

> x +2 × 1 000 = 5 + 2 000 = 2 025.

2 0


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