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2007年北京市中学生数学竞赛高一


2008 年第 4 期

25

2007 年北京市中学生数学竞赛 ( 高一)
, 一 选择题 ( 每小题 5 分 ,共 25 分) 1. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 . 则 π π 3 ) f sin + f ( sinπ) + f sin = ( . 2 2 (A) - 015 (B) 0

( C) 015 (D) 1
2. 函数
y = | k1 x + b1 | + | k2 x + b2 | - | k3 x + b3 |
图1

abcos C + bccos A + cacos B = c ,

2

其中 , ∠A , B , C 的对边分别为 a , , . ∠ ∠ b c ) 则 △ABC 的面积是 ( .
(A) ( C) 1 1 ab (B) bc 2 2

( 其中 , k1 ,2 ,k3 为正常数 , b1 ,2 ,3 均为非 k b b ) 0 常数) 的图像可能是图 1 中的 ( .

1 1 2 2 2 ca (D) ( a + b + c ) 2 2 二, 填空题 ( 每小题 7 分 ,共 35 分) 1. 已知 a > 1 , b > 1 , c > 1. 则 log a b + 2log b c + 4log c a 的最小值是 2. 如图 2 , MN 是 .

半 圆 ⊙O 的 直 径 , A 是半圆的一个三等分 点 , B 是AN 的中点 , P 是直 径 MN 上 的 点 .
图2

若 A P + PB 的最小值为 2 2 cm ,则半圆 ⊙O 2 的面积是 cm . 3. 一个等差数列的首项为非 0 实数 a , 且对每个正整数 n , 数列的前 n 项和都等于 2 an . 则这个数列的公差为 .
4. 将一副学生用

3. 若 O 是锐角 △ABC 内一点 ,满足 | OA | + | BC| = | OB | + | CA | = | OC| + | AB | .
2 2 2 2 2 2

三角板拼成如图 3 所 示的四边形 ABCD , 其 中 , ∠CBD = ∠CDB = 45° ∠BAD = 2 ∠BDA ,

图3

) 则点 O 是 △ABC 的 ( . (A) 垂心 (B) 内心 ( C) 重心 (D) 外心 2 4. 若 f ( x ) = ( k - 1 ) x + 2 kx + 2 007 是 R 上的偶函数 , 则在 ( - ∞, 2 007 ) 上 f ( x ) ( . ) (A) 是增函数 (B) 是减函数 ( C) 先减后增 (D) 先增后减 5. 在 △AB C 中 ,如果

= 60°设对角线 CA 与边 CB 所成的角为θ , .

则 tan θ= . 5. 在一张平面上画了 2 007 条互不重合 的直线 l 1 , l2 , …, l 2 007 , 始终遵循垂直 , 平行 交替的规则进行 ( l2 ⊥l1 , l3 ∏ l 2 , l4 ⊥l3 , l5 ∏ ∏ ∏
) l 4 , … . 这 2 007 条 互 不 重 合 的 直 线 共 有

个交点 . ( 三 ,15 分) 已知一次函数 f ( x ) = ax + b

26

中 等 数 学

对任意的 x , ∈[ 0 ,1 ] 都满足 y
1 | f ( x ) + f ( y ) - xy | ≤ . 4

1 3 1 a + 2 b - ( a + b) ≤ = 4 8 8

试确定这样的 f ( x ) . ( 四 ,10 分) 如图 4 , 圆内接四边形 ABCD 的一组对 边
AB ,DC 的 延

结合式 ① b = 得 将 b= a≤

长线交于点 P , 另一组对边 AD , BC 的 延 长线交于点
Q ,自 P, 分 Q

故所求的一次函数为 f ( x ) = 当 f ( x) =
图4

别作该圆的切 线 PE , , 其 QF

中 , E , 是切点 ,联结 PQ . 求证 : 以线段 PE , F
QF , 为边构成的三角形是直角三角形 . PQ

( 五 ,15 分) 已知实数序列 x0 , x1 , x2 , …,
xn , … 的构成规律由递推关系 x0 = 5 , x n = x n - 1 +

1
xn - 1

对任意的 x , ∈[ 0 ,1 ] 都成立 . y 2 2 2 四, 只须证明 : PQ = PE + PF 即可 . 如图 5 , 过
Q, , 三点 D C

( n =1 , 2 , … )

1 007 012

给出 . 求证 :45 < x1 000 < 4511.
b ≥-

参考答案

一, B C A D A 1. 2. 3. 4. 5.
3- 1 π 二 , 6 2. 2 3. 2 a 4. 1. 5. 2

作辅助圆交 PQ 于 点 G , 联 结 CG. 因 为 D,
C, , 四 点 G Q

三, 对一次函数 f ( x ) = ax + b ,设 F ( x , y ) = ax + b + ay + b - xy .
1 据已知有 F ( 0 ,0) = 2 b ≥,即 4 1 . 8

共圆 ,所以 , 图5 ∠PGC = ∠ QDC = ∠ABC . 故 P , , , 四点共圆 . G C B 则 QF = QC· = QG· . QB QP 2 又 PE = PC· = PG· ,相加得 PD PQ 2 2 PE + PF = PG· + QG· PQ QP 2 = PQ ( PG + GQ ) = PQ . 因此 ,根据勾股定理的逆定理得 ,以线段
PE , , 为边构成的三角形是直角三角 QF PQ
2

① ② 形. ③

F (0 ,1) = a + 2 b ≤ .

1 4

1 又 F (1 ,1) = 2 a + 2 b - 1 ≥,即 4 3 a+ b≥ . 8

②- ③ 得

五, 不难看出 ,数列的各项都是正数且是 递增的 ,即 x0 < x1 < x2 < …< x n < … .

] b ≤- 1 . 8
F ( x , y) =

1 . 8

1 代入式 ②, ,分别得 ③ 8

=

x-

1 1 1 ,a ≥ ] a = . 2 2 2 1 1 x时, 2 8

1 1 x. 2 8

1 1 ( x + y) - xy 2 4

1 1 1 1 1 · - y ≤ × = 2 2 2 2 4

2008 年第 4 期

27

2007 中国西部数学奥林匹克


第一天
(15 一 , 分) 已知
A Α T ,A ≠ xn- 1 = xn- 2 =
2 2

T = {1 ,2 , …,8}. 对于

,定义 S ( A ) 为 A 中所有元素之 和 . 问 : T 有多少个非空子集 A ,使得 S ( A ) 是 3 的倍数 ,但不是 5 的倍数 ? ( 陈永高 提供)
图1

( 二 ,15 分 ) 如图 1 , ⊙O1 , O2 交于点 ⊙

C , ,过 D 的一条直线分别与 ⊙O1 , O2 交 D ⊙

于点 A , ,点 P 在 ⊙O1 的 AD 上 , PD 与线段 B
AC 的延长线交于点 M , 点 Q 在 ⊙O2 的 BD

上 , QD 与线段 BC 的延长线交于点 N , O 是 △ABC 的外心 . 求证 : OD ⊥MN 的充要条件 为 P , , , 四点共圆 . Q M N ( 边红平 提供)
2 x n = xn - 1 + 而

( 三 ,15 分) 设实数 a , , 满足 a + b + c b c = 3. 求证 : 1 1 1 ≤1 . + 2 + 2 2 5 a - 4 a + 11 5 b - 4 b + 11 5 c - 4 c + 11 4 ( 王建伟 提供) ( 四 ,15 分) 设 O 是 △ABC 内部一点 . 证 明 : 存在正整数 p , , ,使得 q r 1 | p OA + q OB + r OC| < . 2 007

1
xn - 1

2

= xn- 1 +
2

2

1
xn- 1
2

+2 , +2 , +2 ,

故 x1 000 > 45. 又当 n = 100 时 ,由式 ① 得
x100 > x0 + 2 × 100 = 225 = 15 .
2 2 2 2

xn - 2 + xn - 3 +

1
xn - 2

= xn- 2 +
2

2

1
xn- 2
2

1
xn - 3
2

= xn- 3 +

2

1
xn- 3
2

则 x1 000 =

1
x999
2 2

+

1
x998
2

+

1
x997
2

+

1
x996
2

+ …+

1
x1
2

+

1
x0
2

+

x0 + 2 × 000 1

……
2

x2 = x1 =
2

x1 + x0 +

1
x1

= x1 +
2

2

1
x x
2 1

< +2, + 2.

1
x100
2

+

1
x100
2

+ …+

1
x100
2

+

1
x0
2

+

1
x0
2

+ …+

1
x0
2

+

900个

100个

1
x0

= x0 +

2

1
2 0

上述 n 个式子相加得 1 1 1 1 1 2 x n = 2 + 2 + 2 + …+ 2 + 2 +
xn- 1
2

2 025 900 ≤ 2 + 100 + 2 025 = 4 + 4 + 2 025 2 15 5
2 2 = (45 + 011) = 4511 . 故 x1 000 < 4511.

xn- 2

xn- 3

x1

x0

x0 + 2 n .
2 0 2



当 n = 1 000 时 ,由式 ① 得
x
2 1 000

> x + 2 × 000 = 5 + 2 000 = 2 025. 1

综上 ,45 < x1 000 < 4511.

< 45 + 9 < 45 + 2 × × 11 + 011 45 0
2 2

2

( 李延林 提供)

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