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江苏省泰兴市第一高级中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


泰兴市第一高级中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试

高一数学试卷
命题人:凌舜明 审核:丁连根 考试时间:120 分 满分:160 分 2014-11

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.若集合 A ? ?0,1,2? , B ? ??2,1,2,

3? ,则 A ? B = 2.已知幂函数 ...y ? f ( x) 的图象过点 ( ,8) ,则 f ( x) ? 3.已知扇形半径为 1,圆心角为 2,则扇形的面积为 4.已知角 α 的终边经过点 P (5, y ) ,且 sin ? ? ?
0.8

▲ ▲ ▲

. . . ▲ .

1 2

12 ,则 y= 13

5.设 a ? log0.6 0.8 , b ? log1.2 0.9 , c ? 1.1 ,则 a、b、c 由小到大 的顺序是 ▲ . .... 6.设函数 f ( x) ? ?

? ? x, x ? 0
2 ?x ,

x?0

,若 f (a) ? 4 ,则实数 a ?



.

2 7.设函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f ( x ) 的单调递减区间是

▲ ▲ .

.

8. 已知 f ? x ? ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 , f ? ?2? ? 10 ,则 f ? 2 ? ? 9.函数 y ?| x ? 1 | ? | 2 ? x | 的最小值是 ▲ .
*

10.方程 log3 x ? x ? 3 的解在区间 (n, n ? 1) 内, n ? N ,则 n =
2





11.已知函数 y ? x ? 2x ? 3 在区间 ?0, m? 上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围是 ▲ . , 若 f ( x) 在区间 [m2 , n]

() ? fn () 12. 设已知函数 f ( x) ? log 2 x , 正实数 m, n 满足 m ? n , 且 fm

上的最大值为 2,则 n ? m ?





13.若 f ? x ? 为 R 上的奇 函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f ? ?3? ? 0 ,则 ( x ? 2) f ? x ? ? 0 的解集为 ▲ .

14.若函数 f ?x ? 同时满足:①对于定义域上的任意 x ,恒有 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ②对于定义域上的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,恒有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,则称函数 f ?x ? 为 x1 ? x2

“理想函数”。 给出下列四个函数中:① f ? x ? ? ④ f ?x ? ? ?

1 2x ?1 ;② f ?x ? ? x 2 ; ③ f ? x ? ? x ; x 2 ?1
(填相应的序号) .

?? x 2 2 ? x

x?0 ,能被称为“理想函数”的有 x?0

二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) (1)已知 x ? x
1 2 ? 1 2

? 3 ,求 x+x的值;

1

(2)计算:(log43+log83)?(log32+log98).

16. (本小题满分 14 分) 已知:函数 f ( x) ? 4 ? x ? lg(3 x ? 9) 的定义域为 A, 集合 B ? { x x ? a ? 0, a ? R}. (1)求集合 A; (2)求 A ? B .

17. (本小题满分 15 分)

1? x (a ? 0, a ? 1) 1? x (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? loga

18. (本小题满分 15 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出 .若每辆车的 月租金每增加 50 元,未租出的车将会增 加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租 出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少?

19. (本小题满分 16 分) 8 探究函数 f(x)=2x+ -3,x∈(0,+∞)上的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如 x 下: x y … … 0.5 14 1 7 1.5 5.33 1.7 5.11 1.9 5.01 2 5 2.1 5.01 2.2 5.04 2.3 5.08 3 5.67 4 7 5 8.6 7 12.14 … …

8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点,请你直接写出 函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,+ .... x ∞)上的单调区间,并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值. 8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,2]上的单调性; x 8 (3)设函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,a]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式. x

20. (本小题满分 16 分)

如图, 过函数 f ( x) ? logc x (c ? 1) 的图像上的两点 A, B 作 x 轴的垂线, 垂足分别为 M (a, 0) , N (b, 0) (b ? a ? 1) ,线段 BN 与函数 g ( x) ? log m x , (m ? c ? 1) 的图像交于点 C,且 AC 与 x 轴 平行. (1)当 a ? 2, b ? 4, c ? 3 时,求实数 m 的值; m 2c (2)当 b ? a 2 时,求 ? 的最小值; b a (3)已知 h( x) ? a x , ? ( x) ? b x ,若 x1 , x2 为区间 (a, b) 内任意两个变量,且 x1 ? x2 . 求证: h[ f ( x2 )] ? ?[ f ( x1 )] .

高一数学期中考试题参考答案
1、 ?- 2,0,1,2,3? 2、 x 8、-26 9、3
1
-3

3、1 11、
1

4、-12 12、

5、b<a<c

6、-4 或 2

( - ?, 0) 7、

10、2
1 -2 =

5 2

? (2,3) 13、( - 3,0)

14、④ ……2 分

15、(1)因为 x2+x 即 x+x
-1

3,所以(x2+x

1 -2 2 ) =32,

+2=9. ……7 分

1 所以 x+x =7. 1 1 3 (2)(log43+log83)?(log32+log98)=(2log23+3log23)?(log32+2log32) 5 5 25 =6log23?2log32=12.
16、解: (1) ?

……14 分 ……… 6 分

?4 ? x ? 0

?x ? 4 ? ? 2 ? x ? 4 ,定义域 A= ?2,4? ; ? x x 2 3 ? 9 ? 0 3 ? 3 ? ?

(2)B= x x ? a ? 0, a ?R =(- ? ,a) ①当 a≤2 时,A∩B= ? ②当 2<a ≤4 时,A∩B=(2,a) ③当 a> 4 时,A∩B= ?2,4? 。

?

?

………

8分

…………… 10 分 ………………… 12 分 …………………14 分

17、解: (1)由题意可知

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 ,所以函数的定义域为 (?1,1) ;……4 分 1? x

(2) 函数的定义域为 (?1,1) ,关于原点对称.…………………………………… 5 分 因为 f (? x) ? log a
1? x 1? x ?1? x ? ? log a ? ? ? f ( x) , ? ? ? log a 1? x 1? x ?1? x ?
?1

所以 f ( x ) 为奇函数; ……………………………………………………… 10 分 (3)当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 当 a ? 1 时,

1? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 ,……………………………………15 分 1? x

1? x ? 1 ,解得 ?1 ? x ? 0 , 1? x

……………………… 13 分

18、解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车为

3600 ? 3000 ? 12 辆, 50

所以租出了 88 辆车;……………………………………………………6分 (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为

x ? 3000? x ? 3000 ? f ?x ? ? ?100 ? ? 50 ,整理得 ??x ? 150? ? 50 ? 50 ?
x2 1 2 f ?x ? ? ? ? 162x ? 21000? ? ?x ? 4050? ? 307050 50 50
所以当 x ? 4050 时, f ?x ? 最大,其最大值为 f ?4050 ? ? 307050 答:当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元.…………………………………………………15 分

19 、 (1) 由 表 中 可 知 数.

f(x) 在 (0 , 2] 为 减 函 数 , 为 减 函 ……10 分

8 (3)由(2)可证:函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上单调递减,在区间 8 ①当 0<a<2 时,(0,a]? (0,2],所以函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,a]上单调递减, 8 故 f(x)min=f(a)=2a+a-3; 8 ②当 a≥2 时,函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,2]上单调递减,上单调递增, 故 f(x)min=f(2)=5; 8 综上所述,函数 f(x)=2x+x -3 在区间(0,a]上的最小值为

? ?2a+8-3,0<a<2, a g(a)=? ? 5 , a≥2. ?

……16 分

20、 (1)解:由题意得 A (2,log3 2) ,B (4,log3 4) ,C (4, log m 4) 因为 AC 与 x 轴平行 所以 logm 4 ? log3 2 所以 m ? 9 ……………………………………………………5 分 (2)解:由题意得 A (a,log c a) ,B (b,log c b) ,C (b, log m b) 因为 AC 与 x 轴平行 所以 logm b ? logc a 因为 b ? a 2 ,所以 m ? c2

m 2c c2 2c c ? ? ? ? ( ? 1)2 ? 1 b a a2 a a c 所以 ? 1 时,达到最小值- 1……………………………………………………10 分 a (3)证明:因为 a ? x1 ? x2 ? b ,且 c ? 1 所以 logc a ? logc x1 ? logc x2 ? logc b 又因为 a ? 1 , b ? 1
所以

? a logc b , blogc a ? blogc x1 又因为 logc b logc a ? logc a log c b
所以 a
logc x2

所以 logc 所以 a

alogc b ? logc blogc a

? blogc a log c x2 ? blogc x1 所以 a
logc b

即 h[ f ( x2 )] ? ?[ f ( x1 )]

……………………………………………………16 分


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