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2017版高考数学一轮复习(通用版)课件:第2章-第8节第二章


备 高 考

启 智 慧

理 教 材

第八节 函数与方程
分 层 限 时 跟 踪 练

研 考 点

备高考| 3 个任务 1.考查具体函数的零点个数和函数零点所在的区间. 2.利用函数零点求解参数的取值范围. 3.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价

转化思想和数 形结合思想.

理教材| 回扣自测 要点梳理 一、函数零点 1.定义:对于函数 y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y =f(x)(x∈D)的零点. 2.函数零点与方程根的关系:方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x
轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点

3.零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[ a,b] 上的图象是连续不断的
f(b)<0 一条曲线,并且有f(a)· ,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存 f(x0)=0

在 x0∈(a,b),使得

.

[ 易错提醒] 函数零点的两个易错点 ?1?函数的零点不是点,是方程 f?x?=0 的实根. ?2?函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能 判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个 函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

二、二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ=b2-4ac 二次函数 y= ax2+bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点(x1,0),(x2,0) (x1,0) 零点个数 2 1 无交点 0 Δ>0 Δ=0 Δ<0

[ 拓展延伸] 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布情况 根的分布(m<n< p 为常数) x1<x2<m (两根都小于 m) ? ?Δ>0, ? b ?- <m, ? 2a ? ?f?m?>0 图象 满足的条件

m<x1<x2 (两根都大于 m) x1<m<x2 (一根大于 m, 一根 小于 m)

? ?Δ>0, ? b ?- >m, ? 2a ? ?f?m?>0

f(m)<0

x1,x2∈(m,n) (两 根位于 m,n 之间)

?Δ≥0, ? ?m<- b <n, 2a ? ?f?m?>0, ? ?f?n?>0 ?f?m?>0, ? ?f?n?<0, ?f?p?>0 ?

m<x1<n<x2<p (两根分别位于 m 与 n,n 与 p 之间)

只有一根在 m,n 之间

?Δ=0, ? ? b m<- <n, ? 2a ? 或 f(m)· f(n)<0

三、二分法
f(b)<0 对于在区间[ a,b] 上连续不断且 f(a)· 的函数 y=f(x),通过不断地把函

数 f(x)的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法.

基础自测 1.判断下列说法是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( )

(2) 函数 y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点( 函数图象连续不断) ,则 f(a)· f(b) < 0.( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点.( (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

) )

6 2.(2014· 北京高考)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点 x 的区间是( A.(0,1) C.(2,4) ) B.(1,2) D.(4,+∞)

【解析】 由题意知, 函数 f(x)在(0, +∞)上为减函数, 又 f(1)=6-0=6>0, 6 3 1 f(2)=3-1=2>0,f(4)=4-log24=2-2=-2<0,由零点存在性定理,可知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
【答案】 C

?1? 3.函数 f(x)=x -?2?x 的零点的个数为( ? ?
1 2

) D.3
1 2

A.0
【解析】

B.1

C.2

?1? 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x 与 y2=?2?x 的图象如图所示, ? ?
1 2

?1? 易知,两函数图象只有一个交点.因此函数 f(x)=x -?2?x 只有 1 个零点. ? ?

【答案】 B

4.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算得 f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线 上应填的内容分别为( A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.25) ) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

【解析】 ∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)· f(0.5)<0,故 f(x)的一个零点 x0∈
?0+0.5? ? (0,0.5),利用二分法,则第二次应计算 f? ? 2 ?=f(0.25). ? ?

【答案】 A

5.已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 【解析】 函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上递增. 由已知条件 f(0)· f(1)<0,即 a(a+2)<0,解得-2<a<0.
【答案】 (-2,0)

研考点| 梯度提升

考向 1 判断函数零点所在的区间 题型:选择题 难度:低

基础考点 命题指数:★☆☆

命题热点:给定函数解析式,直接判断函数零点所在的区间.

[自主突破] (1)(2013· 重庆高考)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x-c)+(x -c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 )

1 (2)函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在的区间为( x A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

)

【解析】 (1)∵f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a), ∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b), ∵a<b<c,∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0, ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 1 (2)令 f(x)=ln(x+1)- , x 1 ∵f(2)=ln 3- >0,f(1)=ln 2-1<0,又函数 f(x)在(1,2)上的图象是一条连 2 续不断的曲线,∴函数 f(x)在区间(1,2)内有零点.此零点即函数 y=ln(x+1)与 y 1 = 的图象交点的横坐标. x 【答案】 (1)A (2)B

[规律总结] 确定函数零点所在区间的两种常用方法 (1)定理法:利用零点存在性定理加以判断. (2)图象交点法:画出两函数 y=f(x),y=g(x)的图象,其交点的横坐标是函 数 F(x)=f(x)-g(x)的零点,以此来判断函数零点所在区间.

考向 2 确定函数零点的个数 题型:选择题

能力考点 难度:中 命题指数:★★☆

命题热点:常以基本初等函数为载体,体现等价转化及 数形结合思想的应用.

[师生共研] (1)(2013· 天津高考)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

(2)(2014· 湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2- 3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} )

B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

【解析】 (1)将函数零点视为两个函数图象的交点, 分别画出函数图象,利用数形结合求解.
?1?x 令 f(x)=2 |log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=? ? . ?2?
x



?1? g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ?x,在同一坐标系下分别 ?2?

画出函数 g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点.

(2)求出当 x<0 时,f(x)的解析式,分类讨论解方程即可. 令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x. 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以当 x<0 时,f(x) =-x2-3x. 所以当 x≥0 时,g(x)=x2-4x+3. 令 g(x)=0,即 x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x=3. 当 x<0 时,g(x)=-x2-4x+3. 令 g(x)=0,即 x2+4x-3=0,解得 x=-2+ 7>0(舍去)或 x=-2- 7.所 以函数 g(x)有三个零点,故其集合为{-2- 7,1,3}. 【答案】 (1)B (2)D

[规律总结] 判断函数 y=f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法.令 f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数. (2)零点存在性定理法. 判断函数在区间[ a, b] 上是连续不断的曲线, 且 f(a)· f(b) <0,再结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函 数的零点个数. (3)数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图 象,其交点的个数就是函数零点的个数).

[变式训练] 1.已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x 1 2 3 4 5 6

y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 -123.6 则函数 y=f(x)在区间[1,6] 上的零点至少有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 ) D.5 个

【解析】 依题意,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0, 故函数 y=f(x)在区间[1,6] 上的零点至少有 3 个.

【答案】 B

2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1] 时,f(x)=x, 则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是( A.多于 4 个 C.3 个 ) B.4 个 D.2 个

【解析】 由 f(x+2)=f(x)可知,f(x)是周期为 2 的偶函数,在同一坐标系内 作出函数 y=f(x)及 y=log3 |x|的图象,如图所示:

由图可知,两图象有 4 个交点,即函数 y=f(x)-log3 |x|有 4 个零点.
【答案】 B

考向 3 函数零点的应用 题型:选择、填空题

能力考点 难度:中 命题指数:★★★

命题热点:已知函数零点或方程根的情况求参数的范围, 体现数形结合及等价转化思想.

[师生共研] (1)(2015· 湖南高考)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范 围是__________; (2)(2015· 山西四校三模)函数
?1-x2,x≤1, ? f(x)=? ? ?ln x,x>1,

1 若方程 f(x)=mx- 恰有 2

四个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是________.

【解析】 (1)将函数 f(x)=|2x-2|-b 的零点个数问题转化为函数 y=|2x-2|的 图象与直线 y=b 的交点个数问题,数形结合求解. 由 f(x)=|2x-2|-b=0 得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐标系中画出 y=|2x-2|与 y=b 的图象,如图所示, 则当 0<b<2 时,两函数图象有两个交点,从而函 数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点.

(2)在平面直角坐标系中作出函数 y=f(x) 的图象 ? 1 1? (如图), 易知函数 y=mx- 的图象恒过定点?0,- ?, 2 2? ? ? 1? 设过点?0,-2?且与函数 y=ln x(x>1)的图象相切的 ? ? 直线为 l1,切点坐标为(x0,ln x0)(x0>1).因为 y=ln x 1 的导函数为 y′= , 所以图中 y=ln x(x>1)的图象的 x 1 1 1 ln x0+2 切线 l1 的斜率为 k= ,则 = ,解得 x0= e, x0 x0 x0-0 1 e 1 1 所以 k= = e .又图中直线 l2 的斜率为2, 故当方程 f(x)=mx-2恰有四个不相等 e ?1 e? ? 的实数根时,实数 m 的取值范围是? , ? . ? ?2 e ?

【答案】 (1)(0,2)

?1 (2)? ?2, ?

e? ? e? ?

[规律总结] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确 定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的 图象,然后数形结合求解.

[变式训练] 2 1.函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 x
x

( A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

)

【解析】 由题意可知 f(1)· f(2)<0,即 a(a-3)<0,所以 0<a<3. 【答案】 C

2.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-log1x,h(x)=log2x- x的零点分别为 x1,
2

x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是( A.x1>x2>x3 C.x1>x3>x2

) B.x2>x1>x3 D.x3>x2>x1

【解析】 由 f(x)=2x+x=0,g(x)=x-log1x=0,h(x)=log2x- x=0 分别
2

得 2x=-x,x=log1x,log2x= x.
2

在坐标系中分别作出 y=2x 与 y=-x, y=x 与 y=log1x, y=log2x 与 y= x的
2

图象, 由图象可知-1<x1<0,0<x2<1,x3>1,

所以 x3>x2>x1.故选 D.

【答案】 D

启智慧| 解题有招

数形结合思想在函数零点中的应用 [案例研析] (2015· 潍坊模拟)设方程 x4+ax-4=0 的各实根为 x1,x2,?,xk(k≤4).若
? 4? 点?xi,x ?(i=1,2,?,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是( ? i?

)

A.(4,+∞) C.(6,+∞)

B.(-∞,-6)∪(6,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

【审题策略】 方程x
4

4 等价转化 3 +ax-4=0有实根 ――→ 方程x +a= 有实根 x

4 等价转化 3 ――→ 函数f?x?=x +a与f?x?= 的图象有交点 x

4 画出直线y=x及函数f?x?=x +a与f?x?=x的图象
3

数形结合 ――→ 求a的范围

4 【解析】 由题意可知,方程的根不可为 0,所以原方程等价于 x +a= , x
3

4 原方程的实根可转化为曲线 y=x +a 与曲线 y= 的交点的横坐标,又因为曲线 x
3

y=x +a 是由曲线 y=x

3

3

? 4? 向上或向下平移|a|个单位得到的,若交点?xi, ?(i= xi? ?

1,2,?,k)均在直线 y=x 的同侧,

4 因 直 线 y = x 与 y = 交 点 为 ( - 2 , - 2) , (2,2) , 所 以 由 图 象 可 得 x ?a>0, ?a<0, ? ?3 3 ??-2? +a>-2, 或?2 +a<2, 解得 a>6 或 a<-6.故选 B. ?x<-2 ?x>2, ? ?
【答案】 B

[ 解题有招] 关于函数零点的综合题,常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 二次函数揉合在一起组成一个大题,零点作为其条件的构成部分或结论之一, 解题时主要依据题目特点:①分离参数,将参数的取值范围转化为求函数的值 域;②数形结合,利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论;③构造函数, 借助于导数来研究.

[抢分训练] ?|log2x|,0<x<2 ? 1.(2015· 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=? ?π ? ,若存在实数 x1, sin?4x?,2≤x≤10 ? ? ? ? ?x3-1?· ?x4-1? x2,x3,x4 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且 x1<x2<x3<x4,则 的取 x1· x2 值范围是( ) B.(9,21) D.(15,25)

A.(20,32) C.(8,24)

【解析】 如图:

-log2x1=log2x2?log2x1+log2x2=0?log2x1x2=0?x1x2=1,x3 与 x4 关于 x=6 对称, 所以 x3+x4=12, ∴(x3-1)· (x4-1)=x3x4+1-(x4+x3)=x4x3-11=x3(12-x3)-11 =-x2 3+ 12x3- 11, x3∈ (2,4).
2 又-x2 3+ 12x3- 11=- (x3- 6) + 25, x3∈ (2,4),∴ (x3-1)(x4- 1)∈ (9,21).故选 B.

【答案】 B

1 2.(2015· 东北四校联考)函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx(- 1-x 2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A.2 B.4 C.6 ) D.8

1 -1 【解析】 由题意知 y= = 的图象是双 1-x x-1 曲线,且关于点(1,0)成中心对称,又 y=2sin πx 的周 2π 期为 T= =2,且也关于点(1,0)成中心对称,因此 π 两图象的交点也一定关于点 (1,0) 成中心对称,再结 合图象(如图所示)可知两图象在[ -2,4] 上有 8 个交 点,因此 8 个交点的横坐标之和 x1+x2+?+x8= 4×2=8.故选 D.
【答案】 D

分层限时跟踪练

(十一)
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