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2.2等差数列及其通项公式(2)


2.2等差数列及其通项公式 (2)

复习回顾:
1、等差数列:一般地,如果一个数列从第二 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个 常数d,那么这个数列就叫做等差数列。常 数d叫做等差数列的公差。

2、等差中项:由三个数a , A , b组成的等差
数列可以看成最简单的等差数列。这时,

A叫做a

与b的等差中项。

3. 等差数列通项公式:

an=a1+(n-1)d.
4、等差数列定义:

an-an-1 =d


(n≥2).

an+1- an = d

等差数列通项公式的推论:

an ? am ? (n ? m)d
an ? am d? n?m

例1 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31, 求公差d与通项公式 .

a12 ? a5 31 ? 10 解析: d ? ? ?3 12 ? 5 7 an ? a5 ? (n ? 5) ? d ? 10 ? (n ? 5) ? 3 ? 3n ? 5

练习:1、在等差数列{an}中若 a59=70,a80=112,求a101;

a101=154

思考:
如果在a与b的中间放入一个数A,使a, A, b成 等差数列,那么A应该满足什么条件? 分析:由a, A, b成等差数列得: a?b A ? a ? b ? A, ? A ? . 2 a?b 反之,若 A ? , 即A ? a ? b ? A, 2 即a, A, b成等差数列.
a?b A? ? a , A, b 成等差数列. 2

等差中项:
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项, 且 A= a+b .

2

不难发现,在一个等差数列中,从第 2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的 前一项与后一项的等差中项.

an-1 + an+1 an = 2

思考:
等差数列{an}: a1, a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7, a8,a9,a10….

中,显然 a4 ,a5 ,a6 构成等差数列,那
么 a3 ,a5 ,a7 是否也构成等差数列? a2 ,a5 ,a8 呢?

2a5=a4+a6=a3+a7= a2 + a8

2a5=a4+a6=a3+a7=a2+a8 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q, 则am+an =ap+aq.

若m + n = 2p,则有am + an = 2a p

例2 :在等差数列{an}中已a6+a9+a12+a15=20 求a1+a20 分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20, 可得a1+a20=10

练习: 2、在等差数列{an}中:

1 (1)已知 a3 ? a9 ? ,求 a6 2
1 解:∵ a3 ? a9 ? 2a6 ? 2


1 a6 ? 4

练习:3、已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8

分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,
又已知 a3+a11=10,

∴a7=5
∴ a6+a7+a8=3a7=15

练习:

4、在等差数列?an ?中,若a2 + 2a6 + a10 = 120, 求a3 + a9的值。

思考:
如果一个数列{an}的通项公式an = pn + q, 其中p,q都是常数,那么这个数列一定是等差数 列吗? {an}为等差数列? an= pn + q

(p、q为常数)

练习:

5.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5 ,-3a +2,则 a 等于( ) B A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 6. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则

-35 a10=______

课外作业:

1.在数列{an } a1 ? 2 ,2an ?1 中, 求 a101

? 2an ? 1

2.在三角形ABC中,A,B,C成等差数列, 且lga,lgb,lgc也成等差数列,试判断三角形 的形状。


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