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1.2.3 导数的四则运算法则(二)


1.2.3 导数的四则运算法则(二) 【我的目标】 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2. 能够利用复合函数的求导法则, 并结合已经学过的公式、 法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(ax +b)的导数). ————————————————————课前预习案———————————————————— 【我的预习】

一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 复合函数的

u,y 可以表示成
概念 =g(x)的复合函数,记作

,那么称这个函数为 y=f(u)和 u .

复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导 复合函数的 数间的关系为 yx′= 求导法则 即 y 对 x 的导数等于____________
————————————————————课中学习案———————————————————— 【我的探究】 探究一复合函数的定义

.

例1

指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.

跟踪训练 1 (1)y=ln

指出下列函数由哪些函数复合而成:

x;(2)y=esin x;(3)y=cos ( 3x+1).

探究二复合函数的导数

例2

求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4;(2)y= 1 π ;(3)y=sin(-2x+ );(4)y=102x+3. 3 1-2x

跟踪训练 2 (1)y=ln

求下列函数的导数. 1

x

;(2)y=e3x;(3)y=5log2(2x+1).

探究点三 导数的应用 例3 1 求曲线 y=e2x+1 在点(- ,1)处的切线方程. 2

跟踪训练 3

曲线 y=e cos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 5,求直线

2x

l 的方程.

【当堂测试】

1.函数 y=(3x-2)2 的导数为 A.2(3x-2)
2.若函数 y=sin2x,则 y′等于

( B.6x

) D.6(3x-2)
( )

C.6x(3x-2)

A.sin 2x

B.2sin x

C.sin xcos x ( C.4x2f(x) )

D.cos2x

3.若 y=f(x2),则 y′等于 A.2xf′(x2) B.2xf′(x)

D.f′(x2)

4.设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________.
————————————————————课后巩固案———————————————————— 一、AB 层次作业 1.下列函数不是复合函数的是 1 A.y=-x3- +1 x 1 2.函数 y= 的导数是 ?3x-1?2 6 A. ?3x-1?3 3.y=ex2-1 的导数是 A.y′=(x2-1)ex2-1 4.函数 y=x2cos 2x 的导数为 A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x B.y′=2xex2-1 C.y′=(x2-1)ex 6 B. ?3x-1?2 6 C.- ?3x-1?3 π B.y=cos(x+ ) 4 1 C.y= ln x ( 6 D.- ?3x-1?2 ( ) ( ) D.y=(2x+3)4 )

D.y′=ex2-1 ( )

5.函数 y=(2 011-8x)3 的导数 y′=________. π π 6.曲线 y=cos(2x+ )在 x= 处切线的斜率为________. 6 6 7.函数 f(x)=x(1-ax)2(a>0),且 f′(2)=5,则实数 a 的值为________. 8.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 A.1 B .2 C.-1 D.-2 ( ) ( )

1 9.曲线 y=e x 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 A. e2 2 B.4e2 C.2e2 D.e2

10.求下列函数的导数: (1)y=(1+2x2)8;(2)y= 1 ;(3)y=sin 2x-cos 2x;(4)y=cos x2. 1-x2

11.已知 a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线.求切线 l 的方程.

二、B 层次作业 1.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数为 s= 7 s(t)=5- 25-9t2.求函数在 t= s 时的导数,并解释它的实际意义. 15

2.求证:可导的奇函数的导函数是偶函数.


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