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8.5 圆的方程复习课


求曲线方程的方法步骤是什么? 建系

建立适当的直角坐标系;
设M(x,y)是曲线上任意一点; 由限制条件,列出几何 等 式,写出适 合条件P的点M的集合P={M|P(M)}

设点
列式

代换 化简

用坐标法表示条件P(M),列出方程 f(x,y)=0,化简方程f(x,y)=0.

知识梳理
圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 . 其中定点是圆心 , 定长是半径.

|PC|=r

y

?
( x ? a) 2 ? ? y ? b ? ? r
2

P ? x, y ?

C ? a, b?
O

r

标准方程: ( x ? a ) ? ? y ? b ? ? r 2
2 2

?

x

( x ? a) ? ? y ? b ? ? r
2 2

2

x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

?

一般方程:x
2 2

2

? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ......(1)

? 2

D E 方程 (1)表示圆心为 ( ? ,? ), 当D ? E - 4F ? 0时: 2 2 D2 ? E 2 ? 4F 半径为 r ? 的圆 2 D E 2 2 方程(1)表示一个点 ( ? ,? ) 当D ? E - 4F ? 0时: 2 2 当D2 ? E 2 - 4F ? 0时:方程(1)不表示任何曲线

1:求圆心在(-2,3)又过点(1,7)的圆的方程.
解:半径r=5,圆的方程为: (x+2) 2 + (y-3) 2 = 25

2:求以点C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的 标准方程.
解:圆的半径r= 1 ,圆的方程为: (x+1) 2 + (y+5) 2 =1

3、圆(x+2)2+y2=5关于y=-x+1对称的圆的方程 (x-1)2+(y-3)2=5
4:圆心在(1,3),且和直线3x-4y-7=0相切的圆的标 准方程. 3 ? 12 ? 7 解:圆的半径r= =
9 ? 16
圆的方程为: (x-1) 2 + (y-3) 2 = 256 25

变式. 一个圆的直径的两端点是A(x1,y1) 、B(x2,y2).
证明:圆的方程是
直译法

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

P点满足PA⊥PB

? P

y ? y1 y ? y2 即 ? ? ?1 x ? x1 x ? x2

A

? C

B

点与圆的位置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r d=r d<r

直线与圆的位置关系
没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 d>r d=r d<r

点与圆的位置关系
若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2 的上,则x02+y02=r2 若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2 的外部,则x02+y02>r2 若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2 的内部,则x02+y02<r2

y

M2
A

o
M3

x

直线与圆的位置关系的判定方法一:

? Ax ? By ? C ? 0 设方程组? 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的解的个数为 n
消元后关于x或y得一元 二次方程解的个数n
△<0 △=0 △>0

n=0 n=1 n=2

直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

直线与圆的位置关系的判定方法二: 直线l:Ax+By+C=0
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 判断: aA ? bB ? C

d?

A ?B
2

2

d>r d=r

直线与圆相离
直线与圆相切 直线与圆相交

d<r

1、直线与圆相交的弦长计算 : 2 2 2
Rt?ADC中: AD ? CD ? r
? L? ? ? ? r2 ? d2 ?2?
2

y B C

.

D A x

O

L2 ? 2 r 2 ? d 2

2、求经过圆外一点M(x0,y0)的切线的方程 常用求法简介(首先判断点与圆的位置关系)
Y

M ( x0 , y0 )

设 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) A

即kx ? y ? y0 ? kx0 ? 0
OA ? r

0

B
2 2

X

Rt?MAO中: MA ? MO ? r
点在圆外
点在圆上

2

切线有两 条
切线有一 条

点在圆内

切线有零 条

3、经过圆 x ? y ? r 上一点
2 2 2

Y

M ( x0 , y0 )的切线的方程:
kOM y0 ? x0

M ( x0 , y0 )
0 X

x0 ? kl ? ? y0

x0 切线方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

x0x +y0 y = r2
4、过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0 ,y0)的切线方程

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

5、直线与圆相离:
圆与直线相离,常利 用圆心到直线的距离d去确 定圆上的点到直线距离的 最大值(d+r)、最小值(dr)
r d

l

例 1 、求经过点(1,-7)与圆 x ? y ? 25 相切的切线方程.
2 2

变式、
将点(1,-7)改为(5,-7),求切线方程 ? 若改为(5,-5)呢? 若改为(3,4)呢?
题型小结:过一点求圆的切线方程, 应先判断点与圆的位置,若点在圆上, 切线只有一条;若点在圆外,切线有 两条,设切线方程时注意分斜率存在 和不存在讨论,避免漏解。

(3,4)

(5,?5) (5,?7)

变式、 已知圆和直线 x- 6y-10=0 相切于点 (4, -1) , 且经过点(9,6) ,求圆的方程。

B(9,6)
A(4,-1)

C

变式、自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴 上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求直线 l 方程。
A(?3,3)

A1 (?3,?3)

例2.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,
直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R) (1)证明不论m取何值,直线l与圆恒交于两点 (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程 (1)直线l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ?? ?? ? x? y?4? 0 ?y ?1
即l过定点A(3,1) 因为圆心C(2,1)

| AC |? 5 ? 5(半径)

所以点A在圆C的内部,从而直线l与圆恒交于两点

(2)若直线L交圆与B、D两点,则弦长

| BD |? 2 r ? d
2

2

? 2 25 ? d

2

当弦长|BD|最小时,d最大,则l⊥AC 得直线l的方程是2x-y-5=0 由K AC ? ? 1 2

例3、在直线 2 x ? y ? 3 ? 0上求一点 P,使得由 P点向 圆x ? y ? 4 x ? 0所引的切线长度最小。
2 2

P P

M

C
M

变式、点P在直线2x+y+10=0上,PA、 PB与圆x2+y2=4分别相切于A、B两点,求 四边形PAOB面积的最小值.

y ⑴ 的最小值 x
⑶2x-y的范围

例4、若实数对(x,y)满足方程(x-3)2+(y-2)2=2 求

y?2 ⑵ 的最小值 x ?1

⑷A(-1,0),B(1,0) 求P(x,y)使|AP|2+|BP|2取最小值

⑸求P(x,y)到直线x+y+1=0的最大值与最小值

2 y ? ? x ? 2 x 有两个 例5:已知直线y=-x+m与曲线

不同的交点,求m的取值范围。
2 y ? ? x ? 2x 解:

表示圆(x+1)2+y2=1(y≥0)在x轴上 方部分,y=-x+m表示斜率为-1的平行线,如图 当直线与半圆相切时, m ? 2 ? 1 当直线过A(-1,-1),m=0
y

?0 ? m ? 2 ? 1

O

x

例6、若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y3=0 的两交点为 P 、 Q, 满足 OP⊥OQ(O 为原点)。求c值。
联立x2+y2+x-6y+c=0 和x+2y-3=0 得5y2+20y+12+c=0
O P y

Q x

例 7 :圆 x2+y2=8 内有一点 P0(-1,2) , AB 为过 点P0的弦 ⑴当AB被点P0平分时,求直线AB方程。 ⑵过P0的弦的中点轨迹方程。
y P0 A B P x O

圆与圆的位置关系 : (d为两圆心间距离,即圆心距)
公切线条数

1、圆和圆相离 2、圆和圆外切 3、圆和圆相交
4、圆和圆内切

C1

?

?

C2

d ? r1 ? r2

4条 3条

C

? 1

?

C2

d ? r1 ? r2
| r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2

C

? 1

?

C2

2条

C1

?

?

C2

| r1 ? r2 |? d | r1 ? r2 |? d

1条

5、圆和圆内含

C1

??

C2

0条

圆系方程
y

x

O

圆系方程 1. 过 圆 C1 : x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 圆 C2 : x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程:

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠1) 当λ=-1时,表示两圆的公共弦所在的直线方程 . 即:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
2. 过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线 l:Ax+By+C=0的交点的圆的方程: x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

圆系方程的应用 例7: 已知圆C1: x2+y2-4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0 两圆相交 (1)判断两圆的位置关系; (2)求两圆公共弦所在的直线方程; (3)求圆心在x-y-4=0上,且过两圆的交点的圆 的方程;

x? y ?0

(3)求圆心在x-y-4=0上,并且经过两圆C1: x2+y2 -4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程; 解:设所求圆的方程: 2 2 2 2 x ? y ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? y ? 4 y ? 3) ? 0,(? ? ?1)

即:( 1? ? )x2 ? ( 1? ? )y 2 ? 4 x ? 4? y ? 3(1 ? ? ) ? 0,(1) 2 2? ( , ) 则圆心坐标为: 1? ? 1? ? 2 2 ? 依题意: - 4= 0 1? ? 1 1? ? 解得: ? = - 代入(1)并整理得所求圆的方程是: 3

x ? y ? 6x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2

例1:求下列圆的方程 ⑴与y轴相切,被直线y=x截得的弦长为 , 圆心在 2 7 x-3y=0上 ⑵经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得 的弦长等于6 ⑶圆心在x-y-4=0上,并且经过两圆 C1: x2+y2-4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点 ⑷过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆 ⑸与x轴相切于点A(3,0),并且在y轴上截得的弦 长为6 ⑹过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点 且过点(1,2)的圆的方程

解:⑴∵圆心在x-3y=0上, ∴设所求圆的 圆心O′(3a,a), ∵圆O′到直线y=x的距离d ? 为弦中点RtΔO′BC中,
| 3a ? a | 2 ? 2 | a |,设C

2 2 2 2 2 r ? d ? ( 7 ) ? ( 3 a ) ? ( 2 a ) ? 7 ∴a=±1 ∵

y

∴圆心O′(3,1)或

B C O/ O

O′(-3,-1) r=3
∴所求圆的方程为

x

(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

⑵设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心

1 D 2 ? E 2 ? 4F ,由题意: 半径 r ? 2 2 E 1 E 2 2 2 2 2 2 r ? 3 ? ( ) ? (D ? E ? 4F ) ? 3 ? 2 4 4

D E ( ? ,? ) 2 2

即D2-4F=36 (1) 又∵P(-2,4),Q(3,-1)在圆上 ∴2D-4E-F=0(2) 3D-E+F=-10(3) 由⑴、(2) 、(3)联立得 D=-2 D=-6 E=-4 或 E=8 F=-8 F=0 ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0

⑶ 设 所 求 圆 的 方 程 为 x2+y2-4x3+λ(x2+y2-4x-3)=0 (1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy3(1+λ)=0(λ≠-1) ①
2 2? ∴圆心 (1 ? ? , 1 ? ? ) 2 2? ∴ 1? ? ? 1? ? ? 4 ? 0

∵圆心在直线x-y-4=0上



1 ??? 3

代入①式得

所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0

⑷设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0 由已知
4+4+2D+2E+F=0 25+9+5D+3E+F=0 ∴ D=-6 E=2

9+1+3D-E+F=0

F=-3

∴所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0

⑸设圆心 (3,b), 则圆的方程为 (x-3)2+(yb)2=b2 由b2=32+32=18 ∴ b ? ?3 2
?所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3 2 ) ? 18
2 2

⑹ 设 所 求 圆 的 方 程 为 (x-2)2+(y+1)24+λ(3x+4y-7)=0
3 将(1,2)代入得 ? ? ? 5 ∴所求圆的方程为
29 2 26 x ?y ? x? y? ?0 5 5 5
2 2

圆的切点弦方程:

? y 过圆外一点 向圆 2 2 2 ? ? x y r 做切线,切于A、B两点, 求过A、B的直线方程 .
P , 0
0

?x

P
A

A

?x , y ?, B?x , y ?
1 1 2 2

o

B

x

PB的方程为 x2
1 0 1 0

x
2

?

y y
2

?x x ? y y ? r
0

x
0

2

?r x ? y y ?r
2
0 2 0

PA的方程为 x1
2

x

?

y y
1

?r


2

则A点在 x x ? y y ? r
? AB方程:x0 x ?

2



B点也在 x x ? y y ? r
0 0

2

y y ?r
0

2

例2.如图自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被X轴反 射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求射 线L的直线方程 y A C

o

x

解法1:由已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1 设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3),则k≠0 于是L与x轴的交点(反射点)的坐标是 (?
3(1? K ) K

,0)

因为入射角等于反射角,所以反射线l’所在直线的方程是

y ? ?k[ x ?

3(1?k ) k

] 整理得kx+y+3k+3=0
4 3

这条直线与已知圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径1
| 2 3 即 |5 k ?5 ? 1 ? 12 k ? 25 k ? 12 ? 0 ? k ? ? 2 4 或k ? ? 1? k

3 4 x ? 3 )或 y ? 3 ? ? ( ) 故所求直线的方程是 y ? 3 ? ? ( 3 4 x ?3

即:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0

解法2:由已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1 所以圆C关于x轴的对称圆C’:(x-2)2+(y+2)2=1 令l的方程:y-3=k(x+3),即kx-y+3+3k=0 所以直线l与圆C’相切 ? d ?
| 2 k ? 2 ? 3? 3 k | 1? k 2 4 ?1? k ? ? 3 或 k ? ? 4 3

所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y A o C’ C x

解法 3 :点 A(-3,3)关于 x 轴的对称点 A’(-3,-3)在反射 光线的反向延长线上,所以设反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x+3) 即kx-y+3k-3=0
?d ?
|5 k ?5| 1? k
2

?1? k ?

4 3

或k ?

3 4

所以L的斜率

k ??

4 3

或k ? ?

3 4

所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 y A C

o

x

A’

练习:
1、已知△OBC 的三个顶点 O (0,0),B(3,0),C(0,4),

3 2 25 2 (x- ) ? ( y ? 2) ? 则其外接圆方程为____________________ 2 4

C

( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 内切圆方程为______________________
2 2

2、已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线

( x ?1) ? ( y ?1) x+y=0 上,则圆 C 的圆方程为____________
2 2 2 ( x ? 3) ? y ?2 C 的方程为___________________

2

?2

3、圆 C 过点 A(4,1),与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆

C

两圆公共弦方程
x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2

x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 公共弦方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0
2 2

y

o

x

圆系方程
x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2

x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

过两圆的交点的圆的方程:
x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1
2 2

? ? ( x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0
2 2

(? ? ?1)

例2:过圆O:x2+y2=13外一点P(-4,7),作⊙O的 切线PA、PB,A、B是切点。求(1)PA、PB的方 程 ⑵AB的方程。 解:⑴设所求切线的方程为y-7=k(x+4),则
| 7 ? 4k | 2 ? 13 ? k ? ? 或k=-18 3 k 2 ?1

∴所求切线的方程为2x+3y-13=0或18x+y+65=0
7 ⑵OP的中点M为 ( ?2, 2 ) | OP |? 16 ? 49 ? 65
7 2 65 65 2 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 为半径的圆 2 4 2

∴以M为圆心、

它与⊙O的公共弦,即AB的方程为4x-7y+13=0

练习
若圆x2+y2+x-6y+C=0与直线x+2y3=0的两个交点分别为P,Q,O为 原点,满足OP⊥OQ,求C的值.
直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0 交于两点A,B,且OA⊥OB(O为 原点),求m.

例5:求两圆x2+y2+2x+6y+9=0,x2+y26x+2y+1=0的外公切线及内公切线方程. 解: 设外公切线的交点为P(x0,y0) P分c1c2得比为λ

圆x2+y2+2x+6y+9=0的圆心c1(-1,-3)
y

圆x2+y2-6x+2y+1=0

的圆心c2(3,-1)
半径分别为r1=1,r2=3
C1 P

x C2

| c1 p | r1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 3 | pc2 | r2 3
1 1 ?1? ? 3 ? 3 ? (? ) ? (?1) 3 3 ? x0 ? ? ?3, y 0 ? ? ?4 ∴P(-3,-4) 1 1 1? 1? 3 3

设外公切线的方程为 y+4=k(x+3) 即 kx-y+3k-4=0 4 | ?k ? 3 ? 3k ? 4 | ? ? 1 ? k ? 0或k ? 3 k 2 ?1 ∴外公切线的方程为y+4=0或4x-3y=0

5 5 ? M (0,? ) ,设内公切线方程为 y ? ? kx 2 2

| O1 M | 1 设内公切线的交点M(x0,y0)则 ? ? | MO2 | ? 3

即2kx-2y+5=0



| ?2k ? 6 ? 5 | 4k ? 12
2 2

3 ? 1? k ? ? 4

∴内公切线方程为3x+4y+10=0或x=0

求⊙O:x2+y2=1和⊙C: x2+y2-6x+5=0 的公切线方程.
内公切线:x=1 外公切线:x± 2 2y+3=0

⑷(方法一)令

? ? x ? 2 cos ? ? 3 ? ? ? y ? 2 sin? ? 2

?| AP | 2 ? | BP | 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 2 ? 2(2 cos 2 ? ? 6 2 cos ? ? 9 ? 2 sin 2 ? ? 4 2 sin? ? 4) ? 2 ? 32 ? 4 2 (3 cos ? ? 2 sin? ) ? 32 ? 4 2 ? 13 sin(? ? ?) ? 32 ? 4 26 sin(? ? ?)

∴|AP|2+|BP|2的最小值为 32 ? 4 26

例 1.若直线ax ? by ? ?1(a ? 0, b ? 0)过x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 1 1 的圆心,则 ? 的最小值为 ________ a b
2 2

解:原方程化为(x+1)? ( y ? 1) ? 2
2 2

? O?(?1, ?1), 得:a ? b ? 1(a ? 0, b ? 0)

b a 1 1 a?b a?b ? 2? ? ? 4 ? ? ? ? a b a b a b

练习

2.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0),始终平分圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0的周长,则ab的最大值是 ____
2 2

例2.实数x,y满足x ? y ? 1.
2 2

(1)求2 x ? y的取值范围;

(2)若x+y ? m恒成立,求m的取值范围。 ? x ? cos? 解:令 ? (? ? R) ? y ? sin ?

(1)2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 5sin(? ? ?) ?[?
2 sin(? ?

(2) x ? y ?

?

5, 5]

?m ? ? 2

4

) ?? 2

例题
已知圆:x2+y2-4x+6y-12=0内 一点A(4,-2),求以A点为中点 的弦所在的直线方程.

例2.直线y=kx-1与y=- -x ? 4 x ? 3有公共点,
2

k的取值范围是 _________

析 直线y ? kx ? 1过点(0,-1), y : 曲线方程(x-2)2 +y2 ? 1( y ? 0)

r

?0 ? k ? 1

1

O
?1

x

例题
已知两点A(0,1)、B(2,m),如 果经过点A与点B且与x轴相切 的圆有且只有一个,求m的值 及圆的方程.

例题
已知圆满足:①截y轴所得的 弦长为2;②被x轴分成的两段 圆弧,其弧长的比为3:1,③圆 5 心到直线l:x-2y=0的距为 , 5 求该圆的方程.

例题
已知圆满足:①截y轴所得的弦 长为2;②被x轴分成的两段圆 弧,其弧长的比为3:1,在满足 条件①②的所有圆中,求圆心 到直线l:x-2y=0的距离最小的圆 的方程.

例题
已知一点A(0,2)和圆C的方程为: (x-6)2+(y-4)2=36/5 ,一条光线 从A点出发射到x轴上后沿圆的切 线方向反射,求这条光线从A点到 切点所经过的路程.

变:求这条光线所在直线的方程

例题
如图,已知定点A(2,0),点Q 是圆x2+y2=1上的动点,∠AOQ的 平分线交AQ于M,当Q点在圆上 移动时,求动点M的轨迹方程.

例题
已知直线l:y=k(x+2 2 )与圆O:x2+y2=4 相交于A、B两点,O是坐标原点, 三角形ABO的面积为S
(1)试将S表示成k的函数S(k),并求出 它的定义域 (2)求S的最大值,并求取得最大值时 k的值.

例题
已知点A在圆x2+y2=4上移动,过A作 AB⊥x轴于B点,以A为圆心,AB为半 径作⊙A,设⊙A与⊙O交于C、D两点, 求CD与AB交点P的轨迹方程.
y C A

P O B

D x

例1、 已知圆的方程是 x ? y ? 4 ,求经 过圆上 一点 M (1, 3 ) 的切线 l 的方程.
2 2

? k OM ? 3

y
M (1, 3)
O

3 ? kl ? ? 3
3 l的方程为 y ? 3 ? ? ? x ? 1? 3
整理的 3x ? 3 y ? 4 3 ? 0 即x ?

x

3y ? 4 ? 0

x ? 3y ? 4

例1、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 解:因圆C和直线3x-4y-7=0相切, 所以圆心到直线的距离等于半径r,
y

r?

3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 3 ? (?4)
2 2

16 ? 5
O

C

r

因此,所求的圆的方程是

x

? x ? 1?

2

? ? y ? 3?

2

256 ? 25

变式:与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上, 且被y轴截得弦长是2 2 。

解: 设圆心为( C a,3a),半径 r=d= a-3a ? 2 a 2
? a2 ? 2 ? r 2 ? 2a2
?r2 ? 4

得:a= ? 2
2

y
B

? 方程为( x ? 2) ? y ? 3 2 或( x ? 2) 2 ? y ? 3 2

?

?

A

C
H

2

?4
O

?

?

2

?4

x


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