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1997年全国高中数学联合竞赛


一九九七年全国高中数学联合竞赛
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.1.已知数列{X n}满足 Xn+1 = X n – X n –1 (n ? 2). X 1= a, X 2=b. 记 S n = X 1 + X 2 + …+ Xn, 则下列结论正确的是___________. (A) X 100 = – a , S 100 =2b –a (B) X

100 = – b, S 100 =2b –a (C) X 100 = – b, S 100 = b –a (D) X 100 = – a, S 100 = b –a 2.如图, 正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上, A F 在棱 CD 上. 使得 = = λ , E (0<λ < +∞). 记 f (λ )=α ?+β ?. 其中α ? D 表示 EF 与 AC 所成的角,B?表示 EF 与 BD B 所成的角。则_______. G F (A) (A) f (λ )在 (0, +∞)上单调增加 C (B) (B) f (λ )在 (0, +∞)上单调减少 (C) f (λ )在 (0, 1 ) 上单调增加,而在在(1,+∞)上单调减少 (D) f (λ )在 (0, +∞)上为常数. 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数, 项数不少于 3, 且各项的和为 97 2. 则这样的 数 列共有_________个. (A) (A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 2 2 4.在平面直角坐标系中, 若方程 m ( x + y + 2y + 1) = (x –2 y + 3) 2 表示的曲线为椭圆, 则 m 的取值范围是_________ . (A) (0, 1) (B)(1,+∞) (C) (0, 5) (D) (5, +∞) 2 5.设 f(x)=x -?x,?=arcsin ,?=arctg ,? =arccos(- ),?=arcctg(- ).则_____. (A)f(?)>f(?)>f(?)>f(?) (B)f(?)>f(?)>f(?)>f(?) (C) f(?)>f(?)>f(?)>f(?) (D)f(?)>f(?)>f(?)>f(?) 6.如果空间三条直线 a、 b、 c 两两成异面直线, 那么与 a、 b、 c 都相交的直线有________. (A) 0 条 (B)1 条 (C)多于 1 的有限条 (D)无穷多条 二、二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) (x –1 )3 + 1997(x –1 ) = -1 1.1. 设 x, y 为实数, 且满足 则 x + y = __________. 3 (y –1 ) + 1997(y –1 ) = 1 2 2 2.过双曲线 x – y = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点. 若实数 ? 使得|AB|=? 的直线恰有 3 条,则 ?= _________. 3.已知复数 z 满足|2z + | = 1. 则 z 的辐角主值范围是________________. 4.已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, SA=SB=SC=2, AB=1. 设 S、 A、 B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上, 则点 O 到平面 ABC 的距离为________. 5.设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之 一.若在 5 次之内跳到 D 点, 则停止跳动; 若 5 次之内不能到达 D 点, 则跳完 5 次也停止跳动. 那么这只青蛙从开始到停止, 可能出现的不同跳法共____________种. 6.设 a = lgz + lg[x(yz) –1 + 1], b = lgx –1 + lg(xyz + 1), c = lgy + lg[(xyz) –1 + 1]。记 a、b、c

中的最大数为 M,则 M 的最小值为_____________. 三、三、(本题满分 20 分) 设 x ? y ? z ? ? , 且 x + y + z = ? , 求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 四、四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy = 1 的两支为 C1, C2 (如图) 正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上, (1) 求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上. (2) (2) 设 P(–1,–1)在 C2 上,Q、R 在 C1 上, 求顶点 Q、R 的坐标. 五、五、(本题满分 20 分) y C1 Q R C2 P(–1, –1) o x

? a 2 a3 a 4 a5 ? a ?a ?a ?a , ? 1 2 3 4 . ? ? a ? a ? a ? a ? a ? 4( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? S 1 2 3 4 5 ? a1 a 2 a 3 a 4 a 5 ?
设非零复数 a1, a2, a3, a4, a5 满足: 其中 S 为实数且|S| ? 2,求证:复数 a1、a2、a3、a4、a5 在复平面上所对应的点位于同一 圆周上.


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