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高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则同步练习北师大版选修2-2资料


高中数学 第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则同步练 习 北师大版选修 2-2
基础巩固 1.求下列函数的导数: (1)y=(1-x+x ) ;(2)y=tan
2 3

x +sin3x; 2

t2 (3)y=e sin3t+ . 2
2t

解:(1)y′=3(1-x+x ) (-1+2x);

2 2

x 1 1 2 x · +cos3x·3= sec +3cos3x; 2 2 2 2 1 2t 2t 2t 2t (3)y′=e ·2sin3t+e cos3t·3+ ·2t=2e sin3t+3e cos3t+t. 2
(2)y′=sec
2

2.求函数的导数:y=(2x +1) e sin3x. 2 -x 2 2 -x 2 2 -x 解:y′=2(2x +1)·4x·e sin3x+(2x +1) e ·(-1)·sin3x+(2x +1) e cos3x·3 -x 2 -x 2 2 2 2 -x =8xe sin3x(2x +1)-e sin3x(2x +1) +3(2x +1) e cos3x. 3.求函数的导数:y= e 解:y′= e
? x2 ? x2

2

2 -x

+2x.

+2x(-2x+2).

4.利用先取对数再求导的方法,求下列函数的导数: (1)y=x

1? x m x ;(2)y=x m . 1? x
1 1? x 1 1 ln =lnx+ ln(1-x) ? ln(1+x), 2 1? x 2 2

解:(1)先两边取对数,有 lny=lnx+

两边对 x 求导,得

1 1 1 1 1 1 1? x2 ? x ·y′= + · ·(-1) ? · ·1= , x 2 1? x 2 1? x y x(1 ? x 2 )

所以 y′=y·

1 ? x 1? x2 ? x 1? x2 ? x 1? x 1? x2 ? x =x· · · . ? 1? x 1? x2 1? x x(1 ? x 2 ) x(1 ? x 2 )

(2)先两边取对数,有 lny=mlnx+xlnm, 两边对 x 求导,得

1 1 y′=m· +lnm, x y

所以 y′=y·

m ? x ln m m x m ? x ln m m-1 x =x m · =x m (m+xlnm). x x
2

5.求函数 y=cos (ax+b)的导数. 2 解:y=u ,u=cosv,v=ax+b, 2 y′x=y′u·u′v·v′x=(u )′·(cosv)′·(ax+b)′=2u·(-sinv)·a

1

=-2asinv·cosv=-asin2v=-a·sin[2(ax+b)]. 6.求函数 y=ln

x ?1 (x>1)的导数. x ?1

解:∵y=ln

x ?1 1 = [ln(x-1)-ln(x+1)], x ?1 2

∴y′=

1 1 1 1 1 [ln(x-1)-ln(x+1)]′= ( )= 2 . 2 2 x ?1 x ? 1 x ?1

综合应用 2 7.求 y=(3x+1) 的导数. 2 解:y′=[(3x+1) ]′ =2(3x+1)·(3x+1)′ =2(3x+1)·3 =6(3x+1) =18x+6. 8.求函数 y=sin (2x+ 解 法 一
2

? )的导数: 3
: 设 y=u ,u=sinv,v=2x+
2

? ? 2? )cos(2x+ )·2=2sin(4x+ ). 3 3 3 ? ? 2 解法二:y′=[sin (2x+ )]′=2sin(2x+ ) 3 3 ? ? ? ? ? ? [sin(2x+ )]′=2sin(2x+ )·cos(2x+ )(2x+ )′=2sin(2x+ )cos(2x+ )·2=2 3 3 3 3 3 3 2? sin(4x+ ). 3
y′x=y′u·u′v·v′x=2sin(2x+ 思路分析:关键在于正确分析复合函数是由哪些基本函数复合而成的,分清它们之间的复合 关系,注意过程中逐层求导,不可遗漏.

? 3

,



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