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高一数学 第一讲 集合的概念与表示


第一部分 基础知识梳理 1、集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.(简称为集).我们通常用大 写拉丁字母 A,B,C,?表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,?表示集合中的元素. 例如, “1~30 以内的所有奇数” 中, 可以把 1~30 以内每一个奇数作为元素, 这些元素的全体就是一个集合; 2、集合元素的三个特征 (1)确定性 给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合 中就确定了.例如, “中国的直辖市”构成一个集合,北京、上海、天津、重庆在这个集合中,广州、南京 等不在这个集合中, “身材不好的人”不能构成集合,因为这个集合的元素的不确定的. (2)互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的. (3)无序性 集合中的元素是无先后顺序的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素可以交换位置. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 3、元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A ;如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不 属于集合 A,记作 a ? A .例如集合 A 表示“6~18 以内的所有偶数”组成的集合,则有 8 ? A ,11 ? A ,等. 4、常用数集及其记法

数学中常用的数集及其记法 自然数集,记作 N; 整数集,记作 Z; 实数集,记作 R. 5、集合的表示 (A)列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ {} ”括起来表示集合的方法叫做列举法.例如,把“方程 正整数集,记作 N* 或 N ? ; 有理数集,记作 Q;

? x ? 3?? x ? 2? ? 0 的所有实数根”组成的集合表示为{-3,2}.
注意: (1)使用列举法必须注意:①元素间用“, ”分隔;②集合中元素必须满足三个特性;③对于
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含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较适宜, 若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有 明显规律,也可用列举法,但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号,如不超过 1000 的正整数构成的 集合可表示为{1,2,3,?,1 000}. (2)列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数,但有些集合中的元素是列举不完的, 所以列举法不能表示所有集合. (B)描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合法的方法称为描述法. 具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在 竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为{p∈D|p 适合的条件} ,其中 p 叫做代表元素,

D 为 p 的限制范围,其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.
例如“不等式 x ? 3 ? 7 的解集”中所有元素的共同特征是: x ? R,且 x ? 10 ,所以这个可以表示为 { x ? R| x ? 10 }. 描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合. 6、有限集与 (1)有限集:集合中的元素个数是有限个的,如集合 A={-1,2,4} ,是含有 3 个元素的有限集. (2)无限集:集合中的元素个数是无限个的,如集合 A={x∈R|1≤x<2},便是一个无限集. 第二部分 例题解析 【例 1】回答下列问题: (1)A={1,3} ,问 3,5 哪个是 A 的元素? (2)A={素质好的人}能否表示成集合? (3)A={2,2,4}表示是否准确? (4)A={太平洋,大西洋} ,B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合? 【例 2】判断元素的全体是否组成集合,并说明理由. (1)所有的好人; (2)小于 2014 的数; (3)和 2003 非常接近的数. 变式练习 1、下列说法正确的是( )

A.2008 年北京奥运会的比赛项目组成一个集合 B.某班年龄较小的学生组成一个集合
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C.集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合 D.1,0.5, 6 组成的集合有四个元素 【例 3】 用符号“ ? ”或“ ? ”填空: (1)3.14__________Q; (3)0__________N*; (5) (2)π __________Q; (4)0_________N; (6) 2 ________Z; (8) 2 _______R.

? ?2 ?

0

_______N*;

(7) 2 ________Q;

变式练习 2、用符号“ ? ”或“ ? ”填空: (1)若 A={方程 x ? 1 的解} ,则 ?1________A;
2

(2)若 C={满足 1≤x≤10 的自然数} ,则 8________C,9.1________C; (3) 6

Q;

(4) 4

Z; A; B

(5)若 A={广东省的所有城市} ,则佛山 (6)若 B={不等式 6 x ? 4 ? 8 的解集} ,则 2 【例 4】 用列举法表示下列集合: (1)小于 5 的正奇数组成的集合;

(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3)方程 x ? 9 ? 0 的解组成的集合;
2

(4)大于 0 小于 3 的整数组成的集合. 变式练习 3、用列举法表示下列集合: (1) x ? 4 的一次因式组成的集合;
2

(2)方程 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集组成的集合;
2

(3)由 book 中的字母组成的集合; (4)15 以内的质数组成的集合. 【例 5】用描述法表示下列集合: (1)方程 x ? 2 x ? 8 的所有实数根组成的集合;
2

(2)小于 10 的所有非负整数的集合;
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(3)不等式 3x ? 4 ? 8 的解集; (4)数轴上离原点的距离大于 3 的点的集合; (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合. 变式练习 4、用描述法表示下列集合: (1)方程 2 x ? 4 ? 0 的解组成的集合;
2

(2){1,3,5,7,?}; (3)x 轴上所有点的集合; (4)非负偶数; (5)能被 3 整除的整数组成的集合. 第三部分 巩固练习 1、下列说法正确的是( )

A.2004 年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合 B.某班个子较高的学生组成一个集合 C.集合{1,2,7,9}与{3,1,9,7,2}表示不同的集合 D.2,0.3, ? ,1.8 组成的集合有个六元素 2、M={a,b,c}中的三个元素可构成某一个三角形的三边长,那么此三角形一定不是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3



3、下面有四个命题:①集合 N 中的最小元素为 1;②方程 ? x ? 1?

? x ? 2 ?? x ? 5 ? ? 0 的解集含有 3 个元素;
)

③0∈N*;④满足 1+x>x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 ?( A.0 4、用符号∈或 ? 填空. (1) 0.03________Q,0________ N, 3 ________ Z, ? ?1? ________ N;
0

B.1

C.2

D.3

(2)2_________{x | x<3},3_________{x|x>4} ,1_________{x|x≤2+3x} ; (3) 3_________{x|x= n ? 1,n∈N} ,5________{x|x= n ? 1 ,n∈N} ;
2 2

(4) (-1,1)________{y| y ? x } , (-1,1)_________{(x,y)| y ? x }.
2 2

5.设直线 y=2x+3 上的点集为 P,则 P=__________;点(2,7)与点集 P 的关系为(2,7)__________P. 6、设 A={4,a},B={2,ab},若 A=B,则 a+b=_________. 7、已知 x∈{1,2, x },则 x=_________.
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2

8、试用适当的方法表示下列集合. (1)24 的正约数; (2)数轴上与原点的距离小于 1 的所有点; (3)平面直角坐标系中,二、四象限的角平分线上的所有点; (4)所有被 3 除余数是 1 的数. 9、下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来. (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点; (2)高一数学课本中所有的难题; (3)方程 x ? x ? 2 ? 0 的实数根.
4 2

10、已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a、b∈R),A={x| f ( x) ? x ? 0 ,x∈R} ,B={x| f ( x) ? ax ? 0 ,x∈R} ,若

A={1,-3} ,试用列举法表示集合 B.

第四部分 课后作业 1、下列条件能形成集合的是( A.充分小的负数全体; C.某班本学期视力较差的同学;
2 2

) B.爱好飞机的一些人; D.某校某班某一天所有课程. )

2、若方程 x -5x+6=0 和方程 x -x-2=0 的所有解构成的集合为 M,则 M 中元素的个数为( A.4 B.3 C.2 D.1

3、用符号∈或 ? 填空. (1)1 N,0______N,-3______N,0.5______N, 5 ______N;

(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z, 5 ______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q, 5 ______Q;

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(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R, 5 ______R. 4、下面有五个命题:①若 ?a ∈N,则 a∈N;②若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值是 0;③ x ? 4 ? 4 x 的解
2

集可表示为{2,2};④高一(6)班年龄较大的学生可构成一个集合.其中正确命题的序号是_________. 5、已知 A={-2,-1,0,1},B={x|x=|y|,y∈A},则 B=___________. 6、下面三个集合: ①{x| y ? x2 ? 1 };②{y| y ? x2 ? 1 };③{(x,y)| y ? x2 ? 1 }. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么?

7、试选择适当的方法表示下列集合. (1) x ? 9 的一次因式组成的集合;
2

(2) 一年之中的四个季节组成的集合; (3) 方程 x -x-2=0 的实数解组成的集合; (4) 满足不等式 1<1+2x<19 的素数组成的集合; (5) {y|y=- x -2x+3,x∈R,y∈N}; 8、若-3∈{a-3,2a+1, a +1} ,求实数 a 的值.
2

2

2

9、求: (1)方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 的所有根的和;
2

(2)集合 S={x| x ? 4 x ? 4 ? 0 }的所有元素的和.
2

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10、若 1∈{x| x +px+q=0},2∈{x| x +px+q=0},求 p、q 的值.

2

2

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