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均值不等式


学 校: 学员姓名:

年 级:高二 辅导科目:数学

教学课题:均值不等式 学科教师:

教学目标 教学内容 一.均值不等式

掌握均值不等式的基本运用

1.(1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab

2 2 (2)若 a, b ?

R ,则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” )

2

(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号) 2.(1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? ab
2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ?b? a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )
a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3

(3)若三个正数 a、b、c、则

3.若 x ? 0 ,则 x ?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” );若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x x
x x x

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 4.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a
2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

2 2 5.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取“=” )

二、几个著名不等式

2 a?b a 2 ? b2 ①平均不等式: ?1 ?1 ? ab ? , (a, b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ? a ?b 2 2
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均)

1

变形公式:
2 2 ( a ? b) 2 ? a ?b ? a ?b 2 2 a ? b ? . ab ? ? ; ? ? 2 2 ? 2 ? 2

②幂平均不等式:
1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n ③二维形式的三角不等式: a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).

绝对值三角不等式 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:
(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .

⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成 立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号)

a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则
,当且仅当 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)

a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它 们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的 应用.

2

知识点一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+ 1 2x
2

(2)y=x+

1

x

解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:(2) y ? 2 x ?

1 ,x ?3。 x ?3

变式练习:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值 4 4x ? 5

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

。 技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式 子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即 可。

3

评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最 大值。 变式练习:1、设 0 ? x ?
3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。并求此时 x 的值 2

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? x(1 ? x) 的最大值.;

3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

技巧三: 分离 例 3. 求 y ?
x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

4

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。
(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t



,即 t=

时, y ? 2 t ?

4 。 ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号) t

评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式 A 求最值。即化为 y ? mg ( x) ? ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求 g ( x) 最值。 变式练习 (1)

x 2 ? 3x ? 1 y? , ( x ? 0) x

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。
1 ? t ? (t ? 2) t x2 ? 4 1

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

x2 ? 4

1 1 因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 t t 1 5 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 。 t 2

?5 ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 ?2 ?

5

条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是 .

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:
1 9 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

。 变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y
?

(2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x ? y 的最小值
?

x

y

技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

6

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

1

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用 单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说, 因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再 通过解不等式的途径进行。

点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不 2

等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围, 关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系, 由此想到不等 (a, b ? R ?)
a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。



技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 3x + 2y ≤ 2

a+b
2



a 2+b 2
2

,本题很简单

( 3x )2+( 2y )2 = 2

3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向 “和为定值”条件靠拢。

7

W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值” ,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等” ,同时还要注意一些变形技巧, 积极创造条件利用均值不等式。 应 : 知识点二:利用均值不等式证明不等式
? 1 ?? 1 ?? 1 ? 例:已知 a、b、c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

变式: 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

2、正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

8

知识点三:均值不等式与恒成立问题
1 9 例:已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,
?1 ?

1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

1:添加项 【例 1】已知 x ?
3 2 ,求 y ? x ? 的最小值. 2 2x ? 3

2:配系数 【例 2】已知 0 ? x ?
3 ,求 y ? x(3 ? 2 x) 的最大值. 2

3:分拆项
x 2 ? 3x ? 6 【例 3】已知 x ? 2 ,求 y ? 的最小值. x?2

9

4:巧用”1”代换 【例 4】已知正数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ,求
1 2 ? 的最小值. x y

. 【例 5】已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求
1 4 9 ? ? 的最小值. x y z

5:换元 【例 6】已知 a ? b ? c ,求 w ?
a?c a?c ? 的最小值. a?b b?c

【例 7】已知 x ? ?1 ,求 y ?

x ?1 的最大值. x ? 5x ? 8
2

7:直接运用化为其它 【例 9】已知正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围.

10

1 1 1、 (1) 、已知 x ? 0 , y ? 0 ,满足 x ? 2 y ? 1 ,求 ? 的最值; x y

2 8 (2) 、若 x ? 0 , y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 xy 的最值; x y

x 2 ? 2x ? 2 (3) 、若-4<x<1,求 的最大值. 2x ? 2

2、函数 f(x)=

x2 (x≠0)的最大值是 x4 ? 2

;此时的 x 值为

_______________.

3、 (2010 山东理)若对任意 x>0 ,

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2



4、若点 A(?2, ?1) 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

5、 (1) 、已知 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为 (2) 、若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值

. .

2 8 6、已知两个正数 a , b 满足 a ? b ? 4 ,求使 ? ? m 恒成立的 m 的范围. a b

7. 函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0, 求 的最小值为。

1 1 ? m n

11

8.(2010 年合肥模拟)已知 x1·x2·?·x2009·x2010=1,且 x1,x2,?,x2009,x2010 都是正数,则(1+x1)

(1+x )?(1+x )的最小值是________.
2 2010

9.已知直线 l 过点 P(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则三角形

OAB 面积的最小值为________.

y2 10.(2008 年江苏卷改编)若 x、y、z∈R ,x-2y+3z=0,求 的最小值. xz


?ACB 11. 已知 A(0,9) B(0,16)是 y 轴正半轴上的两点, C(x,0)是 x 轴上任意一点, 求当点 C 在何位置时, 最大?



12

1 a 12.已知不等式 ( x ? y)( ? ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y

13

14


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