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高三数学几何概型4


复习提问:
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、计算古典概型的公式:
A包含基本事件的个数 公式:P( A) ? 基本事件的总数

那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率应如果求呢?

创设情境: 例如一个人到单位的时间可能是 8:00至9:00之间的任何一个时刻; 往一个方格中投一个石子,石子可能 落在方格中的任何一点……这些试验 可能出现的结果都是无限多个。

问题1:下图是卧室和书房地板的示意图, 图中每一块方砖除颜色外完全相同,甲壳 虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞 去,并随意停留在某块方砖上,问 在哪个房间里,甲壳虫停留在黑砖上的概率大?

卧室 卧室

书房

问题:图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规 定当指针指向黄色区域时,甲获胜,否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

(1)

(2)

问题: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗?与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的?

(3) (1) (2)

⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关, 而与区域的位置无关。在转转盘时,指针指向圆 弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻, 还是不相邻,甲获胜的概率是不变的。 ⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关, 与图形的大小无关。

几何概型:
? 定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型。
几何概型的公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

几何概型的特点
a) 试验中所有可能出现 的基本事件有无限个 b) 每个基本事件出现的 可能性相等

古典概型的特点: a)试验中所有可能 出现的基本事件只 有有限个. b)每个基本事件出 现的可能性相等.

古典概型与几何概型的区别
相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型 要求基本事件有无限多个。

例1 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率; (2)如课本P141图3.3-1中所示,图中有两 个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率

分析:本题考查的几何概型与古典概型的 特点,古典概型具有有限性和等可能性。 而几何概型则是在试验中出现无限多个结 果,且与事件的区域长度有关。

解:(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有

6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于 古典概型;

(2)游戏中指针指向B区域时有无限多 个结果,而且不难发现“指针落在阴影部 分”,概率可以用阴影部分的面积与总面 积的比来衡量,即与区域长度有关,因此 属于几何概型.

探究规律:
几何概型公式(1):
构成事件A的区域面积 P ? A? ? 全部结果所构成的区域 面积

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音 机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10 分钟的概率.(假设只有正点报时)
分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音 机是等可能的,但0~60之间有无穷个时刻,不能用古 典概型的公式计算随机事件发生的概率。 因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任 何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时 间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而 与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件。

例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的 时间不多于10分钟的概率。

解:设A={等待的时间不多于10分钟},事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 “等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6

探究规律:
几何概型公式(2):
构成事件A的区域长度 P ? A? ? 全部结果所构成的区域 长度

例2 有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一 个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有 这个细菌的概率. 分析:细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的,取得0.1 升水可作为事件的区域。

解:取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则 取出水的体积 0.1 P? A? ? ? ? 0.1 杯中所有水的体积 1

探究规律:
公式(1):
P ? A? ? 构成事件A的区域面积 全部结果所构成的区域 面积

公式(2):
公式(3):

构成事件A的区域长度 P ? A? ? 全部结果所构成的区域 长度

构成事件A的区域体积 P ? A? ? 全部结果所构成的区域 体积

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

练习1(口答)
一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒, 黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒。当 你到达路口时,看见下列三种情况的 概率 各是多少? (1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯。

练习2
1.在500ml的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察,则发现草履虫的概率是 ( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定

练习3.取一根长为3米的绳子,拉直后在 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A,把绳子三等分,于 是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一,所以事件A发生的概率 P(A)=1/3。

例3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上
6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
y(父亲离开家的时间)

y?x
8

7

解: 以横坐标x表示报纸送到时间, 以纵坐标y表示父亲离家时间 建立平面直角坐标系。

1? ? 1 ?? ? 2 ? ? P ( A) ? 1
2 2

3

?

7 8

即父亲在离开家前能得到
7 报纸的概率是 。 8
6.5 7.5
x(送报人到达的时间)

0

解题方法小结:
?

对于复杂的实际问题,解题的 关键是要建立概率模型,找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为 几何概型的问题,利用几何概 型公式求解。

课堂小结
? 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能 发生的概率类型。 ? 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题 目。

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
? 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 ? 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用 几何概型公式求解。 ? 作业:137页 A组1、2题

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那个时候的父亲在他的面前也越发的沉默起来,只问他“你接下来要怎么办?” 他不屑一顾的回道“随便怎样,你看着办吧!”反正从来都不是他说了算的! 父亲难得好脾气地跟不思进取的他说些话,他的话语中总是变得越发的沉寂起来,如同他的人一般“我看,这个书你也别念了,你考的 那些分数我也看过了,也没什么学校能够录取你的,让你在家跟我干农活估计你也干不了,你去学门手艺吧,到时候也能混口饭吃!” 父亲说完这个,便整个的沉寂下去了。 牛爱书在那样的一种时刻,忽然感到有一种心慌的感觉,那种心慌没有缘由也无从知晓,但就是让他感到心慌起来,但是他不愿意承认 那样的一种心慌,仍是无所谓的表示“你说什么就是什么吧!”

父亲在一个月之后跟他说“我给你找好了,咱们村的一家人在街上开了一家修理汽车的店,男孩子学个修理汽车的也挺好,现在开车的 人也越来越多,你以后混的好便自己去争取开家店,混不好了每个月挣些养活自己的钱也是没问题的。”
他仍是吊儿郎当的表示“放心好了,我以后一定会养活自己”原本想再加“不劳你多费心”这句话,到了嘴边,在看到父亲已然有点花 白的头发的时候却硬生生地给吞了回去。 他在学徒的那段日子里,过得甚是清苦,在没有父母的庇护下、凡事终究得靠自己,稍稍怠慢了些,老板便面露不悦!他那个时候年轻 气盛,难免会跟老板红几次脖子,那老板虽是他们村里的人,但毕竟是老板、地下又不止他一个学徒,当然不会如父母那般担待他,他 在盛怒之下便卷铺盖走人了。 父亲为此不得不拎上家中刚刚会下蛋的鸡、到那户人家为他赔不是去了,他却梗着脖子表示“我才不要去那个地方,他们都是资本家, 只会剥削我们!”他初中之后课本学得一塌糊涂,难得能运用一两句现成的话语。 父亲反问他“那你想干什么,不然你也跟我一样回到田地里算了”,他说这话的时候竟有一种无奈的气味飘浮着! 他仍是无所谓的表示“去就去,反正不要让我去学修车就行!”


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