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三维化学-空间正多面体


高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 ——
第八节 空间正多面体
前面几节我们学习了五种正多面体,以及它们在化学中的应用。此节我 们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。 何为正多面体, 顾名思义, 正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。 对顶点来说,每个顶点也是等价的,即有顶点引出的棱的数目是相同的,相 邻棱的夹角也应

是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢? 【例题 1】利用欧拉定理(顶点数-棱边数+面数=2) ,确定三维空间 里的正多面体。 【分析】从两个角度考虑:先看每个面,正多边形可以是几边形呢?我 们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。 因此最多只可以是正五边形, 当然还有正三角形和正方形;再看顶点,每个顶点至少引出三条棱边,最多 也只有五条棱边(六条棱边时每个角应小于 60°,不存在这样的正多边形) 。 因此,每个面是正五边形时,三棱共顶点;正方形时,也只有三棱共顶点(四 个正方形共顶点是平面的) ;正三角形时,可三棱、四棱、五棱共顶点(六个 正三角形共顶点也是平面的) 当然也可以说, , 一顶点引出三条棱边时可以为 正三角形面、正方形面和正五边形面;一顶点引出四条棱边时只可以为正三 角形面;一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况, 是否各种情况都存在呢?(显然是,各种情况前面均已讨论)我们用欧拉定 理来计算。 ①正三角形,三棱共顶点:设面数为 x,则棱边数为 3x/2(一面三棱, 二面共棱) ,顶点数为 x(一面三顶点,三顶点共面) ,由欧拉定理得 x-3x/2 +x=2,解得 x=4,即正四面体; ②正三角形,四棱共顶点:同理,3x/4-2x+x=2,解得 x=8,即正八 面体; ③正三角形,五棱共顶点:同理,3x/5-3x/2+x=2,解得 x=20,即正 二十面体; ④正方形,三棱共顶点:同理,4x/3-2x+x=2,解得 x=6,即正方体; ⑤正五边形,三棱共顶点:同理,5x/3-5x/2+x=2,解得 x=12,即正 十二面体。 【解答】共存在五种正多面体,分别是正四面体、正方体、正八面体、 正十二面体、正二十面体。 【例题 2】确定各正多面体的对称轴类型 Cn 和数目(Cn 表示某一图形 绕轴旋转 360°/n 后能与原图形完全重合) 【分析】①正四面体:过一顶点和对面的面心为轴,这是 C3 轴,显然共 有四条;有 C2 轴吗?过相对棱的中点就是 C2 轴,共三条。将正四面体放入

正方体再研究一下吧(参考第一节) 3 轴不就是体对角线吗(8/2)?而 C2 !C 轴就是正方体的相对面心(6/2) 。 ②正方体:存在 C4 轴,即过相对面的面心,有三条;C3 轴,过相对顶 点,有四条;C2 轴呢?用了面心和顶点,是否可用棱边呢?过相对棱的中点, 不就是 C2 轴吗?共有六条。 ③正八面体:先也看过面心的轴,是 C3 轴;过顶点的轴,是 C4 轴;而 过棱的中点的轴就是 C2 轴。 ④正十二面体:过两个相对面的面心就是 C5 轴,共有六条(12/2) ;过 相对顶点就是 C3 轴,应该有十条(20/2) ;过相对棱的中点也存在 C2 轴,共 。 有十五条(30/2) ⑤正二十面体:过相对面的面心,十条 C3 轴;过相对顶点,六条 C5 轴; 过相对棱心,十五条 C2 轴。 从上面的分析不难看出,正方体与正八面体、正十二面体与正二十面体 有相同的对称性(对称轴种类与数目相同,其实对称面种类和数目,对称中 心也相同,此处不讨论) ,也正如前面几节所说,连接各自的面心可得到相应 的正多面体,而对称轴(对称面、对称中心)没有改变,这样一对正多面体 称为对偶正多面体。还有一种正四面体,它是自对偶的,连接各自面心还是 正四面体。 【解答】 正四面体:4C3、3C2; 正方体:3C4、4C3、6C2; 正八面体:3C4、4C3、6C2; 正十二面体:6C5、10C3,15C2; 正二十面体:6C5、10C3,15C2; 【例题 3】在富勒烯家族 Cx 中,找出与正十二面体具有对称轴的 Cx。 【分析】足球烯 C60 是 Cx 中最典型的物质,它的模型类似足球,对称性 很好,有 12 个正五边形和 20 正六边形组成。第五节曾谈到 C60 可由正二十 面体消去 12 个顶点得到,因此过相对正五边形的面心就是 C5 轴(12/2) ,过 相对正六边形的面心就是 C3 轴(20/2) ,也分别有 6 条和 10 条。除了 C60 还 有吗?再回顾第五节提到的 C180,它有 12 个正五边形,与它们相邻的是 60 个正六边形(12×5) ,还应有 20 个正六边形,它们周围都有相同的环境(都 是正六边形) ,其面心就构成正十二面体。因此过相对面的面心就是 C3 轴。 与正十二面体具有相同的对称轴及其数目。从 20→60→180, (都有 12 个正 五边形) ,下一个是否应该是 540 呢?由第五节知识可求得正五边形 12 个, 正六边形(540-20)/2=260 个,与 12 个正五边形相邻的正六边形有 60 个, 再与这些正六边形(6 条边一边与正五边形共用,相邻两边与正六边形共用, 还剩三边)相邻的正六边形有 60×3=180 个,还剩下 20 个,这 20 个面的面 心不就是正二十面体吗?C540 的下一个就是 C1620 了。 正六边形有(1620-20)/2

=800 个,依次为 60、180、540、20 个。 【解答】C20×3n 【讨论】空间正多面体由一种正多边形构成,若我们削弱条件,可要求 由两种正多边形构成,但每个顶点仍完全等价的空间多面体,称为亚正多面 体。显然,C60 是一种典型的亚正多面体模型,它由正二十面体削去 12 个顶 点得到,C60 模型每个顶点都是等价的,由两个正六边形和一个正五边形共 用一个顶点,从这儿我们也能得到 C60 中,正五边形与正六边形的数目比为 1/5:2/6=3:5。利用得到 C60 的启示,我们在其它正多面体的适当位置削去其 顶点,也可得到亚正多面体。例如正四面体削去顶点后为 4 个正三角形与 4 个正六边形构成的亚正多面体。那么亚正多面体有多少种呢?答案是无限多 个,至少有两个系列是无限多个。其一为正棱柱系列:底面正多边形(有无 数种情况) ,调节高使与边长相等,即侧面为正方形。在这一系列中,两底面 正好是重叠式的,能否是交叉式呢?此时一底面上顶点与另一底面上两顶点 相连,构成的面是三角形。我们还是来调节高度,使这三角形正好是正三角 形,这又是一个无穷系列。正方形和正八面体正好分别是这两个系列的特殊 情况。 【例题 4】C24H24 有三种特殊的同分异构体,它们都是笼状结构,不含 有双键和三键;它们都只有一种一氯取代物,而二氯取代物不完全相同。试 画出或说明 A、B、C 的碳原子空间构型和二氯取代物的具体数目,并比较 它们分子的稳定性。 【分析】C60 骨架类型是一种亚正多面体。一种显然是上文提到的正棱柱 体(另一系列不可以,每个顶点连了四条键) ,底面是正十二边形,它的二氯 取代物为 13 种。 还有两种呢?24 是 12 的倍数, 是正方体和正八面体的棱 12 边数,每条棱的相同位置上取两点,其位置不都是等价的吗?即我们把正方 体削去八个顶点——正八边形和正三角形构成的亚正多面体; 把正八面体削去六个顶点——正六边形和正方形构成的亚正多 面体。再来确定它们的二氯取代物,右上图所示为正方体削去 顶点的亚正多面体一底面放大, 并投影到这一底面上的平面图, 从其一点到相对一点(最远)走最近距离为六条线段,故该二 氯取代物为 6 种;右下图所示为正八面体削去顶点的亚正多面体 的投影图,从其一点到相对一点(最远)走最近距离也为六条线 段,即该二氯取代物也为 6 种。从键的张力再来分析这三个分子 的稳定性。每个碳均是 sp3 是杂化的,正八面体削去顶点的构型 中键角为 120°和 90°,最接近 109°28’,键的张力最小,稳定性最强;正 十二棱柱键角为 150°和 90°,稳定性次之;正方体削去顶点的构型中键角 为 135°和 60°,稳定性最差。 【参考答案】略


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