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广东省深圳市2013届高三第一次调研考试数学文试题(word版)


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绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 (文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前, 考生首先检查答题卡是否整洁无缺损, 监考教师分发的考生信息条形码 是

否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、 姓名和考生号, 同时, 将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条 形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案, 答案不能答在试卷上. 不按要求填涂 的, 答案无效. 3. 非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原 来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的 答 案无效. 4. 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答. 漏涂、 错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考结论: 1 三棱锥的体积公式: V ? Sh ,其中 V , S , h 分别是三棱锥的体积、底面积和高; 3 回归直线的方程是: y ? bx ? a , n ? ∑ ( xi ? x)( yi ? i ?1 其中: b ? y) n , a ? y ? bx . 2 ∑(xi ? x)
i ?1

2013.2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项 中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知 i 为虚数单位,则1 ? i) ?? ( B. ?2 i A. 2i

C. 2

D. ?2

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷

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2.已知集合 A ? {x ? R | x ? } , B ? {1, 3, ,则 2,4} ( A. {1, 3, 2,4} B. {2, 4} 3, π 的是 2

7 2

R

A) B ?? ∩ D. ?4??

C. {3, 4}

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? tan x 2

B. y ? sin 2x

C. y ? cos

x 4

D. y ? cos 4x

4.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? log 3 ?1 ? x ? ,则 f ?? 2 ? ?? A. ?1 B. ?3 C. 1 D. 3 5.下列命题为真命题的是 A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题. B. x ? 5 ”是“ x 2 ? 4x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件. “ C.命题“若 x ? ?1 ,则 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否命题为: x ? ?1 ,则 x 2 ? 2x ? 3 ? “若 0 ” D.已知命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 . ?0 . 6.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

A







(第 6 题图)

7.某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n(n ? 1)个小矩形,若第一个小矩形的面积 等于其余 n ? 1 个小矩形的面积之和的 A. 20 B. 25 1 ,则第一个小矩形对应的频数是 5 C. 30 D. 35

8.等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 0 , a4 ? a7 ? 0 ,则 {an } 的前 n 项和 S n 的最大值 为 A. S B. S 6 C. S5 D. S 4 7 9.已知抛物线 y 2 ? 2 px p ? 0) ( 与双曲线
2 x y2 ?1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线交于一点 ? a2 b 2

M 1, m) ( ,点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ,则双曲线的离心率等于 A. 3 B. 4 C. 1 3 D. 1 4

10.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 4xy ? x ? 2 y ? 4 ,则 xy 的最小值 为 2 A. B.2 2 C. 2 2
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D. 2

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题 两部分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答.
11.运行如图所示的程序框图,输出的结果是
开始 A=1,S=1 否



A≤5 是 S= 2S+1 A=A+1

输出 S 结束

(第 11 题图)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 则 y 的取值范围是 12.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1, ?2x ? y ? 8 ? 0. x ?



13.在平面直角坐标系 xOy 中,定点 A (4, 3) 且动点 B (m, 0) x 轴的正半轴上移动, 在 m 则 的最大值为 . AB

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一 题的得分.
? x ? 1 ? t, 14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 (参数 t ? R) , 若以 O ? ? y ? 4 ? 2t. 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , 则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 . A O E B C
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15.如图, PA 是 ⊙O 的切线, A 为切点,直线 PB 交 ⊙O 于 D、B 两点, 交弦 AC 于 E 点, AE ? 4 , EC ? 3 , 且 BE ? 6 , PE ? 6 ,则 AP = .

D

P

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三、 解答题: 本大题 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.
16.本小题满分 12 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, (sin 2 ? , 1) N M , (1, ? 2 cos 2 ?) ? ? R ) O M ( , 且 ? . (1)求点 M , N 的坐标; 点 M , N ,求 tan(? ? ? )的值. ?O N 3? 2

(2)若角 ? , ? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合,终边分别经过

17.本小题满分 12 分) ( 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理( y 分)

A1 89 87

A2 91 89

A3 93 89

A4 95 92

A5 97 93

(1) 要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动, 求选中的学生中至少有一人的物理成 绩高于 90 分的概率; (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 y ??bx ? a .
y(物理成绩)

94 92 90 88

O

89

91

93

95

97

x(数学成绩)

(第 17 题图)

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18.本小题满分 14 分) ( ?? 如 图 甲 , ⊙O 的 直 径 AB ? 2 , 圆 上 两 点 C、D 在 直 径 AB 的 两 侧 , 使 ?CAB ? , 4 ? ?DAB ? .沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) F 为 BC 的中 , 3 点, E 为 AO 的中点.根据图乙解答下列各题: (1)求三 棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ; (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不 存在,请说明理由. C C F A O B A
(第 18 题图甲)

E O
(第 18 题图乙)

B

D

D

19.本题满分 14 分) ( 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 已知 S3 ? 7 , 3a2 是 且 a1 ? 3 和 a3 ? 4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; an 1 (2)设 bn ?? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . (an ? 1 n ?1 ? 1) 2 )(a

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20.本题满分 14 分) ( 3 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且点 (1, 2 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,椭圆 C 的长轴为 AB ,设 P 是椭圆上异于 AB、 B 的任意一点, PH ? x 轴, 为垂足,点 Q 满足 PQ ? HP ,直线 AQ 与过点 且垂直于 x 轴的直线交于点 H M , y BM ? 4 BN . 求证: ?OQN 为锐角. Q P A
O

3 ) 在该椭圆 2

M

N

H

B

x

(第 20 题图)

21.本小题满分 14 分) ( 已知函数 ( x) a x ? x 2 ? x ln a ? b (a, b ? R, a ? 1 , e 是自然对数的底数. f ? ) (1)试判断函数 ( x) f 在区间 (0, ? ?) 上的单调性; (2)当 a ? e , b ? 4 时,求整数 k 的值,使得函数 ( x) f 在区间 , k ? 1 上存在零点; (k ) (3)若存在 x1 , x2 ?[?1, 1],使得 | ( x1) ( x2) e ? 1 ,试求 a 的取值范围. f ? f |?

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2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重 的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A B B C C A D

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为 最后得分),满分 20 分.

6] 11. 63 . 12. [2, . 13.

5 . 3

14.

4 5 . 5

15. 4 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分)

???? ???? ? 3 ( ) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, M sin 2 ? , 1 , N 1, ? 2cos2 ?) ? ? R ) ( ,且 OM ? ON ? ? . 2
(1)求点 M , N 的坐标; (2)若角 ? , ? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合,终边分别经过点 M , N ,求

tan ? ? ? ) 的值. (

3 2 3 ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? ? , 2

解:(1) ? OM ? ON ? ? , ???????.2 分

???? ???? ?

3 ? sin 2 ? ? 2(1 ? sin 2 ? ) ? ? , 2 5 1 2 2 解得 sin ? ? , cos ? ? 6 6 5 1 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) 3 6 5 1 (2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? ) 3 6 5 ? tan ? ? 6 , tan ? ? ? 3

???????.6 分

????????????.10 分

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? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

?

6?

5 3

5 1 ? 6 ? (? ) 3 13 ? 33

????????????.12 分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以及向量 的有关知识.考查了运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理(

A1
89 87

A2
91

A3
93 89

A4
95 92

A5
97 93

y 分)

89

(1)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率;
? (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 y ? bx ? a .

解: (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A ) 、 ( A4 , A2 ) 、 ( A4 , A3 ) 、 1

( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 、 ( A1, A2 ) 、 ( A1, A3 ) 、 ( A2 , A3 ) 共种情10 况.???3 分
其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A ) 、 ( A4 , A2 ) 、 ( A4 , A3 ) 、 1

( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 共 7 种情况,
故 上述抽取的 5 人中选 2 人,选 中 的 学 生的 物理 成绩 至 少 有一 人的 成 绩高于 90 分 的 概率

P?

7 . 10

????????????????5 分 ?????????????????6 分

(2)散点图如右所示.

y/物理成绩

94 92 90

· · ·

·

88

·
O

89

91

93

95

97

x/数学成绩

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可求得:

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , ?????????????????8 分 y= 5
5 i i

? ( x ? x)( y ? y) ? 30
i ?1

?( x ? x )
i ?1 i

5

2

= (?4)2 ? (?2)2 ? 02 ? 22 ? 42 =40,

b?

30 =0.75, 40
?????????????????11 分

a ? y ? bx =20.25 ,
故 y 关于 x 的线性回归方程是:

? y ? 0.75 x ? 20.25 .

?????????????????12 分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和应用 意识. 18. (本小题满分 14 分)

? ? , ?DAB ? .沿 4 3 直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中点.根据 , 图乙解答下列各题:
如图甲,⊙O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧,使 ?CAB ? (1)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ; ? (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明 理由.

C F

A

·

O

B A D
·

·

E

O G

B

D
(第 18 题图甲)

(第 18 题图乙)

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解:(1)? C 为圆周上一点,且 AB 为直径,??C ? 90?

? ?CAB ?

?
4

, ? AC ? BC ,

∵ O 为 AB 中点,? CO ? AB ,

? AB ? 2,?CO ? 1 .
∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ∴ CO ? 平面 ABD ,? CO ? 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt ?ABD 中, S?BOD ?

1 1 1 3 S?ABD ? ? ?1? 3 ? , 2 2 2 4

1 1 3 3 ?VC ? BOD ? S?BOD ? CO ? ? ?1 ? . ???????????????4 分 3 3 4 12
(2)在 ?AOD 中,? ?OAD ? 60?, OA ? OD,

? ?AOD 为正三角形, 又? E 为 OA 的中点,? DE ? AO , ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ? DE ? 平面 ABC . ∴ CB ? DE . ???????????????9 分

? (3)存在, G 为 BD 的中点.证明如下:
连接 OG, OF , FG , ∴ OG ? BD , ∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴ AD ? BD ∴ OG // AD , ? OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD , ∴ OG // 平面 ACD . 在 ?ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点,

? OF // AC , OF ? 平面 ACD ,? OF // 平面 ACD ,

? OG ? OF ? O,
∴平面 OFG // 平面 ACD , 又 FG ? 平面 OFG ,? FG // 平面 ACD .???????????????14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力. 19. (本题满分 14 分)

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设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 3a2 是

a1 ? 3 和 a3 ? 4 的等差中项.
(1)求数列 {an } 的通项公式; an 1 (2)设 bn ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . (an ? 1)(an ?1 ? 1) 2

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知,得 ? (a ? 3) ? (a ? 4) ???????????????3 分 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 . 设数列 {an } 的公比为 q ,则

a1q ? 2 ,
∴ a1 ?

2 ,a3 ? a1q 2 ? 2q . q 2 ? 2 ? 2q ? 7 , q

由 S3 ? 7 ,可知
2

∴ 2q ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q1 ? 2,q2 ?

1 . 2
???????????????????5 分

, 由题意,得 q ? 1 ? q ? 2 .
∴ a1 ? 1 . 故数列 {an } 的通项为 an ? 2
n ?1



???????????????????7 分

1 1 an 2n?1 ? n ?1 ? n (2)∵ bn ? , ????11 分 ? n?1 n (an ? 1)(an ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
∴ Sn ? ?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 2 ??? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? 1?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?
1 1 1 1 1 ? n ? ? n ? .?????????????????14 分 1?1 2 ?1 2 2 ?1 2

?

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法” ;考查了学 生的运算能力和思维能力.

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20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,椭圆 C 的长轴为 AB ,设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,点 ???? ? ???? ??? ??? ? ? Q 满足 PQ ? HP , 直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M ,BM ? 4 BN . 求证:?OQN 为锐角.
3 ( ,且点 1, 2 3 ) 在该椭圆上. 2

y
Q

M
N

P A
O

H

B

x

(第 20 题图)

20.解: (1)设椭圆 C 的方程为 又 a ? b ? c ,∴ 4b ? a .
2 2 2
2 2

c 3 x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? 2 a b a 2
????????????????2 分

,

3 ) ,代入椭圆方程有 ∵椭圆 C 经过 (1, 2
解得 b ? 1 .
2

3 1 ? 42 ? 1 , 2 4b b
????????????????5 分

∴a ? 4,
2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????????6 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? (?2 ? x0 ? 2) , ∵ A ? ?2,0? , ∵ PQ ? HP , ∴ Q ? x0 , 2 y0 ? ,

????????????????7 分

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∴直线 AQ 的方程为 y ?

2 y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

????????????????9 分

? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ?. ? x0 ? 2 ?

∵ B ? 2,0 ? , BM ? 4BN , ∴ N ? 2,

???? ?

??? ?

? ?

y0 ? ?. x0 ? 2 ?

???? ? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) ? ∴ QO ? ? ? x0 , ?2 y0 ? , QN ? ? 2 ? x0 , ?. x0 ? 2 ? ?

???? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) 4 y 2 (1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 ∴ QO ? QN ? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? (?2 y0 ) ? x0 ? 2 x0 ? 2

x0 2 ? y0 2 ? 1 , ∵ 4
∴ 4 y0 ? 4 ? x0
2 2

∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ∵ ?2 ? x0 ? 2 , ∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ? 0 . 又 O 、 Q 、 N 不在同一条直线, ∴ ?OQN 为锐角.

??? ???? ?

????????????????12 分

??? ???? ?

???????????????????14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及 分析问题、解决问题的能力. 21. (本小题满分 14 分)

f ? ) 已知函数 (x) a x ? x2 ? x ln a ? b?(a, b ? R, a ? 1 , e 是自然对数的底数.
( f (1)试判断函数 (x) 在区间 0, ? ?) 上的单调性; ( f (2)当 a ? e , b ? 4 时,求整数 k 的值,使得函数 (x) 在区间 k , k ? 1) 上存在零点;

f ?f |? (3)若存在 x1 , x2 ?[?1, 1],使得 | (x1) (x2) e ? 1 ,试求 a 的取值范围.
解: (1) f ?( x) ? a ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a ?1)ln a
x x

…………………………1 分

x 由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a ? 1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,…………2 分

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故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 . …………………………………………3 分 (2) f ( x) ? e x ? x2 ? x ? 4 ,? f ' ( x) ? ex ? 2x ?1 ,

? f ?(0) ? 0 ,
x

……………………………………4 分

当 x ? 0 时, e ? 1 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 是 (0, ??) 上的增函数; 同理, f ( x) 是 (??, 0) 上的减函数. …………………………………5 分

f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? e ? 4 ? 0, f (2) ? e2 ? 2 ? 0 ,当 x ? 2 , f ( x) ? 0 ,
故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在 (1, 2) 内,? k ? 1 满足条件;

1 1 f (0) ? ?3 ? 0, f (?1) ? ? 2 ? 0, f (?2) ? 2 ? 2 ? 0 ,当 x ? ?2 , f ( x) ? 0 , e e
故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的零点在 (?2, ?1) 内,? k ? ?2 满足条件. 综上所述

k ? 1 或 ?2 .
x 2

………………………………………7 分

(3) f ( x) ? a ? x ? x ln a ? b , 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 , 所 以 当 x ?[? 1 , 1 ] , 时

| f ( xm )a ? x

f ( x m?i )

n

| f

x ?m ( )

a x

f

x )m i…………………………8 分 ( ? ? e 1 n

f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a ,
x ①当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ;

②当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ;
x

③当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 [?1,0] 上递减,在 [0,1] 上递增,…………………………………11 分 ∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x)min ? f (0) ? 1 ? b, f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)? , 而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ? b) ? ( ? 1 ? ln a ? b) ? a ? 设 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ?

1 a

1 ? 2 ln a , a

1 t

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (当 t ? 1 时取等号) , t2 t t

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∴ g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , ∴当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 , ∴当 a ? 1 时, a ? ∴ f (1) ? f (?1) , ∴ f (1) ? f (0) ? e ? 1 , ∴ a ? ln a ? e ? 1 ,即 a ? ln a ? e ? ln e , 设 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) ,则

1 t

1 ? 2 ln a ? 0 , a

h?(a) ? 1 ?

1 a ?1 ? ?0. a a

∴函数 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) 在 (1, ??) 上为增函数, ∴a ? e. 即 a 的取值范围是 ? e, ?? ? ……………………………………14 分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式 问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.


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