当前位置:首页 >> 数学 >>

裂项相消与放缩法解数列专题


数列专题 3
一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的 目的. 通项分解(裂项)如:通项为分式结构,分母为两项相乘,型如: 列。 常用裂项形式有:

1 ,{an } 是 d ? 0 的等差数 a n ? a n ?1

1 1 1 (2n) 2 1 1 1 ? ? ; 1 ? 1 (1 ? 1 ) ; ?1? ( ? ); n ( n ? k ) k n n ? k n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 ? ( a ? b) ; a ? b a ?b 1 1 1 ? ( n ? k ? n ) 特别地: ? n ?1 ? n n?k ? n k n ?1 ? n
二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法。 1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下 4 种: ① ;② ? ai ? f (n) ;③ ? ai ? f (n) ;④ ? ai ? k ( k 为常数). ? ai ? k ( k 为常数)
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

放缩目标模型→可求和(积)→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法 (1)添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n
2

(2)将分子或分母放大(或缩小)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1) n n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 2) (程度小) ② 2 ? 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ??? ? ?1 ③ n ?1 n ? 2 n ? 3 2n n ? 1 n ? 1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 或 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? ? n ④1 ? 2 3 n n n n n 1 4 4 1 1 ? 2 ? 2( ? ); ⑤平方型: 2 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 n 4n 4n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 ⑥立方型: 3 ? ? [ ? ] (n ? 2) 2 n n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 ⑦指数型: n ? n?1 (a ? b ? 1) ; n ? n?1 (a ? b ? 1) n a ?b a ( a ? b) a ? b a ( a ? b) 1 1 ? ⑧ k ?1 ? k ? ; k ?1 ? k 2 k n ? (n ? 1) lg 3 ? lg 5 2 log 3 ? lg 5 ? ( ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ⑨利用基本不等式, n(n ? 1) ? , 如: 2 2

1

(一)放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如: (1)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1(n ? N * ) . 2 2 2 2

(2)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 1(n ? N * ) . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

(3)求证:

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n ? 2(n ? N * ) . 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ?n

总结:放缩法证明与数列求和有关的不等式,若 一般要先将通项 an 放缩后再求和.

? a 可直接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和的,
i ?1 i

n

问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 bn 才行呢?其实,能求和的常见数列模 型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中, bn 大多是等比模 型或裂项相消模型. (1)先求和再放缩 2 * 例 1.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=an+1 -4n-1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成等比 数列. (1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;
1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有

2

(2)先放缩再求和 例如:求证: 1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2(n ? N * ) . 2 2 3 n

例如:函数 f ( x) ?

4x 1 1 * ,求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? (n ? N ) . x 2 2 1? 4

例 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.

总结: 一般地, 形如 an ? a n ? b n 或 an ? a n ? b(这里 a ? b ? 1 ) 的数列, 在证明 ( k 为常数)时都可以提取出 a 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.
3
n

1 1 1 ? ??? ?k a1 a2 an

练习: 1.设数列 {an } 满足 an ? 0 , a1 ? 1 , an ? (1 ? 2n)an an?1 ? an?1 (n ? 2) ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (1)求数列 {an } 的通项公式;

n ? Sn ? 2 ; n ?1 6n 5 (3)试探究:当 n ? 2 时,是否有 ? S n ? ?说明理由. (n ? 1)(2n ? 1) 3
(2)求证:当 n ? 2 时,

(3)形如

?a
i ?1

n

i

? f ( n)
n(n ? 1) n ( n ? 2) ? Sn ? (n ? N * ) . 2 2

例如:设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ,求证:

根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

注:①应注意把握放缩的“度” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab ?

a?b ,若放缩成 2

n(n ? 1) ? n ? 1 ,则得 S n ? ? k i ? 1 ?
i ?1

n

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ,就放过“度”了。 ? 2 2

总结:形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的数列不等式证明:

设 S n 和 Tn 分别为数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,若 an ? bn (n ? N * ) ,利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质,则有 S n ? Tn .要证明不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n) ,如果记 Tn ? f (n) 看作是数列 {bn } 的前 n 项和,则

bn ? Tn ? Tn?1 (n ? 2) , b1 ? T1 ,那么只要证其通项满足 an ? bn 即可.
4

(二)放缩目标模型—可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的 bn 是可求积的模型,能求
n C n?1 C (分式型) ,累乘后约简为 ? bi ? n?1 . Cn C1 i ?1 b b?m b b?m (b ? a ? 0,m ? 0) 和 ? (a ? b ? 0,m ? 0) 姐妹不等式: ? a a?m a a?m

积的常见的数列模型是 bn ?

记忆口诀: “小者小,大者大” , (解释:看 b ,若 b 小,则不等号是小于号,反之) 。 例如:求证:

1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ??? ? (n ? N * ) . 2 4 6 2n 2n ? 1

例如:求证: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ?

1 3

1 5

1 ) ? 2n ? 1 。 2n ? 1

总 结 : 形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的 数列 不等式 证明:设 An 和 Bn 分别 为数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项 积, 若
n

利用不等式的 “正数同向可乘性” 这一基本性质, 则有 An ? Bn .要证明不等式 ? ai ? f (n) , 0 ? an ? bn ,
i ?1

如果记 Bn ? f (n) 看作是数列 {bn } 的前 n 项积,则 bn ?

Bn (n ? 2) , b1 ? B1 ,那么只要证其通项满足 Bn?1

0 ? an ? bn 即可.
例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求证: {

a ?2 2 (n ? N * ) . , an?1 ? n 3 2an ? 3

1 } 是等差数列,并求出 {an } 的通项 an ; an ? 1 1 * (2)证明:对于 n ? N , a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? . n ?1

5

(二)添加或舍去一些正项(或负项) 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证 明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证 明的目的。 例如:已知 an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,求证:

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ? ? n (n ? N * ) . 2 3 a 2 a3 an?1

例 4.已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) . 2

(I)求 an 与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

例5.已知数列

:满足:



,记

.

( I ) 求证:数列 (II)若

是等比数列; 对任意 恒成立,求t的取值范围;

(III)证明:

.

6

(三)固定一部分项,放缩另外的项 例 6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? ,n∈N*. n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

练习: 2.设 s ? 1 ? A.17

1 2

?

1 3

???
C.19

1 100

,则 s 的整数部分是( D.20



B.18

3.已知 {an } 是各项都为正数的数列, S n 为其前 n 项和,且 a1 ? 1 , S n ? (I)求数列 {an } 的通项 an ; (II)求证:

1 1 (a n ? ) . 2 an

1 1 1 1 ? ??? ? 2(1 ? ). 2S1 3S 2 (n ? 1) S n Sn ? 1

7

数列专题 3
一、裂项求和法 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的 目的. 通项分解(裂项)如:通项为分式结构,分母为两项相乘,型如: 列。 常用裂项形式有:

1 ,{an } 是 d ? 0 的等差数 a n ? a n ?1

1 1 1 (2n) 2 1 1 1 ? ? ; 1 ? 1 (1 ? 1 ) ; ?1? ( ? ); n ( n ? k ) k n n ? k n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 ? ( a ? b) ; a ? b a ?b 1 1 1 ? ( n ? k ? n ) 特别地: ? n ?1 ? n n?k ? n k n ?1 ? n
二、用放缩法证明数列中的不等式 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法,叫放缩法。 1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下 4 种: ① ;② ? ai ? f (n) ;③ ? ai ? f (n) ;④ ? ai ? k ( k 为常数). ? ai ? k ( k 为常数)
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

放缩目标模型→可求和(积)→等差模型、等比模型、裂项相消模型 2.几种常见的放缩方法 (1)添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n
2

(2)将分子或分母放大(或缩小)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1) n n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 2) (程度小) ② 2 ? 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ??? ? ?1 ③ n ?1 n ? 2 n ? 3 2n n ? 1 n ? 1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 或 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? ? n ④1 ? 2 3 n n n n n 1 4 4 1 1 ? 2 ? 2( ? ); ⑤平方型: 2 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 n 4n 4n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 ⑥立方型: 3 ? ? [ ? ] (n ? 2) 2 n n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 ⑦指数型: n ? n?1 (a ? b ? 1) ; n ? n?1 (a ? b ? 1) n a ?b a ( a ? b) a ? b a ( a ? b) 1 1 ? ⑧ k ?1 ? k ? ; k ?1 ? k 2 k n ? (n ? 1) lg 3 ? lg 5 2 log 3 ? lg 5 ? ( ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ⑨利用基本不等式, n(n ? 1) ? , 如: 2 2

8

(一)放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如: (1)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1(n ? N * ) . 2 2 2 2

分析:不等式左边可用等比数列前 n 项和公式求和。

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1? 1 ? 1 解析:左边= 2 1 2n 1? 2
表面是证数列不等式,实质是数列求和。 (2)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 1(n ? N * ) . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

分析:左边不能直接求和,须先将其通项放缩后求和,将通项放缩为等比数列。

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? 1? 1 ? 1 ? n ,∴左边 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 解析:∵ n 1 2 ?1 2 2 2 2 2 2n 1? 2 1 2 3 n ? ? ?? ? n ? 2(n ? N * ) . (3)求证: 2 ? 1 2 2 ? 2 23 ? 3 2 ?n n n ? n ,将通项放缩为错位相减模型。 分析:注意到 n 2 ?n 2 n n 1 2 3 n n?2 ? n ,∴左边 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n ? 2 解析:∵ n 2 2 2 ?n 2 2 2 2
总结:放缩法证明与数列求和有关的不等式,若 一般要先将通项 an 放缩后再求和. 问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 bn 才行呢?其实,能求和的常见数列模 型并不多,主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中, bn 大多是等比模 型或裂项相消模型. (1)先求和再放缩 2 * 例 1.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=an+1 -4n-1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成等比 数列. (1)证明: a2 ?

? a 可直接求和,就先求和再放缩;若不能直接求和的,
i ?1 i

n

4a1 ? 5 ;
1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
2

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有
2

解析: (1)当 n=1 时,4a1=a2 -5,∴a2 =4a1+5.∵an>0,∴ a2 ?
2 2

4a1 ? 5 .

(2)当 n≥2 时,4Sn-1=an -4(n-1)-1,①;4Sn=an+1 -4n-1,② 2 2 2 2 2 由②-①,得 4an=4Sn-4Sn-1=an+1 -an -4,∴an+1 =an +4an+4=(an+2) .∵an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等差数列.∵a2,a5,a14 构成等比数列, 2 2 ∴a5 =a2·a14,(a2+6) =a2·(a2+24),解得 a2=3. 2 由(1)可知,4a1=a2 -5=4,∴a1=1.∵a2-a1=3-1=2,∴{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (3) =

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? = ? ?? ? ? 2n ? 1??? 2n ? 1? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 = ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2
总结: (3)问左边可用裂项相消法求和,先求和再放缩,表面是证数列不等式,实质是数列求和。
9

(2)先放缩再求和 例如:求证: 1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2(n ? N * ) . 2 2 3 n

分析:左边不能求和,应先将通项放缩为裂项相消模型后求和,保留第一项,从第二项开始放缩。 解析:∵

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) 2 n(n ? 1) n ? 1 n n 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1 ? 1 ? ? 2 (n ? 2) ∴左边 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 3 n ?1 n n
当 n ? 1 时,不等式显然也成立.

4x 1 1 * 例如:函数 f ( x) ? ,求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? (n ? N ) . x 2 2 1? 4
分析:此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从 而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对 于分子分母均取正值的分式,如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩 小或分母放大即可。

例 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有
n+1 2

,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.


3

解: (1)在 2Sn=an+1﹣2 +1 中,令 n=1 得:2S1=a2﹣2 +1,令 n=2 得:2S2=a3﹣2 +1, 解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13,又 2(a2+5)=a1+a3,解得 a1=1 (2) 由 2Sn=an+1﹣2
n n+1

+1,
n+1

得 an+2=3an+1+2
n

n+1

, 又 a1=1, a2=5 也满足 a2=3a1+2 ,
1 n n n n

1

所以 an+1=3an+2 对 n∈N*成立,∴an+1+2 =3 (an+2 ) , 又 a1=1, a1+2 =3, ∴an+2 =3 ,∴an=3 ﹣2 ; (3)分析: (3)左边不能直接求和,考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。

(法二)∵an=3 ﹣2 =(3﹣2) (3

n

n

n﹣1

+3

n﹣2

×2+3

n﹣3

×2 +…+2

2

n﹣1

)≥3

n﹣1

,∴







+

+

+…+

≤1+ +

+…+

=

< ;

10

(法三)∵an+1=3 当 n≥2 时,

n+1

﹣2

n+1

>2×3 ﹣2 < ?

n

n+1

=2an,∴

< ? ,…

, , < ? ,

< ?





累乘得:



?

,∴

+

+

+…+

≤1+ + × +…+

× < < .

总结: 一般地, 形如 an ? a n ? b n 或 an ? a n ? b(这里 a ? b ? 1 ) 的数列, 在证明

1 1 1 ? ??? ?k a1 a2 an

( k 为常数)时都可以提取出 a n 利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型. 练习: 1.设数列 {an } 满足 an ? 0 , a1 ? 1 , an ? (1 ? 2n)an an?1 ? an?1 (n ? 2) ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (1)求数列 {an } 的通项公式;

n ? Sn ? 2 ; n ?1 6n 5 ? S n ? ?说明理由. (3)试探究:当 n ? 2 时,是否有 (n ? 1)(2n ? 1) 3
(2)求证:当 n ? 2 时,

11

(3)形如

?a
i ?1

n

i

? f ( n)
n(n ? 1) n ( n ? 2) ? Sn ? (n ? N * ) . 2 2

例如:设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ,求证:

根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式,不等式关系:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

注:①应注意把握放缩的“度” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab ?

a?b ,若放缩成 2

n(n ? 1) ? n ? 1 ,则得 S n ? ? k i ? 1 ?
i ?1

n

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ,就放过“度”了。 ? 2 2
12

总结:形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的数列不等式证明:

设 S n 和 Tn 分别为数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,若 an ? bn (n ? N * ) ,利用不等式的“同向可加性”这一 基本性质,则有 S n ? Tn .要证明不等式

?a
i ?1

n

i

? f (n) ,如果记 Tn ? f (n) 看作是数列 {bn } 的前 n 项和,则

bn ? Tn ? Tn?1 (n ? 2) , b1 ? T1 ,那么只要证其通项满足 an ? bn 即可.
(二)放缩目标模型—可求积 放缩法证明与数列求积有关的不等式,方法与上面求和相类似,只不过放缩后的 bn 是可求积的模型,能求
n C n ?1 C (分式型) ,累乘后约简为 ? bi ? n?1 . Cn C1 i ?1 b b?m b b?m (b ? a ? 0,m ? 0) 和 ? (a ? b ? 0,m ? 0) 姐妹不等式: ? a a?m a a?m

积的常见的数列模型是 bn ?

记忆口诀: “小者小,大者大” , (解释:看 b ,若 b 小,则不等号是小于号,反之) 。 例如:求证:

1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ??? ? (n ? N * ) . 2 4 6 2n 2n ? 1

例如:求证: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ?

1 3

1 5

1 ) ? 2n ? 1 。 2n ? 1

总 结 : 形如

?a
i ?1

n

i

? f (n) 的 数列 不等式 证明:设 An 和 Bn 分别 为数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项 积, 若
n

利用不等式的 “正数同向可乘性” 这一基本性质, 则有 An ? Bn .要证明不等式 ? ai ? f (n) , 0 ? an ? bn ,
i ?1

B 如果记 Bn ? f (n) 看作是数列 {bn } 的前 n 项积,则 bn ? n (n ? 2) , b1 ? B1 ,那么只要证其通项满足 Bn?1 0 ? an ? bn 即可.
13

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求证: {

a ?2 2 , an?1 ? n (n ? N * ) . 3 2an ? 3

1 } 是等差数列,并求出 {an } 的通项 an ; an ? 1 1 (2)证明:对于 n ? N * , a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? . n ?1

(二)添加或舍去一些正项(或负项) 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证 明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证 明的目的。 例如:已知 an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,求证:

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ? ? n (n ? N * ) . 2 3 a 2 a3 an?1

本题在放缩时舍去了 2 ? 2 ,从而使和式得到了化简。
k

14

例 4.已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? (

an ? 1 2 ) . 2

(I)求 an 与an?1 (n ? 2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式; (II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

例5.已知数列

:满足:



,记

.

( I ) 求证:数列 (II)若

是等比数列; 对任意 恒成立,求t的取值范围;

(III)证明:
解: (Ⅰ)证明:由 an ?1 ?
an ?1 ? 1 ?

.
3an ? 2 3a ? 2 a ?2 ?2? n 得 an ?1 ? 2 ? n an ? 2 an ? 2 a n ?2



3an ? 2 4(an ? 1) ?1 ? an ? 2 an ? 2





an ?1 ? 2 1 an ? 2 a ?2 1 1 ? ? ? 即 bn?1 ? b n ,且 b1 ? 1 an ?1 ? 1 4 a n ?1 a 1 ?1 4 4

∴数列 ?bn ? 是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列 . 4 4
15

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ?

1 ? 2 ? 4n a ?2 1 1 n ?1 1 ( ) ? n ? n ∴ an ? n 4 4 an ? 1 4 ?1 4

1 1 2? n n 1? 2 ? 4 由 an ? t ? 4n 得 t ? n ? n 4 ,易得 n 4 是关于 n 的减函数 4 ?1 (4 ? 1)4 n 4 ?1
n

2?

1 1 2? n 4 4 ? 3 ,∴ t ? 3 ? ∴ n 4 ?1 4 4 4 ?1 2?
2 ? 4n ? 1 3 3 ?2? n ?2? n n 4 ?1 4 ?1 4 3 3 3 3 3 3 ∴ a1 ? a2 ? ? ? an ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) ? ? ? (2 ? n ) ? 2n ? ( ? 2 ? ? ? n ) 4 4 4 4 4 4

(Ⅲ) an ?

1 1 ? ( )n 3 4 ? 2n ? 1 ? ( 1 ) n ? 2n ? 3 得证 = 2n ? ? 4 1? 1 4 4 4
(三)固定一部分项,放缩另外的项 例 6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 解:(1)依题意,2S1=a2-

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? ,n∈N*. n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

1 2 -1- ,又 S1=a1=1,所以 a2=4. 3 3 1 3 2 2 1 2 3 2 (2)当 n≥2 时,2Sn=nan+1- n -n - n,2Sn-1=(n-1)an- (n-1) -(n-1) - (n-1), 3 3 3 3 1 2 2 两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n -3n+1)-(2n-1)- ,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), 3 3 an ?1 an a2 a1 a a ? ? ? ? 1 .又 ? ? 1 ,故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 即 n ?1 n 2 1 1 ?n? a 2 所以 n =1+(n-1)×1=n.所以 an=n . n 1 1 1 5 7 1 7 (3)当 n=1 时, ? 1< ;当 n=2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 a2 4 4 4 a1 4 1 1 1 1 1 当 n≥3 时, ? 2? ? ? , an n ? n ? 1?n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ? ? ? = 1+ ? 2 ? 2 ? ? ? 2 <1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ? 1 1 1 7 1 7 = 1+ ? ? ? ? ? . 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4
此时 此题采用了保留前 2 项,从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,需根据 具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰到好处。

16

练习:2.设 s ? 1 ? A.17 B.18

1 2

?

1 3

???

1 100

,则 s 的整数部分是(



C.19

D.20

分析:不能直接求和式 s ,须将通项

1 n

放缩为裂项相消模型后求和.

思路:为了确定 s 的整数部分,必须将 s 的值放缩在相邻的两个整数之间.

3.已知 {an } 是各项都为正数的数列, S n 为其前 n 项和,且 a1 ? 1 , S n ? (I)求数列 {an } 的通项 an ; (II)求证:

1 1 (a n ? ) . 2 an

1 1 1 1 ? ??? ? 2(1 ? ). 2S1 3S 2 (n ? 1) S n Sn ? 1

17


相关文章:
更多相关标签: