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一元二次不等式及其解法


6.2 一元二次不等式及其解法

考纲点击 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设 计求解的程序框图.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.一元二次不等式的解法 判

别式 Δ>0 2 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

Δ=0

Δ <0

一元二次方程 有两相等实根 有两不等实根 ax2+bx+c=0 b x1,x2,(x1<x2) x1=x2=- 2a (a>0)的根

没有实根

ax2+bx+c > 0(a > 0) 的 解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

①________ ④_______

②________ ⑤______

③______ ⑥______

①{x|x<x1 或 x>x2} ②{x|x≠x1} ③R ④{x|x1<x<x2} ⑤? ⑥?

2.用一个流程图来描述一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a >0)的求解的算法过程. ⑦{x|x≠x1} ⑧{x|x<x1 或 x>x2} ⑨R

考点自测
?1 ??1 ? 1.不等式?2-x??3+x?>0 的解集为( ) ? ?? ? ? 1 1? ? ? 1? ?1 A.?-3,2? B.?-∞,-3?∪?2,+∞? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? ? ? 1? ?1 C.?-2,3? D.?-∞,-2?∪?3,+∞? ? ? ? ? ? ?

解析:
?1 ??1 ? ? 1?? 1? 不等式?2-x??3+x?>0,同解于?x-2??x+3?<0, ? ?? ? ? ?? ? ? 1?? 1? 1 1 又∵相应方程?x-2??x+3?=0 的两根为:x1=-3,x2=2, ? ?? ? ? 1?? 1? 1 1 ? ? ? ? x - x + ∴ 2?? 3?<0 的解为-3<x<2. ?

1 1 故原不等式的解集为{x|-3<x<2}. 答案:A

2.不等式 x2-|x|-2<0 的解集是( ) A.{x|-2<x<2} B.{x|x<-2 或 x>2} C.{x|-1<x<1} D.{x|x<-1 或 x>1}

解析:原不等式?|x|2-|x|-2<0?(|x|-2)(|x|+1)<0?|x| -2<0?-2<x<2,故选 A. 答案:A

1 3.设二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1<x<3}, 则 ab 的值为( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5
2

1 解析:因 x=-1,3是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 1 1 1 b b 2 ∴-a=-1+3,∴a=3,又-1×3=a, ∴a=-3,b=-2,∴ab=6. 答案:C

4. a<0 时, 不等式 x2-2ax-3a2<0 的解集是__________.

解析:∵x2-2ax-3a2=0,∴x1=3a,x2=-a.又 a<0, ∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 答案:{x|3a<x<-a}

5.不等式 2

x2+2x-4

1 ≤2的解集为__________.
x2+2x-4

解析:原不等式? 2 ≤2-1?x2+2x-4≤-1, 即 x2+2x-3≤0,解之得-3≤x≤1,解集为[-3,1]. 答案:[-3,1]

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零. (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ>0 时,求出相应的一元二次方程的两根; (4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解.

2.一元二次不等式的解法技巧 (1)解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0),当 a>0 时, 其相应一元二次方程的判别式 Δ>0,则求两根或分解因式, 根据“大于在两边,小于夹中间”写出解;若 Δ=0 或 Δ<0, 这是特殊情形,利用相应一元二次函数的图象写出不等式的 解. (2)当含有参数时,必须要分类讨论.分类是由不确定和不 统一而引起的,分类标准是根据需要而设定的,这种“需要” 可能是:是什么不等式(一元一次?一元二次?);开口方向如 何;根的判别式的正负;根的大小等. (3)要特别注意三个“二次”之间的联系, 重视数形结合的 思想和分类讨论思想的应用.

题型探究 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解关于 x 的不等式:ax2-2x+1>0.

解析: 1 ①当 a=0 时,不等式即-2x+1>0,∴解集为{x|x<2}; ②当 a<0 时,△=4-4a>0, 2 1 2 此时不等式为 x -ax+a<0, 1- 1-a 2 1 2 由于方程 x -ax+a=0 的两根分别为 、 a 1+ 1-a 1- 1-a 1+ 1-a ,且 > , a a a 1+ 1-a 1- 1-a ∴不等式的解集为:{x| <x < }; a a

③当 a>0 时,若 0<a<1, 2 1 2 此时不等式即 x -ax+a>0, 1- 1-a 1+ 1-a ∵ < , a a 1- 1-a 1+ 1-a ∴不等式解集为{x|x< ,或 x> }, a a 若 a=1,则不等式为(x-1)2>0, ∴不等式解集为{x∈R|x≠1}; 若 a>1,则△<0,不等式解集为 R. 点评:当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两 个不同的根时,判断谁大谁小,要考虑参数的作用.

题型二 三个“二次”之间的关系 例 2 若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}, 求 a 的值.

解析:∵(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}, ∴1-a<0,即 a>1. 于是原不等式可化为(a-1)x2+4x-6<0,a-1>0, 其解集为{x|-3<x<1}. 则方程(a-1)x2+4x-6=0 的两根为-3 和 1, ?a>1, ? ?-3+1=- 4 , a-1 由? ? 6 ?-3×1=- , a - 1 ?

解得 a=3.

所以,满足条件的 a 的值为 3.

点评:二次函数、二次方程、二次不等式是一个有机的整 体,解题时要根据题意,将三者相互转化,切莫将三者割裂开 来.

1 1 变式探究 2 已知 ax +2x+c>0 的解集为-3<x<2,试 求 a、c 的值,并解不等式-cx2+2x-a>0.
2

1 1 解析:由 ax +2x+c>0 的解集为-3<x<2,知 a<0, 1 1 2 且方程 ax +2x+c=0 的两个根为 x1=-3,x2=2,
2

?a<0, ? ?-1+1=-2, a 由韦达定理得? 3 2 ? 1 1 c ?- × = , ? 3 2 a 由此得 a=-12,c=2,此时-cx2+2x-a>0, 即化为 2x2-2x-12<0,得解集为{x|-2<x<3}.

题型三

不等式恒成立问题

例 3 当 a 为何值时, 不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解 集是为 R.

解析:①当 a2-1≠0,即 a≠± 1 时,原不等式的解集为 R 2 ? ?a -1<0, 的条件是? 2 2 ? ?Δ=?a-1? +4?a -1?<0, 3 解之得-5<a<1. ②当 a2-1=0,即 a=± 1 时, 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0, 1 即 x<2,不符合题目要求,舍去. 3 综上所述,当-5<a≤1 时,原不等式的解集为 R.

点评:不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立) ? ?a>0, 的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0 时,? 不等 ? Δ < 0 ; ? 式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 ? ?a<0, 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? 类似地,还有 f(x)≤a ? ?Δ<0. 恒成立?[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.

变式探究 3 已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒 成立,求实数 a 的取值范围.

解析:方法一:f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为 x=a, ①当 a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞) 上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得 a≥-3. 又 a<-1,∴-3≤a<-1. ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-2≤a≤1. 又 a≥-1,∴-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1.

方法二:由已知得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒 成立,令 g(x)=x2-2ax+2-a, ?Δ>0, ? 2 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a≤-1, ?g?-1?≥0, ? 解得-3≤a≤1.

归纳总结 ?方法与技巧 1.解不等式的基本思路是等价转化,分式不等式整式化, 使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式, 进而获得解决. 2 . 对 于 不 等 式 ax2 + bx + c > 0(≥0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤0)(a≠0)的求解,善于联想:(1)二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点,(2)方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个 二次”间的关系.

?失误与防范 1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式的 形式要认真鉴别.如: 解不等式(x-a)(ax-1)>0,如果 a=0 它实际上是一个一 元一次不等式; 只有当 a≠0 时它才是一个一元二次不等式.

2.当判别式 Δ<0 时,ax2+bx+c>0(a>0)解集为 R;ax2 +bx+c<0(a>0)解集为?.二者不要混为一谈. 3.注意利用数形结合的思想 利用二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可以一目了然地写出 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的解集. 4.含参数的不等式的求解,注意选好分类标准,避免盲 目讨论.

新题速递 1.(2013· 杭州质检 ) 若 “0<x<1” 是“(x - a)[x - (a + 2)]≤0” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

解析: 由 (x - a)[x - (a + 2)]≤0 ,得 a≤x≤a + 2 ,因为 “0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,所以 ? ?a≤0, ? 解得-1≤a≤0.故选 A. ? ?a+2≥1, 答案:A

x2-9 2.(2012· 江西卷)不等式 >0 的解集是__________. x-2

x 2 -9 解析:由 >0,得(x+3)(x-3)(x-2)>0(x≠2),由数轴 x -2 标根法,易得-3<x<2 或 x>3. 答案:(-3,2)∪(3,+∞)

3.(2012· 福建卷)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.

解析:由题意,得△=(-a)2-8a<0,解得 a∈(0,8). 答案:(0,8)

4.(2012· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值 域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6), 则实数 c 的值为__________.

解析:由题意知 a2-4b=0, 2 a 所以 f(x)<c 可换为 x2+ax+ 4 -c<0, a ? ?m+m+6=- ∴? , a2 m?m+6?= 4 -c ? ? ?2m+6?2 a2 ∴c= 4 -m(m+6)= -m(m+6)=9. 4 答案:9

5.(2013· 烟台期末)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x| 2a+b -1<x<2},则不等式的 x +c>bx 的解集为__________.

解析: 由 ax2 + bx + c > 0 的解集为 {x| - 1 < x < 2} ,得 ? b ?-a=1, 2a+b ? 解得 b=-a,c=-2a,且 a<0,故不等式 x c ? =-2, ?a 1 a a +c>bx?x-2a>-ax, ∵a<0, ∴x -2a>-ax?x -2<-x, 解得 x<0. 答案:{x|x<0}


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