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1.2充分条件与必要条件


1.2充分条件和必要条件

知识回顾
? 命题:
可以判断真假的陈述句,可写成:“若p则 q”的形式。

? 四种命题:
命题 表述形式

原命题
逆命题

若p 则q
若q 则p

否命题
逆否命题

/>若?p则q
若?q则?p

知识回顾
? 四种命题的相互关系

原命题与逆否命题同真同假。 原命题的逆命题与否命题同真同假。

例 :判断下列命题的真假: (1)若x>a2+b2,则x>2ab 。 (2)若ab=0,则a=0。 解(1)因为若x>a2+b2 ,而a2+b2? 得到 x>2ab 。

2ab,所以可以

真命题 假命题

(2)因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 所以并不能得到a一定为0。

概念形成
一般的,“若p,则q”为真命题,这时,我们就说, 由p可推出q,记作 p ? q ,并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。

从集合的角度理解
若p ? q,则p ? q,即p是q的充分条件 . 若q ? p,则q ? p,即p是q的必要条件 .

小充分、大必要

小试身手

例1、 用 符 号 “ ?” 与 “ ? ?” 填 空 :

?? x ? y . (1)x 2 ? y 2 ______
(2) 内 错 角 相 等 _______ . ?? 两 直 线 平 行 (4)ac ? bc ______ ?? a ? b.

? a的 个 位 数 字 为 偶 数 (3) 整 数 a能 被6整 除 ______ .

如何正确理解充分条件与必要条件
1、充分条件的特征是:当p成立时,必有q 成立,但当p不成立时,未必有q不成立。因 此要使q成立,只需要条件p即可,故称p是q 成立的充分条件。 2、必要条件的特征是:当q不成立时,必有p 不成立,但当q成立时,未必有p 成立。因此要 使p成立,必须具备条件q,故称q是p成立的必 要条件。

小试身手
例2、下列“若p则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的充分条件?
(1) 若x ? 1, 则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0. (2) 若f ( x ) ? x,f ( x )则( ? ?,? ?)在 上 位 增 函 数 . (3) 若x为 无 理 数 , 则 x 2为 无 理 数 .

新知探究
探究1: 若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的什么条件?

﹁p是﹁q的必要条件. 探究2: 若p是q的必要条件,则﹁p是﹁q的什么条件?
﹁p是﹁q的充分条件.

学以致用
例3、下列“若p则q”形式的命题中,哪些命题 中的q是p的必要条件?
(1) 若x ? y, 则x 2 ? y 2 . (2) 若 两 个 三 角 形 全 等 则 ,这 两 个 三 角 形 面 积等 相. (3) 若a ? b, 则ac ? bc.

总结
1、 用 推 断 符 号 连 接 的 个 两语 句 是 命 题 的 简 写 形式,其中“ ?” 表 示 “ 若 p, 则q” 为 真 命 题 ; “? ?” 表 示 “ 若 p, 则q” 为 假 命 题 。
2、 充 分 条 件 与 必 要 条 是 件共 存 的 , 即 如 果 p是 q的 充 分 条 件 , 则 q 是 p的 必 要 条 件 ; 如 果 p是 q 的必要条件,则 q是 p的 充 分 条 件 ; 如 果 p不 是 q的 充 分 条 件 , 则 q也 不 是 p的 必 要 条 件 。

思考:
已知 p:整数a是6的倍数, q:整数a是2和3的倍数,

那么p是q的什么条件? 如果“若 p , 则 q ”是真命题,且它的逆命题也 是真命题即 p ? q 且 p ? q , 我们就说, p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.记为 p ? q

显然 , 如果 p 是 q 的充要条件 , 那么 q 也是 p 的 充要条件 .概括地说 ,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要 条件.

例1、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;

(2)P: x>0,y>0,
(3)P: a>b,

q: xy>0;

q: a+c>b+c.

按“充分、必要”把条件分类,可以分为四种类型: ⑴充分不必要条件 ( p ? q , q ?? p ) ⑵必要不充分条件 ( p ?? q, q ? p ) ⑶既不充分也不必要条件 ( p ?? q, q ?? p ) ⑷充要条件 ( p ? q )

练习:在下列各题中,p是q的什 么条件? 2)p: (1 q: x = 3x + 4 x = 3x, +4 (2)p:x-3=0, 2 q:(x-3)(x-4)=0 ax + bx + c = 0 (3)p:x=1是方程 的一个根, q:a+b+c=0 答案:(1)p是q的必要不充分条件;
(2)p是q的充分不必要条件; (3)p是q的充要条件。

例2、已知: O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d, 求证:d=r是直线l与 O相切的充要条件.
证明:如图,作OP ? l于点P,则OP=d . (1)充分性(p ? q):若d=r,则点P在 O上. 在直线l上任取一点Q(异于点P ),连接OQ. 则OQ ? OP ? r.所以,除点P外直线l上的点 都在 O的外部,即直线l与 O仅有一个 O相切, 公共点P.所以直线l与 O相切.

(2)必要性(q ? p ) : 若直线l与

不妨设切点为P,则OP ? l,因此d ? OP ? r.


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