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浙江省五校2016届高三数学第二次联考试题 文


2015 学年浙江省第二次五校联考 数学(文科)试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= Sh
3 1 3 1

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 其中 S 表

示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式 V ?

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
2

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4π R 球的体积公式 V= π R
3 4
3

选择题部分 (共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求. ) 1.定义集合 A ? x 2 ? 1 , B ? ? x log 1 x ? 0 ? ,则 A ? ?R B ? ( ▲ )
x

?

?

? ? ? ?

? ? ? ?

2

A. ?1, ?? ?

B. ?0,1?

C.

?0,1?

D. ? 0, 2 ?

2.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 (b ? a)sin A ? (b ? c)(sin B ? sin C ) , 则 C 等于( ▲ ) A.

? 3

B.

? 6

C.

? 4

D.

2? 3

3. ? , ? , ? 为不同的平面, a , b, c 为三条不同的直线,则下列命题正确的是( ▲ ) A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? C.若 a / /? , b / /? , c ? a, c ? b ,则 c ? ? B.若 a / / ? , a / / b ,则 b / / ? D.若 a ? ? , b ? ? ,则 a / / b [来源:学*科网]

1

4.设函数 f ? x ? ? ?

? ?2sin x, x ? ?0, ? ? ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 在 ?0, 2? ? 内恰有 4 个不同的零点,则 cos x , x ? ? , 2 ? ? ? ? ?
B. ?1, 2? C.

实数 m 的取值范围是( ▲ ) A. ? 0,1?

? 0,1?

D. ?1, 2 ?

5.已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆与椭圆在第一象限的交 a 2 b2
a ,则此椭圆的离心率为( ▲ ) 2
D. 2 2 ? 2

点为 P ,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H ,若 PH ?

A.

5 ?1 2

B.

3 2

C.

17 ? 1 4

6.已知数列 ?an ? 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ ?an ? 为递增数列” ( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 7.对任意的 ? ? (0, A. ? ?3, 4? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2

) ,不等式

1 4 ? ? 2 x ? 1 恒成立,则实数 x 的取值范围是( ▲ ) 2 sin ? cos 2 ?
C. ? ? , ? ? 2 2?
o

B. ? 0, 2?

? 3 5?

D. ? ?4,5?

8.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,沿 BD 将△ ABD 翻折,得到三棱锥 A ? BCD , 则当三棱锥 A ? BCD 体积最大时,异面直线 AD与BC 所成的角的余弦值为( ▲ ) A.

5 8

B.

1 4

C.

13 16

D.

2 3

2

非选择题部分(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.已知空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 几何体的表面积是 ▲ . 10.函数 f ? x ? ? 2sin(2 x ? 函数 f ? x ? 的最大值是 ▲ ;

?
2

) ? sin(2 x ? ?) 的最小正周期是








11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n (n ? N*) ,则 a3 ?

▲ ;通项公式 an ?

▲ .

?y ? x ? 12.若实数 x, y 满足不等式 ? x ? y ? 4 ,则 2 x ? y 的最大值是 ▲ ; x2 ? ( y ? 1)2 的最小值是 ▲ . ? x ? 3 y ? 12 ? 0 ?
13.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?

3 x ,其图象过点 4, 3 2 , F1 F2 是其两个焦点,若双曲线上 , 4

?

?

的点 P 满足 | PF1 |? 7 ,则 | PF2 |? ___ ▲____. 14.直线 mx ? y ? 4 ? 0 与直线 x ? my ? 4 ? 0 相交于点 P ,则 P 到点 Q(5,5) 的距离 | PQ | 的取值范围是 ▲ .

15.已知 O 为△ABC 的垂心,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 A 角的值为

??? ?

??? ?

??? ?

?





三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的定义域为 R ,

值域为 [?4,8] ,图象经过点 (0,5) ,直线 x ? ( I ) 求函数 f ( x ) 的表达式. (II) 已知 ? ? (

?
6

是其图象的一条对称轴,且 f ( x ) 在 (

? ? , ) 上单调递减. 3 2

? ?

, ) ,且 f (? ) ? 4 ,求 sin ? 的值. 6 2

3

17. (本题满分 15 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD=60 , 1B 1C1D 1 ,
?

AA1 ? 4 ,且 AC ? 底面ABCD . 1
A1

D1 B1

C1

( I ) 证明: 平面ACC1 A 1 ? 平面DBB 1D 1 . (II)求直线 AC 1 与平 面DBB 1D 1 所成角.
A

D C O B

18.(本题满分 15 分)已知正项等差数列 {an } 满足: Sn 2 ? a13 ? a23 ? a33 ? ? ? an3 ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. ( I ) 求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn } 满足: bn ?

2 ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 Tn . 22? an S n

19.(本题满分 15 分)已知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F ,过点 (2, 0) 且斜
2

率为正数的直线交抛物线于 A, B 两点,且 FA?FB ? ?11 . ( I ) 求直线 AB 的方程; (II)设点 C 是抛物线上 ? AB(不含A、B两点) 上的动点, 求 △ABC 面积的最大值.

??? ? ??? ?

2 20. (本小题满分 15 分)设函数 f ? x ? ? x ? ax ? b (a, b ? R) .

( I )若 b ? 1 ,函数 f ( x ) 在 ??1,1? 的值域是 ?m, n? ,求函数 h(a) ? n ? m 的表达式;

a2 (II)令 t ? b ? ,若存在实数 c ,使得 f ? c ? ? 1与 f ? c +2 ? ? 1 同时成立,求 t 的取值范围. 4

4

2015 学年浙江省第二次五校联考 数学(文科)答案 一、选择题 BADA CCDB 二、填空题 9 . ;3 ? 2 13. 13 三、解答题 16.解:( I ) (1)由于函数 f ( x ) 定义域为 R ,值域为 [?4,8] ,且 A ? 0 ,则 ? (2)由于图象过点 (0,5) ,代入,得 6sin ? ? 2 ? 5 ,即 sin ? ? (3)由于直线 x ?

1 2

10. ? , 5 14. [ 2,5 2)

11

7, an ? 2n ?1
15.

12. 6;

? 4

9 2

? A? B ? 8 ?A ? 6 ,得 ? ?B ? 2 ?? A ? B ? ?4

1 ? ? ? ,又因为 ? ? ? ? ,故 ? ? 2 2 2 6

?
6

是 f ( x ) 图象的一条对称轴,则 sin(

?
6

? ? ? ? ? ? ) ? ?1 ,则 ? ? ? k? ? (k ? Z ) ,
6 6 6 2

即 ? ? 6k ? 2(k ? Z ) ,且 ? ? 0 ,故 ? ? 6k ? 2(k ? N ) (4)由于 f ( x ) 在 ( 满足条件. 综上所述, f ( x) ? 6sin(2 x ?

? ? ? ? 1 1 2? , ) 上单调递减,故 ? ? T ? ,得 ? ? 6 ,故只有当 k ? 0 时,? ? 2 3 2 2 3 2 2 ?

?
6

)?2

(II) f (? ) ? 6sin(2? ?

?

? 1 ) ? 2 ? 4 ,即 sin(2? ? ) ? 6 6 3

因为 ? ? (

? ?

? ? 7? ? 2 2 , ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,故 cos(2? ? ) ? ? ,则 6 2 6 2 6 6 3

? ? ? ? ? ? 2 2 3 1 1 1? 2 6 cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] ? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? )sin ? ? ? ? 6 6 6 6 6 6 3 2 32 6
1 ? cos 2? ? 2 1? 1? 2 6 5?2 6 6 ? , 2 12

2 而 sin ? ?

又因为 ? ? (

? ?

, ) ,则 sin ? ? 6 2

5? 2 6 2 ? 3 3? 6 ? ? 12 6 2 3

5

17. 解:( I )证明:∵ ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD 又∵ AC ? 底面ABCD ∴ AC ? BD,∴BD⊥面 A1CA ,即 BD⊥面 ACC1 A1 ,而 BD∈ 面DBB1D1 1 1 ∴ 面ACC1 A 1 ? 面DBB 1D 1 (II)法 1:设四棱柱上下底面平行四边形的对角线交点分 别是 O1、O ,连接 O1O ,由于 ACC1 A1 为平行四边形,易知
A1

D1

C1

B1

O1O 与 AC 1 相交,且交于各自的中点,设交点为 E,过 A 1作
D

O1O 的垂线,垂足为 F
∵ 面ACC1 A 1 ? 面DBB 1D 1

C A B

C1 A1 O1

面ACC1 A1 ? 面DBB1D1 ? O1O ,
F

A1F ? O1O , A1F ∈ 面ACC1 A1 ∴ A1F ⊥ 面DBB1D1
A D O

E

C

故直线 AC 1 与 面DBB 1D 1 所成角就是∠ A 1EF ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD=60 , AA 1 ?4
?

∴OC=

1 1 OC 3 ? AC= 3 ,∠ ACA ∴ ?OEC ? 60 ? ? 90? ,OE= AA1 ? 2 , ∴ sin ?OEC ? 1 2 2 OE 2
?

故∠ A 1EF ? ?OEC ? 60

即直线 AC 1 与 面DBB 1D 1 所成角为 60

?

(法 2)设底面菱形对角线的交点为 O,由于 AC ⊥BD,如图建立空间直角坐标系 O-xyz 则计算可知, OC= 3 , A1C ?

D1 z A1

C1

B1

A1 A2 ? AC 2 ? 16 ? 12 ? 2
D C x A O B y

C (? 3, 0, 0), A1 (? 3, 0, 2), B(0,1, 0), D(0, ?1, 0), A( 3, 0, 0)

由于 AB1与A 1B 的中点重合,故求得 B 1 (?2 3,1, 2) 则 AC ? (0,0, ?2), BD ? (0, ?2,0), BB1 ? (?2 3,0,2) ,设 面DBB1D1 的法向量为 n ? ( x, y, z) 1

????

??? ?

????

?

6

? ??? ? ? ? ? ?2 y ? 0 n ? BD ?0 ? ? 则 ? ? ???? ,令 x ? 1 ,则 y ? 0, z ? 3 ,故 n ? (1,0, 3) ,即 ? ? ? ??2 3x ? 2 z ? 0 ?n?BB1 ? 0 ???? ? | A1C ?n | 2 3 3 ? 则设直线 AC ,故 ? ? 60 ? 1 与 面DBB 1D 1 所成角为 ? ,则 sin ? ? ???? ? ? 2 ? 2 2 | A1C || n |
即直线 AC 1 与 面DBB 1D 1 所成角为 60
?

18. 解:( I ) ∵ Sn 2 ? a13 ? a23 ? a33 ? ? ? an3 ,∴ ?

?

S12 ? a13 , 2 3 3 ? S 2 ? a1 ? a2

∵ {an } 为正项等差数列,解之得 ? 则 d ? 1 ,所以 an ? 1 ? (n ?1)1 ? n (II) bn ?

? a1 ? 1 ? a2 ? 2

2 ? an 2?n 2?n 1 1 ? ? n?1 ? n ? n?1 2? an 2 Sn 22?n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? ? n ?1 2 8 8 24 24 32 2 n 2 (n ? 1) 2 2 (n ? 1)

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
即 Tn ?

1 1 ? n ?1 2 2 (n ? 1)
y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) , F (1, 0) 4 4

19.解:( I )设直线 AB 为 x ? my ? 2(m ? 0) , A(

?? ? 16m 2 ? 32 ? 0 ? x ? my ? 2 ? 2 ,消 x,得 y ? 4my ? 8 ? 0 ,则 ? y1 ? y2 ? 4m ? 2 ? y ? 4x ? y ?y ? ?8 1 2 ?
则 FA?FB ? (

??? ? ??? ?

2 y12 y2 y2 y2 y 2 y 2 y 2 ? y2 ? 1, y1 )? ( 2 ? 1, y2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? y1 y2 4 4 4 4 16 4

? 4?

16m2 ? 16 ? 1 ? 8 ? ?11 4

2 得 m ? 1 ,又因为 m ? 0 ,故 m ? 1 ,即直线 AB 的方程 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0
2 ?x ? y ? 2 y0 ,解得 y1,2 ? 2 ? 2 3 ,故 2 ? 2 3 ? y0 ? 2 ? 2 3 , y0 ) , ? 2 4 ? y ? 4x

(II)设 C (

7

2 y0 1 | ? y0 ? 2 | | ( y 0 ? 2) 2 ? 3 | ? 4 设点 C 到直线 AB 的距离为 d ? 4 2 2

当 y0 ? 2 , d max ? 故 S △ABC max ?

3 2 ,而 | AB |? 2 48 ? 4 6 2

1 | AB | d ? 6 3 2

a 2 a2 20.解: (Ⅰ) f ? x ? ? x ? ax ? 1 ? ( x ? 2 ) ? 1 ? 4
2

? 2 ? a, ? f (?1), a ? 2 ? ? a ? ? a2 m ? ? f (? ), ?2 ? a ? 2 ? ?1 ? , 2 4 ? ? ? ? ? f (1), a ? ?2 ? 2 ? a,

a?2

? f (?1), a ? 0 ? 2 ? a, ?2 ? a ? 2 ,n ? ? ?? ? f (1), a ? 0 ?2 ? a, a ? ?2

a?0 a?0

a?2 ? 2 a, ? 2 ? a ? a ? 1, 0 ? a ? 2 ? 4 则 h( a ) ? n ? m ? ? 2 ? a ? a ? 1, ? 2 ? a ? 0 ?4 ? a ? ?2 ? ?2a,
a 2 a2 2 f x ? x ? ax ? b ? ( x ? ) ? b ? ? ? (Ⅱ) 2 4
(1)当 b ?

a2 a2 ? 1 时, | f ? x ? |? f ( x) ? b ? ? 1 ,不满足题意. 4 4

a2 ? 1 ,即 ?4 ? a 2 ? 4b ? 0 时,由方程 | f ? x ? |? 1 (2) 当 0 ? b ? ,即f ( x) ? 1, x 2 ? ax ? b ? 1 ? 0 , 4

?a ? a 2 ? 4b ? 4 2 得 x1、 , 则当 x ?[ x1 , x2 ] 时, 而 | x1 ? x2 |= a ? 4b ? 4 ? 2 , 故 c与c+2 | f ? x ? |? 1 , 2= 2
必然不能同时满足 ?[ x1 , x2 ] ,故不满足题意.

a2 ? 0 ,即 0 ? a2 ? 4b ? 4 时,由方程 | f ? x ? |? 1 (3) 当 ?1 ? b ? ,即f ( x) ? 1, x 2 ? ax ? b ? 1 ? 0 , 4

?a ? a 2 ? 4b ? 4 2 得 x1、 ,则当 x ?[ x1 , x2 ] 时, | f ? x ? |? 1 ,而 | x1 ? x2 |= a ? 4b ? 4 ? 2 ,故必然 2= 2

8

a2 存在 c与c+2 同时满足 ?[ x1 , x2 ] ,故满足题意,则 t ? b ? ? (?1, 0] 4
(4)当 b ?

a2 ? ?1 ,即 a2 ? 4b ? 4 时,由方程 | f ? x ? |? 1 ,即f ( x) ? ?1 , 4

x 2 ? ax ? b ? 1 ? 0 ,得 x1 =

?a ? a 2 ? 4b ? 4 ?a ? a 2 ? 4b ? 4 , , x2 = 2 2 ?a ? a 2 ? 4b ? 4 ?a ? a 2 ? 4b ? 4 , , x4 = 2 2

x 2 ? ax ? b ? 1 ? 0 ,得 x3 =

则由图可知,当 x ?[ x1 , x3 ] ?[ x4 , x2 ] 时, | f ? x ? |? 1 ,
2 而 | x1 ? x2 |= a ? 4b ? 4 ? 2 2 ? 2 , (有可能同时存在 c与c+2 满足条件)

且 | x1 ? x3 |=

a 2 ? 4b ? 4 ? a 2 ? 4b ? 4 4 ? ? 2?2 2 a 2 ? 4b ? 4 ? a 2 ? 4b ? 4

则 c与c+2 若要满足条件,则必须满足 c ?[ x1 , x3 ] , c ? 2 ?[ x4 , x2 ] ,故若同时存在 c与c+2 满足条件, 则必须要求 | x3 ? x4 | ? 2
2 2 而 | x3 ? x4 |= a ? 4b ? 4 ? 2 ,解得 a ? 4b ? 8 ,即 t ? b ?

a2 ? [?2, ?1] 4

综上所述, t ? b ?

a2 ? [?2, 0] 4

9


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