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淮北一中高二数学竞赛训练 2 三角函数概念及性质


淮北一中高二数学竞赛训练 三角函数概念及性质
2012.11.5 1.设 a ? x co s ? ? y sin ? , b ? x sin ? ? y co s ? ,当 x ? y ? 0 对任意实数 x , y , ? 。则有( A a?b?0 2.对 0 ? ? ? A
1?



B
2

a , b 不同时为零

C

a ? 0, b ? 0

D a ?b ?1
2 2

?
2

, 使 co s ? ? 2 m sin ? ? 2 m ? 2 ? 0 成立的实数 m 的取值范围是(



2 ? m ? 1?

2

B

?

1 2

? m ?1

C

m ? ?

1 2

D 0 ? m ?1

3.设 ? ? ( A

?
2

,

3? 4

), sin 2 ? ? a ,则 sin ? ? co s ? ? (


a ?a
2

a ?1 ?

a ?a
2

B ? a ?1

C

a ?1 ?

D

a ?1

4.已知对任何 x ? (0 ,

?
2

) ,则下列结论成立的是(



A sin (sin x ) ? co s x ? co s(co s x ) C sin (sin x ) ? co s x ? co s(co s x )

B sin (sin x ) ? co s x ? co s(co s x ) D sin (co s x ) ? co s x ? co s(sin x )
2k ? 1 5

5.已知当 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变动时,函数 y ? 3 ta n 失去意义,则 k 的最小正整数值为( A 6 B 5 C 4 ) D 3
7 12

? x , ( k ? Z ) ,至少两次

6.已知 A 为 ? A B C 的一个内角,且 s in A ? c o s A ? A 钝角三角形 B 锐角三角形

, 则 ? A B C 是( D 正三角形



C 直角三角形
?
6

7.函数 y ? (sin x ? 1)(co s x ? 1) , ( ?

? x ?

?
2

) 的最小值为

8. y ? ( )
3

1

lg c o s x

的单调减区间是

9.设函数 f ( x ) ? a co s x ? b sin x , 其中 a , b 为实常数,若存在 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ? k ? , ( k ? Z ) ,使得
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 成立,则函数 f ( x ) 的值域为

10.若 ? , ? , ? 为锐角,且 co s ? ? co s ? ? co s ? ? 1 ,则 tan ? tan ? tan ? 的最小值为
2 2 2

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11. 当时 0 ? x ? 1 ,则
5? 12

s in x x

,(

s in x x

) ,

2

s in x x
2

2

的大小关系为
?
6

12 若 x ? ? ?
?

?

,?

? ?
3? ?

则 y ? ta n ( x ?

2? 3

) ? ta n ( x ?

) ? c o s( x ?

?
6

) 的最大值为

13.已知 ? , ? , ? 为锐角, sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ,求证:
2 2 2

?
2

?? ?? ?? ?

3 4

?

14 . 求 证 : 在 区 间 ( 0 ,

?
2

) 内 存 在 唯 一 的 实 数 对 ( c , d ) , c , d ? (0 ,

?
2

) ,且 c? d ,使得

sin (co s c ) ? c , co s(sin d ) ? d 成立

15.已知函数 f ( x ) ?

m ? 2 s in x cos x

在区间, ( 0 ,

?
2

) 上单调递减,试求实数 m 的取值范围。

16.设函数 f ( x ) 对所有实数 x 都满足 f ( x ? 2 ? ) ? f ( x ) 。 求证:存在 4 个函数 f i ( x )( i ? 1, 2, 3, 4 ) 满足: 1)对 i ? 1, 2, 3, 4 , f i ( x ) 是偶函数,且对任意实数 x ,有 f i ( x ? 2 ? ) ? f i ( x ) 2)对任意实数 x 有 f ( x ) ? f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) co s x ? f 3 ( x ) sin x ? f 4 ( x ) sin 2 x

(附加思考)

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淮北一中高二数学竞赛训练 三角函数概念及性质答案 2012.11.5 1. B 2. 7. C 3.
2? 4 3

D

4. D
? ?

5. A
? ?
?,k ? Z 2 ?

6. A

8. ? 2 k ? , 2 k ? ?

9. ? 0 ?

10. 2 2
2

11. (
2

s in x x

) ?
2

s in x x

?

s in x x
2

2

12.

11 3 6

13.已知 ? , ? , ? 为锐角, sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1 ,求证:
2

?
2

?? ?? ?? ?

3 4

?

14.证明:转化为方程 sin (co s x ) ? x ? 0; co s(sin x ) ? x ? 0 有唯一解与解的大小问题,
sin (co s x ) ? x ? 0 的解问题,借助 f ( x ) ? sin (co s x ) ? x 的单调性,

由 f (0 ) f (

?
2

) ? 0 得有解。

再由 co s(sin d ) ? d 得 sin (co s(sin d )) ? sin d ,易得 c ? sin d ,而 sin d ? d ,即 c ? d 。 15.解:由定义出发得恒等式: x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 总成立。
2 s in ( x1 ? x 2 ) c o s x 2 ? c o s x1
x1 2 x2 2

得m ?

恒成立。和差化积得

2 s in ( x1 ? x 2 ) c o s x 2 ? c o s x1
x1 2

2 (1 ? ta n ? ta n
x2 2 )? 0

x1 2

ta n

x2 2

)

x1 2

? ta n

x2 2

而 1 ? ta n

ta n

? (ta n

x1 2

? ta n

x2 2

) ? (1 ? ta n

)(1 ? ta n



2 s in ( x1 ? x 2 ) c o s x 2 ? c o s x1

2 (1 ? ta n ? ta n x1 2

x1 2

ta n

x2 2

) ? 2

? ta n

x2 2

即m ? 2

16.设函数 f ( x ) 对所有实数 x 都满足 f ( x ? 2 ? ) ? f ( x ) 。 求证:存在 4 个函数 f i ( x )( i ? 1, 2, 3, 4 ) 满足: 1)对 i ? 1, 2, 3, 4 , f i ( x ) 是偶函数,且对任意实数 x ,有 f i ( x ? 2 ? ) ? f i ( x ) 2)对任意实数 x 有 f ( x ) ? f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) co s x ? f 3 ( x ) sin x ? f 4 ( x ) sin 2 x

(附加思考)

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