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2010-2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
(考试时间:2010 年 9 月 4 日上午 10:00—11:20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 log ? x ? sin x ? 2 在区间 (0,
2

?
2

] 上的实根个数为_____

____________.

2.设数列 ?8 ? (? ) n?1 ? 的前 n 项和为 Sn ,则满足不等式 | S n ? 6 |? _________________. 3.已知 n ( n ? N , n ? 2 )是常数,且 x1 , x2 , ? , xn 是区间 ? 0, 数

? ?

1 3

? ?

1 的最小整数 n 是 125

? ?? 内任意实数,则函 ? 2? ?

f ( x1, x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ?? sin xn cos x1 的 最 大 值 等 于

_________________. 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在 圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________. 6. 设 O 是 平 面 上 一 个 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ? A C ??? ? OP ? ? ??? ? OA ? ? | AC |

??? ? AB ??? ,其中 ? ?[0, ??) ,则点 P 的轨迹为_________________. ? | AB |

7.对给定的整数 m ,符号 ? ( m) 表示 ?1, 2, 3 中使 m ? ? (m) 能被 3 整除的唯一值,那么 ?

? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体 的体积依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va 2 ? Vb 2 与 (2Vc )2 的大小关系是_________________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分 16 分)是否存在实数 a ,使直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x ? y ? 1 相交于两
2 2

点 A 、 B ,且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点? 2. 本小题满分 20 分) ( 求证: 不存在这样的函数 f : Z ? ?1, 2,3? , 满足对任意的整数 x ,y , 若 | x ? y |??2,3,5? ,则 f ( x) ? f ( y ) . 3.(本小题满分 20 分)设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1 , 求证: 9abc ? ab ? bc ? ca ?

1 (1 ? 9abc) 4

1

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

2. 不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围 为 .

3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数; (2) f (3) ? 6 .则 f (2011) ? . 个解.

4. 方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011 一共有

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的 棱长最大等于 .
2

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能 接触到杯底的球的半径最大是 . 1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . 7. 计算: sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求 每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽 子的方法共有 种.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 1 1 1 ? ? ... ? 的最小值. n ?1 n ? 2 2n 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把 线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 3. (本小题满分 20 分)数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0 ,当 n ? 3 时 有 an ?
2 n (a0 ? a1 ? ... ? an ? 2 ) . 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10

2

2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1. 已知 20122 ? 2010? 2011? 2013? 2014? k 2 ?k ? 0? ,则 k ? .

? ? 2. 函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? 3 的最小值等于 . 6 6 bx ? 1 1 3. 已知 f ( x ) ? ,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数, 2x ? a x k 的值为 则 .
4. 已 知 方 程 32 x ? 3x?1 ? p 有 两 个 相 异 的 正 实 数 解 , 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 . 5. 将 25 个数排成五行五列:

a11

a12

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

a21 a22 a31 a32 a41 a42 a51 a52

已知第一行 a11 , a12 , a13 , a14 , a15 成等差数列,而每一列 a1 j , a2 j , a3 j ,

a4 j , a5 j ( 1? j ? 5 )都成等比数列,且五个公比全相等.
若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 ,则 a11 ? a55 的值为______. 1 6.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为______. 2 7.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小方格 内至多填一个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共 有 .

8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积 为 112? ,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 80? ,该梯形绕它的 直角腰旋转一周所得旋转体的体积为 156? ,则该梯形的周长为 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2 y 2 1. (16 分)设椭圆 2 + 2 =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上 a b

且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| ,

3

证明:直线 OP 的斜率 k 满足 | k |? 3 .

2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求

S ? (a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )
2 2 2 2 2 2

的最大值.

3. (本小题满分 20 分)求出所有的函数 f : N ? N 使得对于所有 x , y
* *

? N , ( f ( x)) ? y 都能被 f ( y) ? x 整除.
*

2

2

4

2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
一、填空题 1.设 f ( x) ? log ? x ? sin x ? 2 ,则 f ?( x) ?
2

1 x ln

?
2

?cos x ,∵ 0 ? x ?

?
2

1 ,∴ 0 ? cos x ? ,

又 0 ? ln

?

? 1 ,∴ f ?( x) ?0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log ? x ? sin x ? 2 在区 2 2 2

?

间 (0,

?
2

] 上有且只有一个实根.

2. 易 知 数 列 ?8 ? (? )

? ?

1 3

n?1

1 ? ? 是 首项 是 8 ,公比 是 ? 的等 比数列, ∴ 3 ?

1 8[1 ? (? ) n ] 3 ? 6 ? 6(? 1 ) n , 于 是 | S ? 6 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3n ?1 ? 250 , ∵ | Sn ? n 1 125 3n ?1 125 3 1 ? (? ) 3
35 ? 243 ? 250 , 36 ? 729 ? 250 ,故最小整数 n 是 7.
3.∵ ab ?

a 2 ? b2 , 2

∴ f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1

?

sin 2 xn ? cos 2 x1 sin 2 x1 ? cos 2 x2 sin 2 x2 ? cos 2 x3 ? ??? 2 2 2

(sin 2 x1 ? cos 2 x1 ) ? (sin 2 x2 ? cos 2 x2 ) ? ? ? (sin 2 xn ? cos 2 xn ) ? 2
? n n ,故所求函数的最大值等于 . 2 2
4

4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的 个数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 ?

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 210 个交点. 1? 2 ? 3 ? 4

5.

2n ? 2(?1) n 3 ? 2n

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC ??? AB AB AC ? ? ? ? 6. ∵ OP ? ? ??? ? OA ? ? ??? ,∴ OP ? OA ? ?? ( ??? ? ??? ) , | AC | | AB | | AB | | AC | ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB AC AB AC ? ? ? 即 AP ? ? ( ??? ? ??? ) ,又 ??? , ???? 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, | AB | | AC | | AB | | AC |
5

知点 P 的轨迹为 ?BAC 的平分线. 7.由二项式定理知, 22010 ? 41005 ? (3 ? 1)1005 ? 3 p ? 1 ,即 2 ∴ ? (22010 ? 1) ? 3, ? (22010 ? 2) ? 1 ? (22010 ? 3) ? 2 , 故 ? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? 6 . 8. ∵ Va ? Vb ? (
2 2
2010

被 3 除余 1,

?

b 2 a ) 2 ? ( a 2 b) 2 ? a 2b 2 ( a 2 ? b 2 ) ? a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 4? 2 ab 4 2 4? 2 a 4b4 ( ) c ? ? 2 , 9 c 9 c

?

?2

?2

(2Vc )2 ? (2 ?

?
3

h2 (a? ? b?)) 2 ?

∴作商,有 二、解答题

Va 2 ? Vb 2 c4 (a 2 ? b2 )2 (2ab)2 ? 2 2? ? ? 1 ,故 Va 2 ? Vb2 ? (2Vc )2 . (2Vc )2 4a b 4a 2b2 4a 2b2

1.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3x ? y ? 1

消去 y ,得

(3 ? a2 ) x2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,
由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

x1 x2 ?

?2 , ② 3 ? a2

2a , ① 3 ? a2

∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ? OB , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,整理,得 (a2 ? 1) x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 将①②代入③,并化简得 ③

??? ?

??? ?

1 ? a2 ? 0 ,∴ a ? ?1 , 3 ? a2

经检验, a ? ?1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 2.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f (n) ? a , f (n ? 5) ? b ,其中

a, b??1, 2,3? ,由条件知 a ? b .
( ? 3 由 于 | (n ? 5)? n ? 2) | , | n ? (n ? 2) |? 2 , ∴ f (n ? 2) ? a 且 f (n ? 2) ? b , 即

f (n ? 2)是 ?1, 2,3? 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n ? 2) ? c

6

又由于 | (n ? 5) ? (n ? 3) |? 2 , | n ? (n ? 3) |? 3 ,∴ f (n ? 3) ? f (n ? 2) .

3 f ? ) ) 以 n ? 1 代替 n , f ( ?4 ? f(n ? ? ( n 2 得 n )
因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.证明:先证左边的不等式. ∵ a ? b ? c ? 1,

, 但这与 | (n ? 4) ? (n ? 2) |? 2 矛盾!

∴ ab ? bc ? ca ? (ab ? bc ? ca)(a ? b ? c) ? a 2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? a 2c ? ac 2 ? 3abc

? 6abc ? 3abc ? 9abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ? b ? c ,注意到条件 a ? b ? c ? 1 ,得

1 ? 4(ab ? bc ? ca) ? 9abc ? (a ? b ? c)3 ? 4(a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc
? a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? (a ? b)[a(a ? c) ? b(b ? c)] ? c(c ? a)(c ? b) ? 0 ,
1 (1 ? 9abc) , 4 1 综上, 9abc ? ab ? bc ? ca ? (1 ? 9abc) . 4
所以 ab ? bc ? ca ?

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
1.答案:8041. 由题意, a2 ? a1 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 ,且 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 (n ? 4). ∴ a2n ? a2n?1 ? 3, a2n?1 ? a2n ? 5 n ? N * . ∴ a2n?1 ? a2n?1 ? 8 ,∴ a2011 ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?1 ) ? a1 ? 1005 ? 8 ? 1 ? 8041
k ?1 1005

?

?

2.答案: a ? 1 或 a ? ?2 . 由题意, a cos x ? a2 ? cos2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a?cos x ? a 2 ? 0 对 ?x ? R 成立. 令 f ?t ? ? t 2 ? ?1? a ? t ? a2 (?1 ? t ? cos x ? 1).
? f ?1? ? 0, ?1 ? ?1 ? a ? ? a 2 ? 0, ? ? ?? ∴? 2 ? f ? ?1? ? 0. ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0. ? ? 解得 a ? ?2或a ? 1 .

7

3.答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ?m ? 1? ? f ?m? ? f ?1? ? m . 令 m ? n ? 1得, f ?2? ? 2 f ?1? ? 1 . ① ② ③

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ?3? ? f ? 2? ? f ?1? ? 2 . 由③②得, f ?1? ? 1, f ? 2? ? 3 . 代入①得, f ? m ?1? ? f ? m? ? m ?1. ∴ f (2011) ? ? [ f (k ? 1) ? f (k )] ? f (1) ? ? (k ? 1) ? 1
k ?1 k ?1 2010 2010

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011

?

2011 ? 2012 ? 2023066 . 2

4.答案:4. 方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ; 方程 方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ? 14 ;

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n( n ? 2) 的所有解为
x?? n(n ? 1) n(n ? 3) 或? . 2 2

5.答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, 所以, 3a ? 20(a ? N * ) ,即 a ? ∴ a ? 11 ,即 amax ? 11 .
20 3(a ? N * ) , 3

6.答案:

1 2

.

8

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,
? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 由? 2 y?x ? ?

由题意,方程 x 2 ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解.
1 ∴ x 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ? . 2 1 7.答案: . sin1?

1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? ? ? 1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? 1 ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? . ? sin1? ?

原式 ?
?

k ? 45

? sin1? ? cot k ? ? cot(k ? 1)??

89

1

1 1 . ? cot 45? ? cot 90? ? ? sin1? sin1? 8.答案:1530.

推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an , 则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6?? 2n?3 ? 6 . ∴ a10 ? 12? 27 ? 6 ? 1530.
1 1 1 37 二.1.解:当 n ? 3 时, ? ? ? . 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ?k ? 3? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 则当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k
9

37 . 60 37 因此,所求最小值为 . 60 2.解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设 ?

开始时的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ? ? ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? ? ? ?? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x ?

?y?

1 2

, 1 2 ,

?y?x? ?x ? 1 2 .

如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y ?

1 2

,y?x?

1 2

和 x?

1 2

围成的

1 1 三角形,面积为 ,而整个区域的面积为 (因为 y>x). 2 8

1? ? ? ? 1 2? 2 2? ∴ P(成功) ? ? . 1 2

1?1

?1 ? 1?

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是 3.证法 1:

1 . 4

证明:由已知得 (n ? 1)an ? 2(a0 ? a1 ? ...? an? 2 ) ,在上式中以 n ? 1 代替 n 得到

nan?1 ? 2(a0 ? a1 ? ...? an?1 ),

10

两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立. 设 bn ?
an ,则 n?2

n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn?1.
由 于 n( n? 3 )? ( ? 1 )n(? n
a3 ? 1, a4 ?

2 ) n ? , 故 bn ?1 应 在 bn 与 bn ?1 之 间 . 由 于 ? 2( 1)

2 1 1 1 1 , 故 b3 ? , b4 ? . 因 此 当 n ? 3 时 , 均 有 bn ? [ , ] , 故 3 5 9 9 5 n?2 n an ? (n ? 2b) ? ? ,证毕. n 9 10
证法 2: 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ 5 2 6 ,a = ≥ . 10 4 3 10 n+2 ?n ≥ 3?. 10

结论成立. 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, an + 1 = = > = = > 2 ?a + a1 + ? + an-1? n 0 2 ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? n 2 5 6 n+1 ?1 + + + ? + ? n 10 10 10 ?n + 6??n-3? 2 ?1 + ? n 20 2 n 2 + 3n + 2 n 20 n+3 . 10 n+2 ?n ≥ 3? 成立. 10

所以结论对 n + 1 时亦成立. 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ 因此 an ≥

n+2 n > ?n ≥ 3? 成立. 10 10

从而本题得证.

2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上

11

1.答案: 20122 ? 2 (或 4048142 ) 解: n2 ? (n ? 2)(n ?1)(n ? 1)(n ? 2) ? n2 ? (n2 ? 4)(n2 ?1)

? n2 ? (n4 ? 5n2 ? 4) ? (n2 ? 2)2 .
2. 答案:1 解:因为

6 ? 3 sin x ? cos x ? 3 ? 2sin( x ? ) ? 3, 6

f ( x) ? sin x cos

?

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? 3

?

所以 f (x) 的最小值为 1.
1 3.答案: . 4

1 bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b2 ? 1) x ? b 解:由于 k ? f ( x) ? f ( ) ? ? ? x 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a
是常数,故 2a ? k ? b ,且 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 . 将 b ? 2ak 代入 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 整理得
2 (4k 2 ? k )a2 ? (1 ? 4k ) ? 0 , 分 解 因 式 得 ( 4 ? 1 )k(a ? 1? . 0若 4k ? 1 ? 0 , 则 k )

ka 2 ? 1 ? 0 ,因此 ab ? 2ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4k ? 1 ? 0 ,即 k ?
9 4. 答案: (? , ?2). 4

1 . 4

解法一:令 t ? 3x ,则原方程化为 t 2 ? 3t ? p ? 0 . 根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.
? ?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0, ? 9 令 f (t ) ? t 2 ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 12 ? 3 ?1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ?2. 4 ?3 ? ? 1. ?2

解法二:令 y ? 3x ,则原方程化为 y 2 ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程 最多有两个解, 而由 y ? 3x 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x , 因此所求的 p

12

应当使 y 2 ? 3 y ? p ? 0 有两个相异的实数解 y1 , y2 , 且满足 3x1 ? y1 ,3x2 ? y2 的两个实 数 x1 , x2 都是正的. 由于 x1 , x2 都是正的,故 y1 , y2 都应大于 1. 由于 y1 ? y2 ? 3 ,故

y2 ? 3 ? y1 ,因此 y1 必须满足 y1 ? 1 ,3 ? y1 ? 1及 y1 ? 3 ? y1 . 因此 y1 的取值范围为
3 3 9 (1, ) ? ( , 2) . 因此 p ? ? y1 y2 ? ? y1 (3 ? y1 ) 的取值范围为 ( ? , ?2) . 2 2 4

5. 答案: ?11 解: 可知每一行上的数都成等差数列, 但这五个等差数列的公差不一定相等. 由 a41 ? ?2 , a43 ? 10 知 a42 ?

由 a24 ? 4 , a44 ? 16 知公比 q ? ?2 . 若 q ? 2 ,则 a11 ?

10 ? (?2) ? 4 且公差为 6,故 a44 ? 16 , a45 ? 22 . 2

?2 1 ? ? , a55 ? 22 ? 2 ? 4 ?11,故 a11 ? a55 ? ?11; s3 4 ?2 1 若 q ? ?2 ,则 a11 ? 3 ? , a55 ? 22 ? (?2) ? 4 ? (?11) ,故 a11 ? a55 ? ?11. s 4
6.解: 2(1 ? ln 2) . 函数 y ?
1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称. 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? . 2 2 2
1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? . 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) . 7.答案:3960
2 2 解: 使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种, 使得 2 个 b 既不同 2 2 行也不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 2 种.

其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;
1 2 2 个 a 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C16 A9 ? 16 ? 72 种.

所以,符合条件的填法共有 722 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种. 8.答案: 16 ? 2 13 .
13

解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋
1 1 1 转体的体积为 ? h 2b ? ? h 2 (a ? b) ? ? h 2 (a ? 2b) ,因此 ? h 2 ( a ? 2b) ? 112? ,即 3 3 3 a ? 2b 336 7 ? ? ,去分母 h2 (a ? 2b) ? 336. 同理有 h2 (2a ? b) ? 240 ,两式相除得 2a ? b 240 5

化简得 b ? 3a ,代入 h2 (a ? 2b) ? 336 得 ah 2 ? 48 . 注意到直角腰长等于高 h , 梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,
1 其体积为 h(a 2 ? ab ? b 2 ) ? 156 . 将 b ? 3a 代入化简得 a 2 h ? 36 . 结合 ah 2 ? 48 可 3

h 解 得 a ? 3 , ? 4, 因 此 b ? 9 , 由 勾 股 定 理 知 另 一 条 腰 的 长 度 为
42 ? (9 ? 3) 2 ? 2 13 ,因此梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.解法一:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , A(?a,0) . 由 | AP |?| OA | ,有 (a cos ? ? a ) 2 ? (b sin ? ) 2 ? a , 即 a 2 cos2 ? ? 2a 2 cos ? ? b2 sin 2 ? ? 0 . ??4 分

??1 ? cos ? ? 0, 从而 ? 2 2 2 2 2 2 2 ??a cos ? ? 2a cos ? ? b sin ? ? a sin ? .
1 b2 sin 2 ? 2 ? ?1 ? ? 3. 所以, ? ? cos ? ? 0 ,且 2 2 2 a cos ? cos ?

所以, | k |?

b sin ? 2 ? ?1 ? ? 3. a cos ? cos ?

??16 分

解法二:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) .
a b 则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) . 2 2
|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1 .

k AQ ?

b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ . 2a ? a cos ?

??8 分

2 2 2 ? 2ak AQ ? (b 2 ? b 2 k AQ ) ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? b 2 ? a 2 k AQ ? a 2 ? a 2 k AQ

?| k AQ |?

1 ?| k |? 3 . 3

??16 分

14

2.解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? bc ? c ? b , c ? ca ? a ? a .?????5
2 2 2 2 2 2

分 根据 AM-GM 不等式可得
S ? a b ( a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2

4 3ab 3ab 2 2 ? ? ? ( a ? ab ? b ) 9 2 2
3

所以 S 的最大值为 12,这时 ?a, b, c ? ? ?2,1,0?.

??15 分 3ab 3ab 6 6 2 2 ? 4? 4( a ? b) 4( a ? b ? c ) ? ? ( a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12. 2 5 5 9? 3 3 ? ? ? 3 ?????20 分
2

3.解:根据题目的条件,令 x ? y ? 1,则 ( f (1)) ? 1 能被 f (1) ? 1 整除. 因此 ( f (1)) ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除, 也就是 f (1)( f (1) ? 1) 能被 f (1) ? 1 整除.
2

) 因 为 f ( 1 )与 f (1) ? 1 互 素 , 所 以 f (1) ? 1 能 被 f ( 1?
f ( 1? ?1f ) f (1) ? 1 .
2
2

1 整除,且

? 1) (

1







f (1) ? 1 ? 0



?????10 分
2 2

令 y ? 1 ,则 ( f ( x ? 能被 1 ? x 整除,因此 ( f ( x)) ? x .从而 f ( x ) ? x ,对 )) 1 所有 x ? N .
*

令 x ? 1 ,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除.从而 y ? f ( y ) ,对所有 y? N .
*

综上所述, f ( x ) ? x ,对所有 x ? N .
*

?????20 分

15


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