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高中函数值域的5种求法


高中函数值域的 5 种求法 武汉前程教育 (前程善学) 是由原华师一附中高级教师联合创办的大型课外辅导培优机 构,开设有小初高各年段一对一个性化辅导、精品小班,及各类小升初、初升高衔接班、艺 体生文化课冲刺辅导班等课程。作为一家武汉本土的一对一培优机构,前程独创的“四步教 学法”能助您的孩子解决各种学习问题。8 年来,我们已帮助万名学子成功考入名校,被家 长誉为重点高中、名牌大学

的培养摇篮! 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即: (1)被开方数的非负性, (2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的值域的求法, 简 捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。 (答案:值域为: {0,1,2,3,4,5} ) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数, 故函数 y 的值域为{y∣y≠1,y∈R} 。 点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现 逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。 (答案:函数的值域为{y∣y<-1 或

y>1} ) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例 3:求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2 +9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约 作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数 y=2x-5+√15-4x 的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函 数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当 y≠2 时,由Δ =(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当 y=2 时,方程(*)无解。∴函数的值域为 2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数, 可求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函 数。 练习:求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。 (答案:值域为 y≤-8 或 y>0) 。 五、最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值

f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量 x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的 值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解,解之得-1≤x≤3/2, 又 x+y=1,将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中,得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4} 。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过 求出最值而获得函数的值域。 练习:若√x 为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域为 ( ) A. (-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) (答案:D) 。 温馨提示:武汉前程教育(前程善学)享誉全国,拥有重点中小学一线教师、资深教育 心理师百余人,经前程辅导的学员中大批考入名牌大学、省重点中学,众多中等及偏上成绩 的高考学生被北大、浙大、武大、华工等名牌高校录取,中考学生被华师一附中、外校、二 中、 六中等省重点高中录取的不胜枚举。 武汉前程教育一对一家教主要针对高中和中小学课 外辅导以及各种课程培优,以优异的教学成绩得到了广大学生家长的一致认可与好评。 为了更好的服务广大同学和家长,武汉前程教育(前程善学)已开通了免费网上在线咨 询服务,还可以拨打我们的咨询热线:027-88300280,与我们的老师进行交流,我们将给您 专业的解答和建议! 更多资讯内容,尽在武汉前程教育(前程善学)官网:http://www.zgqcedu.com 数学、 英语如何突破 110 分?物理、 化学如何得高分?前程四步教学法 1 对 1 体验课正 火热进行中??


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